2020年河南省普通高中数学（理）大象联考高考质量测评试题（含答案）

大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评（一） 数学（理科） （本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分） ★祝考试顺利★ 注意事项 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式： （其中 为锥体的底面积， 为锥体的高）. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 满足 ，则 （其中 为虚数单位）的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3. （ ） A. B. C. D. 4.我们熟悉的卡通形象“哆啦 A 梦”的长宽比为 .在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比 1= 3V Sh S h { }2| 0A x x x= − ≤ { }| 0 2B x x= < < A B = [ ]0,1 [ )0,1 ( ]0,1 ( )0,1 z 1z = z i− i 19sin12 π = 6 2 4 − 2 6 4 − 6 2 4 + 6 2 4 +− 2 :1 例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔 底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等 于“白银比例”，若两展望台间高度差为 100 米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A.400 米 B.480 米 C.520 米 D.600 米 5.执行如图所示的程序框图，若输入 ， ，则输出的值为（ ） A.0 B.1 C. D. 6.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭 圆.现有一高度为 12 厘米，底面半径为 3 厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一 半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离 心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.函数 的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） ln10a = lgb e= 2lge 2lg10 50, 6      5 ,15      2 50, 5      2 5 ,15      ( ) 3 sin3 xf x xπ= + A. B.64 C. D.32 9.已知非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 10.设函数 （ ， ）是 上的奇函数，若 的图象关于直线 对 称，且 在区间 上是单调函数，则 （ ） A. B. C. D. 11.对于函数 ，定义满足 的实数 为 的不动点，设 ，其中 且 ，若 有且仅有一个不动点，则 的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 12.已知双曲线 （ ， ）的左、右顶点分别为 ， ，虚轴的两个端点分别为 ， ，若四边形 的内切圆面积为 ，则双曲线焦距的最小值为（ ） A.8 B.16 C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 64 3 32 3 a b ( )2a b a− ⊥ ( )2b a b− ⊥ a b 6 π 4 π 3 π 2 π ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0ω > 0 ϕ π< ≤ R ( )f x 4x π= ( )f x ,22 11 π π −   12f π  =   3 2 2 2 − 1 2 1 2 − ( )f x ( )0 0f x x= 0x ( )f x ( ) logaf x x= 0a > 1a ≠ ( )f x a 0 1a< < a e= 1 a e< < 0 1a< < 1 ea e= 0 1a< < 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1A 2A 1B 2B 1 1 2 2A B A B 18π 6 2 12 2 13. 的展开式中， 的系数为_______（用数字作答）. 14.已知实数 ， 满足 则 的取值范围是______. 15.某次足球比赛中， ， ， ， 四支球队进入了半决赛.半决赛中， 对阵 ， 对阵 ，获胜的两 队进入决赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示. 获胜概率 — 0.4 0.3 0.8 获胜概率 0.6 — 0.7 0.5 获胜概率 0.7 0.3 — 0.3 获胜概率 0.2 0.5 0.7 — 则 队获得冠军的概率为______. 16.在棱长为 8 的正方体空盒内，有四个半径为 的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的 三个面相切，另有一个半径为 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论 怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径 的最大值为_______；大球半径 的最小值为______. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.联合国粮农组织对某地区最近 10 年的粮食需求量部分统计数据如下表： 年份 2010 2012 2014 2016 2018 需求量（万吨） 236 246 257 276 286 （1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标 ，“需 求量 ”为纵坐标 ，请完成如下数据处理表格： 年份—2014 0 需求量—257 0 （2）根据回归直线方程 分析，2020 年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食 300 万吨，问是否 能够满足该地区的粮食需求？ ( )6 2x y− 2 4x y x y 21 , 0, y x y  ≤ − ≥ x y+ A B C D A C B D A B C D A B C D A r R r R x 257− y ˆˆ ˆy bx a= + 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二 乘估计分别为： ， . 18. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其面积记为 ，满足 . （1）求 ； （2）若 ，求 的值. 19. 如 图 所 示 ， 四 棱 柱 中 ， 底 面 为 梯 形 ， ， ， ， ， ， . （1）求证： ； （2）若 ，求二面角 的余弦值. 20.市民小张计划贷款 60 万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月 的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个 月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若 2019 年 7 月 7 日贷款到账，则 2019 年 8 月 7 日首次还款）. 已知小张该笔贷款年限为 20 年，月利率为 0.004. （1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还 4900 元，最后一个还款月应还 2510 元， 试计算小张该笔贷款的总利息； （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张 家庭平均月收入为 1 万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y ˆˆ ˆy bx a= + 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − ABC∆ A B C a b c S 2 3 3 S AB CA= ⋅  A ( )3 2b c a+ = 2 2 2a b c bc ac ab + + 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD //AD BC 90ADC∠ = ° 1 2AB BC BB= = = 1AD = 3CD = 1 60ABB∠ = ° 1AB B C⊥ 1 1ABCD ABB A⊥平面 平面 1D B C B− − （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据： . 21.已知 是圆 ： 的直径，动圆 过 ， 两点，且与直线 相切. （1）若直线 的方程为 ，求 的方程； （2）在 轴上是否存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恰好与 轴相切？若存在，求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由. 22.已知函数 有两个极值点 ， . （1）求实数 的取值范围； （2）证明： . 大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评（一） 数学（理科）答案 一、选择题 1.解析：由 ，可得 ，所以 . 答案；C 命题点 一元二次不等式，集合的交集 创新点 不等式与集合的交汇问题 2.解析：由 知，复数 对应的点在以原点为圆心，1 为半径的圆上， 表示复数 对应的点与点 间的距离，又复数 对应的点所在圆的圆心到 的距离为 1，所以 . 答案：B 命题点 复数模的定义及其几何意义 2401.004 2.61≈ AB O 2 2 4x y+ = M A B 2 0y + = AB 0x y− = M y P MP x P ( ) 2 2 x kf x e x= − 1x 2x k ( ) ( )1 2 1 2 f x f x kx x + < 2 0x x− ≤ 0 1x≤ ≤ { }| 0 1A B x x= < ≤ 1z = z z i− z ( )0,1 z ( )0,1 max 1 1 2z i− = + + 创新点 复数模的几何意义 3.解析： 答案：D 命题点 诱导公式，和差公式 创新点 特殊角与非特殊角之间的互化 4.解析：设第一展望台到塔底的高度为 米，则 ， ；设塔的实际高度为 米， 则 ，故塔高 米，即塔高约为 480 米. 答案：B 命题点 数学文化，比例式 创新点 多知识领域的背景综合 5.解析：因为 ，所以由程序框图知，输出的值为 . 答案：A 命题点 条件分支结构 创新点 新定义问题 6.解析：当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为 ，短轴长为 6，所以椭圆离心率 ，所以 . 答案：C 命题点 橢圆的定义及其性质 创新点 以日常生活情境为背景 7.解析：易知 为奇函数，故排除 D.又 ，易知当 时， ；又当 19 7 7 6 2sin sin sin sin12 12 12 3 4 4 π π π π ππ +   = + = − = − + = −       x 100 2x x + = ( )100 2 1x = + y 2100 y x =+ ( ) ( )100 2 200 2 1 480y x= + = + ≈ ln10 1 lge> > 1 1ln10 ln10 ln10 0lga b e − = − = − = 2 212 6 6 5+ = 26 2 51 56 5 e  = − =   2 50, 5e  ∈   ( )f x ( ) 2 cosxf x xπ ′ = + 0, 2x π ∈   ( ) 0f x′ > 时 ， ， 故 在 上 单 调 递 增 ， 故 ，综上， 时， ，即 单调递增.又 为奇函数，所以 在 上单调递增，故排除 A，C. 答案：B 命题点 函数图象与性质的综合 创新点 分段判定导数符号 8. 解 析 ： 可 知 该 几 何 体 是 底 面 在 左 侧 的 四 棱 锥 ， 其 底 面 是 边 长 为 4 的 正 方 形 ， 高 为 4 ， 故 . 答案：A 命题点 三视图，空间几何体的体积 创新点 常规几何体的非常规放置 9.解析：由题意， ， ，所以 ， 即 ， ， ， ，所以 ， 即 . 答案：B 命题点 平面向量的数量积 创新点 条件形式的对称性 10.解析：由题意知 ，所以 .又由函数的对称轴易知 ， ，即 ， ，由函数的单调区间知， ，即 ，综上 ，则 ， . ,2x π ∈ +∞   ( ) 2 sin 1 sin 0xf x x xπ ′′ = − > − ≥ ( )f x′ ,2 π +∞   ( ) 2 4f x f π π ′ ′> =   [ )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( )f x R ( )1 644 4 43 3V = × × × = ( ) 22 2 0a b a a a b− ⋅ = − ⋅ = ( ) 22 2 0b a b b a b− ⋅ = − ⋅ = 2 2 2a b a b= = ⋅ a b= 2 2 cos ,a b a b a b⋅ = ⋅ 22a a= 2 2 cos ,a a b a b= ⋅ 2cos , 2a b = , 4a b π= ϕ π= ( ) sinf x xω= − 4 2 k πω π π= + k Z∈ 2 4kω = + k Z∈ 1 2 11 4 π π ω≤ ⋅ 5.5ω ≤ 2ω = ( ) sin 2f x x= − 1 12 2f π  = −   答案：D 命题点 三角函数的图象与性质 创新点 多性质的综合考查 11.解析：由 得， .又 的图象如图所示，易证其存在唯一的极大值 ，所以由 题意，得 或 ，即 或 . 答案：C 命题点 函数图象，利用导数研究切线 创新点 新定义问题（不动点） 12. 解 析 ： 设 四 边 形 的 内 切 圆 半 径 为 ， 双 曲 线 半 焦 距 为 ， 则 ，又易知 ，故 ，即 ，当且 仅当 时等号成立.故焦距的最小值为 . 答案：D 命题点 双曲线的定义及其性质 创新点 圆锥曲线与基本不等式综合 二、填空题 13.解析：因为 ，所以所求项的系数为 . 答案：60 loga x x= lnln xa x = ln xy x = 1 e ln 0a < 1ln a e = 0 1a< < 1 ea e= 1 1 2 2A B A B r c 1 1 2 2 1 12 2 42 2A B A BS a b c r= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅四边形 3 2r = 2 2 22 3 2 3 2 6 2 a b ab cc + = ≤ = 6 2c ≥ a b= 12 2 ( )6 1 6 2 rr r rT C x y− + = − ( )44 6 2 60C − = 命题点 二项式定理 创新点 二项展开式通项公式的应用 14.解析：由题意约束条件表示的平面区域为如图中所示的半圆面，考虑图中直线所示的两个临界位置，易 知所求取值范围为 . 答案： 命题点 线性规划 创新点 非线性条件 15.解析：由相应的概率公式知，所求概率 . 答案：0.18 命题点 独立事件，互斥事件的概率公式 创新点 利用图表读取概率 16.解析：易知当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径 最大，大球半径 最小.故可得 的 最大值为 2，下面分析 时 的取值.由对称性知，大球球心 与四个小球球心 ， ， ， 构成 一个正四棱锥（如图），且 ， .又由正方体盒知，正四棱锥 的高 （ 其 中 为 正 四 棱 锥 底 面 正 方 形 中 心 ） 长 为 ， 故 在 直 角 三 角 形 中 ， ，即 ，解得 ，即大球半径的最小值为 . 1, 2 −  1, 2 −  ( )0.3 0.5 0.4 0.5 0.8 0.18P = × × + × = r R r 2r = R O 1O 2O 3O 4O 1 2OO R r R= + = + 1 2 4O O = 1 2 3 4O O O O O− OH H 8 6r R R− − = − 1OHO 2 2 2 1 1OH HO OO+ = ( ) ( ) ( )22 26 2 2 2R R− + = + 5 2R = 5 2 答案：2， 命题点 立体几何中与球相关的切接问题 创新点 一题两空，数学与实际问题的结合（如何正确理解题意） 三、解答题 17.解：（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下： 年份—2014 0 2 4 需求量—257 0 19 29 （2）由题意可知，变量 与 之间具有线性相关关系， 由（1）中表格可得， ， ， ， 。由上述 计算结果可知，所求回归直线方程为 ， 利用回归直线方程，可预测 2020 年的粮食需求量为： （万吨）， 因为 ，故能够满足该地区的粮食需求. 命题点 线性回归直线 创新点 数据处理 18.解：（1）因为 ， 所以 ， 所以 . 5 2 4− 2− 21− 11− y x 0x = 3.2y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 4 21 2 11 0 0 2 19 4 29 5 0 3.2 260ˆ 6.5404 2 0 2 4 5 0 b − × − + − × − + × + × + × − × ×= = = − + − + + + − × ˆˆ 3.2a y bx= − = ˆ 6.5 3.2y x= + ( )6.5 2020 2014 3.2 257 299.2× − + + = 299.2 300< 2 3 3 S AB CA= ⋅  ( )3 sin cos cos3 bc A bc A bc Aπ= − = − tan 3A = − 因为 ， 所以 . （2）因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 为等腰三角形，且 ， 所以 . 命题点 面积，平面向量，正弦定理 创新点 向量夹角与三角形内角的关系 19.解：（1）取 中点为 ，连接 ， ， ， 因为 ， ， ， 所以 ，故 为等边三角形，则 . 连接 ，因为 ， ， 所以 为等边三角形，则 . 又 ，所以 . 0 A π< < 2 3A π= ( )3 2b c a+ = ( )3 sin sin 2sin 3B C A+ = = 23 sin sin 33B B π  + + =     1 33 sin cos 32 2B B  + =    sin 13B π + =   0 3B π< < 6B π= 6C π= ABC∆ : : 3 :1:1a b c = 2 2 2 3 3 2 33 33 3 3 a b c bc ac ab + + = + + = + AB O OC 1OB AC 1AD = 3CD = 90ADC∠ = ° 2AC = ABC∆ AB OC⊥ 1AB 1 2AB BB= = 1 60ABB∠ = ° 1ABB∆ 1AB OB⊥ 1OC OB O= 1AB OB C⊥ 平面 因为 ， 所以 . （2）由（1）知 ， 因为 ， ， 所以 ， 以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易求 ，则 ， ， ， ， 则 ， ， . 设平面 的法向量 ， 则 即 令 ，则 ， ， 故 . 设平面 的法向量 ， 则 则 令 ，则 ， ， 1 1B C OB C⊂ 平面 1AB B C⊥ AB OC⊥ 1 1ABCD ABB A AB=平面 平面 OC ABCD⊂ 平面 1 1OC ABB A⊥ 平面 O 1OB OB OC x y z 1 3OC OB= = ( )0,1,0B ( )1 3,0,0B ( )0,0, 3C 3 30, ,2 2D  −    ( )0, 1, 3BC = − ( )1 3,0, 3B C = − 3 30, ,2 2CD  = − −     1BB C ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 1 0, 0, n BC n B C  ⋅ = ⋅ =   1 1 1 1 3 0, 3 3 0, y z x z  − + = − + = 1 1x = 1 3y = 1 1z = ( )1 1, 3,1n = 1B CD ( )2 2 2 2, ,n x y z= 2 2 1 0, 0, n CD n B C  ⋅ = ⋅ =   2 2 2 2 3 3 0,2 2 3 3 0, y z x z − − = − + = 2 1x = 2 3 3y = − 2 1z = 故 ， 所以 . 由图可知，二面角 为钝角， 所以二面角 的余弦值为 . 命题点 点线面的位置关系，二面角 创新点 将面面，线面，线线垂直以及线线平行融合，增加综合性，平放的几何体让学生增强空间想 象能力，渗透直观想象的核心素养 20.解：（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为 ， 表示数列 的前 项和，则 ， ， 则 ， 故小张该笔贷款的总利息为 元. （2）设小张每月还款额为 元， 则 ， 所以 ， 2 31, ,13n  = −    1 2 1 2 1 2 1 105cos , 3575 3 n nn n n n ⋅= = = × 1D B C B− − 1D B C B− − 105 35 − { }na nS { }na n 1 4900a = 240 2510a = ( ) ( )1 240 240 240 120 4900 2510 8892002 a aS += = × + = 889200 600000 289200− = x ( ) ( ) ( ) ( )2 239 2401 0.004 1 0.004 1 0.004 600000 1 0.004x x x x+ + + + + + + = × + 240 2401 1.004 600000 1.0041 1.004x  − = × −  即 ， 因为 ， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为： ， 因为 ， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式. 命题点 等差数列，等比数列，实际应用 创新点 将数列与生活中的贷款问题相结合，契合新课标中提高数学应用意识的要求 21.解：（1）因为 过点 ， ，所以圆心 在 的垂直平分线上. 由已知 的方程为 ，且 ， 失于坐标原点 对称， 所以 在直线 上，故可设 . 因为 与直线 相切，所以 的半径为 . 由已知得| ，又 ， 故可得 ，解得 或 . 故 的半径 或 ， 所以 的方程为或 或 .. （2）法一：设 ，由已知得 的半径为 ， . 由于 ，故可得 ，化简得 的轨迹方程为 . 240 240 600000 1.004 0.004 600000 2.61 0.004 38911.004 1 2.61 1x × × × ×= ≈ ≈− − 13891 10000 50002 < × = 3891 240 600000 933840 600000 333840× − = − = 333840 289200> M A B M AB AB 0x y− = A B O M y x= − ( ),M a a− M 2 0y + = M 2r a= + 2AO = MO AO⊥  ( )222 4 2a a+ = + 0a = 4a = M 2r = 6r = M 2 2 4x y+ = ( ) ( )2 24 4 36x y+ + − = ( ),M x y M 2r y= + 2AO = MO AO⊥  ( )22 2 4 2x y y+ + = + M 2 4x y= 设 ， ，则的 ， 的中点 ， 则以 为直径的圆的半径为： ， 到 轴的距离为 ， 令 ，① 化简得 ，即 ， 故当 时，①式恒成立. 所以存在定点 ，使得以 为直径的圆与 轴相切. 法二：设 ，由已知得 的半径为 ， . 由于 ，故可得 ，化简得 的轨迹方程为 . 设 ，因为抛物线 的焦点 坐标为 ， 点 在抛物线上，所以 ， 线段 的中点 ，的坐标为 ， 则 到 轴的距离为 ， 而 ， 故以 为径的圆与 轴切， 所以当点 与 重合时，符合题意， 所以存在定点 ，使得以 为直径的圆与 轴相切. ( )00,P y ( )1 1,M x y 2 1 14x y= MP 1 01 ,2 2 y yxO + ′   MP ( )22 2 2 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 4 22 2 2MP x y y y y y y y= + − = + + − O′ x 1 0 1 0 1 2 2 y y y y + = + 2 2 1 0 1 0 1 1 0 1 14 22 2y y y y y y y+ + − = + 0 1 1y y y= ( )0 11 0y y− = 0 1y = ( )0,1P MP x ( ),M x y M 2r y= + 2AO = MO AO⊥  ( )22 2 4 2x y y+ + = + M 2 4x y= ( )1 1,M x y 2 4x y= F ( )0,1 M 1 1MF y= + MF O′ 1 1 1,2 2 x y +     O′ x 1 1 2 y + 1 1 1 2 2 y MF + = MF x P F ( )0,1P MP x 命题点 直线与圆，抛物线 创新点 以抛物线的定义为背景，回归本质 22.解：（1） ， 因为 存在两个极值点 ， 所以 有两个不等实根. 设 ，所以 . ①当 时， ， 所以 在 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. ②当 时，令 得 ， 0 减 极小值 增 所以 ，即 . 又因为 ， ， 所以 在区间 和 上各有一个零点，符合题意， 综上，实数 的取值范围为 . （2）证明：由题意知： ， ， 所以 ， . ( ) xf x e kx′ = − ( )f x 1x 2x ( ) 0xf x e kx′ = − = ( ) ( ) xg x f x e kx′= = − ( ) xg x e k′ = − 0k ≤ ( ) 0xg x e k′ = − > ( )g x R 0k > ( ) 0xg x e k′ = − = lnx k= x ( ),ln k−∞ ln k ( )ln ,k +∞ ( )g x′ − + ( )g x ( ) ( )min ln ln 0g x g k k k k= = − < k e> ( )0 1 0g = > ( ) 2 0kg k e k= − > ( )g x ( )0,ln k ( )ln ,k k k ( ),e +∞ ( ) 1 1 1 0xf x e kx′ = − = ( ) 2 2 2 0xf x e kx′ = − = 1 1 xe kx= 2 2 xe kx= 要证明 ， 只需证明 ， 只需证明 . 因为 ， ，所以 . 设 ，则 ， 所以 在 上是增函数，在 上是减函数. 因为 ， 不妨设 ， 设 ， ， 则 ， 当 时， ， ， 所以 ，所以 在 上是增函数， 所以 ， 所以 ，即 . 因为 ，所以 ， 所以 . 因为 ， ，且 在 上是减函数， ( ) ( )1 2 1 2 f x f x kx x + < ( ) 1 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x xk ke x e x kk x x kx x − − + = − + < 1 2 2x x+ > 1 1 xe kx= 2 2 xe kx= 1 2 1 2 1 x x x x e e k = = ( ) x xh x e = ( ) 1 x xh x e −′ = ( )h x ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ) ( )1 2 1h x h x k = = 1 20 1x x< < < ( ) ( ) ( )2x h x h xϕ = − − 0 1x< < ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 12 1x x x x x xx h x h x xe e e e ϕ − − − −  ′ ′ ′= − − = − = − −   ( )0,1x∈ 1 0x− > 2 1 1 x xe e −> ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ ( )0,1 ( ) ( )1 0xϕ ϕ< = ( ) ( )2 0h x h x− − < ( ) ( )2h x h x< − ( )1 0,1x ∈ ( ) ( )1 12h x h x< − ( ) ( )2 12h x h x< − ( )2 1,x ∈ +∞ ( )12 1,x− ∈ +∞ ( )h x ( )1,+∞ 所以 ， 即 ， 所以原命题成立，得证. 命题点 利用导数研究函数的极值点，证明不等式，隐零点，极值点偏移 创新点 隐零点代换，极值点偏移，构造函数 2 12x x> − 1 2 2x x+ >