江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷解析202004

江苏省如皋中学 2020 届高三创新班数学试卷 202004 一、填空题 1．设 M＝{m，2}，N＝{m+2，2m}，且 M＝N，则实数 m 的值是   ．0 2. 已知实数 ，且满足 ，则 _______2 3. 已知关于 x 的不等式 的解集为空集，则 的最 小值为______4 4. 已 知 ， 二次 函 数 对 于 都 恒 有 ， 又 ， 使得 成立，则 的最小值________ 5.已知 AB 是圆 O： 上的两点， 。若 M 是线段 AB 的中点， 则 _________3 6. 过 直 线 上 一 点 P ， 作 圆 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 ，若 ，则 PA=________ 7. 在∆ABC 中， ，若角 A 的最大值为 ，则实数λ的值是 3 8. 已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且 ，则椭圆和 双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 9. 已知夹角为 的两个单位向量 ，向量 满足 ，则 的最大值为_______ 10.已知长方体 ,过点 A 且与直线 CD 平行的平面 将长 方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个 球的半径之和的最大值为_________ 11. 已知数列 满足 ，则 __________ , (0,2)a b∈ 2 2 44 2 42 a ba b b− − = − − a b+ = 21 0( 1)x bx c aba + + < > 1 ( 2 ) 2( 1) 1 a b cT ab ab += +− − a b> 2( ) 4f x ax x b= + + x R∀ ∈ ( ) 0f x ≥ 0x R∃ ∈ 2 0 04 0ax x b+ + = 2 2a b a b + − 4 2 2 2 4x y+ = 5 2| | 2, 3 3AB OC OA OB= = −    OC OM =   2 0x y+ + = 2 2( 3) ( 1) 16x y− + + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 1 1 2 1 2( )( 2)y y x x x x− = − + − ( 5,3)P − ( ) ( 1)AB AC BCλ λ− ⊥ >   6 π 1F 2F P 1 2 3F PF π∠ = 4 3 3 θ ,a b  c ( ) ( ) 0a c b c− − =     | |c cos sin2 2 θ θ+ 1 1 1 1 1, 5, 3, 4ABCD A B C D AB AD AA− = = = α α 21 10 { }na 1 1 91, 5 n n n aa a a+ −= = − na = 23 n − 12.若 ， 是函数 ， 的两个极值点，且 ，则 的取值 范围为__________． 13. 已知 ， 分别为其左右焦点， 为 上任意一点， 为 平分线与 x 轴交点，过 作 垂线，垂足分别为 M,N,求 的最大值_______ 14. 已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范 围 _______________ 二‘解答题 15.（本小题满分 14 分） 已知函数 . （1）求函数 的最小正周期和单调递减区间； （2）在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ， 求 的值. 解析：（1）由已知得 所以周期 所以 所以 单调递减区间 （2）由已知 由于 所以 ， ，由正弦定理得 所以 1x 2x ( ) 2 ln 2f x x m x x= + − m R∈ 1 2x x< ( )1 2 f x x 3 ln 2,02  − −   2 2 2: 2 ,( 0)E x y a a+ = > 1 2,F F P E D 1 2F PFÐ D 1, 2PF PF 1 2 DMN F PF S S   1 4 ln , 1 ( ) 1 , 12 x x f x x x ≥=  − > 1 1 1 2 2 2 1 2( , ), ( , ) 1M x y M x y y y⇒ + = 22 2 S yx y += 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2·2 2 4 S y S y S Su x x y y Sy y y y + + += = = + − 2 1 2 1 2,4 4 S St y y y t t += ≤ = + 2 20, 4 S S +    2 2 ,4 S S + +∞   2 2 1 5 114 4 2 4 S S S t + ≥ ⇒ ≥ − + ⇒ = 2 1 2 min 1, 4y y u S S m= = + + = 2 2 1 50 14 4 2 S S S + < ⇒ < < − + 2 2 min 2 , 24 S St u S S S += = + − 19.（本小题满分 16 分） 20.（本小题满分 16 分） 设数列 的前 项和为 ，且 .（1）求证：数列 为等比数列； （2）设数列 前 项和为 ，求证： 为定值； （3）判断数列 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 解：（1）当 时， ，解得 . 当 时， ， 即 . 因为 ，所以 ， 从而数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 . （2）因为 ，所以 ， 的 { }na n nS *2 2,n nS a n N= − ∈ { }na 2{ }na n nT 2n n S T { }3n na− 1n = 1 12 2,S a= − 1 2a = 2n ≥ ( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2n n n n n n na S S a a a a− − −= − = − − − = − 12n na a −= 1 0a ≠ 1 2n n a a − = { }na 2n na = ( )22 2 4n n na = = 2 1 2 4n n a a + = 故数列 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列， 从而 ， ， 所以 . （3）假设 中存在第 项 成 等差数列， 则 ， 即 . 因为 ，且 ，所以 . 因为 ， 所以 ，故矛盾，所以数列 中不存在三项成等差数列. { }2 na ( ) ( )2 2 2 1 2 2 4 11 2 n n nS − = = −− ( ) ( )4 1 4 4 4 11 4 3 n n nT − = = −− 2 3 2 n n S T = { }3n na− , , ( )m n k m n k< < ( )2 3 3 3n m k n m ka a a− = − + − ( )2 3 3 2 3 2n m m k k na− = − + − m n k< < *, ,m n k N∈ 1n k+ ≤ ( ) 1 12 3 3 2 3 2 3 2 3 2n m m k k m m n n na + +− = − + − ≥ − + − 3 3 2n m m− ≥ − { }3n na−