高考仿真模拟练(二)
(时间：120 分钟；满分：150 分)
选择题部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若集合 M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝ x－1}，则( )
A．M＝P B．M⊆P
C．P⊆M D．M∩P＝∅
2．已知
m
1－i＝1＋ni，其中 m，n 是实数，i 是虚数单位，则 m＋ni 在复平面内对应的点
到坐标原点的距离为( )
A. 3 B．3
C. 5 D．5
3．已知直线 l⊥平面 α，直线 m∥平面 β，则“α∥β”是“l⊥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点 A(1，3)，则 2a＋b 的值等于( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
5．函数 y＝(2x－1)ex 的图象是( )
6．已知 O 是坐标原点，若点 M(x，y)为平面区域{x＋y ≥ 2x ≤ 1y ≤ 2上的一个动点，
则目标函数 z＝－x＋2y 的最大值是( )
A．0 B．1
C．3 D．47．设随机变量 X 的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2
P a
1
3
1
6
若 F(x)＝P(X≤x)，则当 x 的取值范围是[1，2)时，F(x)等于( )
A.
1
3 B.
1
6
C.
1
2 D.
5
6
8．已知单位向量 a，b 满足|2a－b|＝2，若存在向量 c，使得(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的
取值范围是( )
A.[ 6
2 ，
6
2 ＋1] B.[ 6
2 －1，
6
2 ]
C.[ 6
2 －1，
6
2 ＋1] D．[ 6－1， 6＋1]
9.
如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2，
则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( )
A.
1
5 B.
2
5
C.
3
5 D.
4
5
10．已知函数 f(x)＝x＋
2b
x ＋a，x∈[a，＋∞)，其中 a>0，b∈R，记 m(a，b)为 f(x)的最
小值，则当 m(a，b)＝2 时，b 的取值范围为( )
A．b>
1
3 B．b<
1
3 C．b>
1
2 D．b<
1
2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
非选择题部分
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分．
11．双曲线 x2－
y2
3 ＝1 的离心率是________，渐近线方程是________．
12.
一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为
________，正四棱锥的体积为________．
13．已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，2asin B＝ 3b，b＝2，c
＝3，AD 是内角的平分线，则 BC＝________，BD＝________．
14．在等比数列{an}中，已知 a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式为________．若
a3，a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项，则数列{bn}的前 n 项和 Sn 为________．
15．在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张奖券分配给 4 个
人，每人 2 张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
16．已知圆 O：x2＋y2＝1，直线 x－2y＋5＝0 上动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，
切点为 A，则|PA|的最小值为________．
17．已知函数 f(x)＝(1
2 ) x
，g(x)＝log
1
2
x，记函数 h(x)＝{g（x），f（x） ≤ g（x），
f（x），f（x） > g（x），
则函数 F(x)＝h(x)＋x－5 的所有零点的和为________．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
18．(本题满分 14 分)已知函数 f(x)＝sin xsin(x＋π
6 ).
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)当 x∈[0，
π
2 ]时，求 f(x)的取值范围．19.(本题满分 15 分)
如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，M 是 AC 的
中点，∠BAD＝120°，AA1＝AB.
(1)证明：MD1∥平面 A1BC1；
(2)求直线 MA1 与平面 A1BC1 所成的角的正弦值．
20．(本题满分 15 分)已知 f(x)＝ex－aln x(a∈R)．
(1)求函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当 a＝－1 时，若不等式 f(x)>e＋m(x－1)对任意 x∈(1，＋∞)恒成立，求实数 m 的取
值范围．21.(本题满分 15 分)
如图，已知直线 PA，PB，PC 分别与抛物线 y2＝4x 交于点 A，B，C 与 x 轴的正半轴分
别交于点 L，M，N 且|LM|＝|MN|，直线 PB 的方程为 2x－y－4＝0.
(1)设直线 PA，PC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1＋k2＝k1k2；
(2)求
S △ PAB
S △ PBC的取值范围．
22．(本题满分 15 分)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝
an
1＋a，n∈N*.记 Sn，Tn 分别是数
列{an}，{a2n}的前 n 项和．证明：当 n∈N*时，
(1)an＋1＜an；
(2)Tn＝
1
a－2n－1；
(3) 2n－1＜Sn＜ 2n.
高考仿真模拟练(二)
1．解析：选 B.因为集合 M＝{y|y>0}，P＝{y|y≥0}，故 M⊆P，选 B.
2．解析：选 C.法一：由已知可得 m＝(1＋ni)(1－i)＝(1＋n)＋(n－1)i，因为 m，n 是实
数，所以{n－1＝0，
n＋1＝m，故{m ＝2，
n＝1， 即 m＋ni＝2＋i，m＋ni 在复平面内对应的点为(2，1)，其到
坐标原点的距离为 5，故选 C.
法二：
m
1－i＝
m （1＋i）
1－i2 ＝
m
2＋m
2i＝1＋ni，故{m
2＝1，
m
2＝n，
即 {m ＝2，
n＝1， m＋ni 在复平面内对应
的点到坐标原点的距离为 22＋12＝ 5.
3．解析：选 A.根据已知条件，由于直线 l⊥平面 α，直线 m∥平面 β，如果两个平面平
行 α∥β，则必然能满足 l⊥m，反之，如果 l⊥m，则对于平面 α，β可能是相交的，故条件
能推出结论，但是结论不能推出条件，故选 A.4．解析：选 C.题意知，y′＝3x2＋a，
则{13＋a＋b＝3，
3 × 12＋a＝k，
k＋1＝3，
由此解得{a＝－1，
b＝3，
k＝2，
所以 2a＋b＝1，选 C.
5．解析：选 A.令 y＝(2x－1)ex＝0，解得 x＝
1
2，函数有唯一的零点，故排除 C、D.当 x→
－∞时，ex→0，所以 y→0，故排除 B.故选 A.
6.
解析：选 D.作出点 M(x，y)满足的平面区域，如图所示，由图知当点 M 为点 C(0，2)时，
目标函数 z＝－x＋2y 取得最大值，即为－1×0＋2×2＝4，故选 D.
7．解析：选 D.由分布列的性质，得 a＋
1
3＋
1
6＝1，所以 a＝
1
2.而 x∈[1，2)，所以 F(x)＝
P(X≤x)＝
1
2＋
1
3＝
5
6.
8．解析：选 C.如图，设 OA→
＝a， OB
→
＝b， OC→
＝c， OA′→
＝2a，因为|2a－b|＝2，所以
△OA′B 是等腰三角形．因为(c－2a)·(c－b)＝0，所以(c－2a)⊥(c－b)，即 A′C⊥BC，所以△
A′BC
是直角三角形，所以 C 在以 A′B 为直径，1 为半径的圆上．
取 A′B 的中点 M，因为 cos ∠A′BO＝
1
4，所以 OM2＝1＋1－2×1×1×
1
4＝
3
2，即 OM＝
6
2 ，
所以|c|∈[ 6
2 －1，
6
2 ＋1].
9．解析：选 D.连接 BC1，易证 BC1∥AD1，
则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角．
连接 A1C1 ，由 AB＝1，AA 1 ＝2，则 A 1C1 ＝ 2，A 1B＝BC 1 ＝ 5，故 cos∠A1BC1 ＝
5＋5－2
2 × 5 × 5
＝
4
5.
10．D
11．2 y＝± 3x
12．解析：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图，
则该正四棱锥的正视图为三角形 PEF(E，F 分别为 AD，BC 的中点)，
因为正四棱锥的所有棱长均为 2，
所以 PB＝PC＝2，EF＝AB＝2，PF＝ 3，
所以 PO＝ PF2－OF2＝ 3－1＝ 2，
所以该正四棱锥的正视图的面积为
1
2×2× 2＝ 2；
正四棱锥的体积为
1
3×2×2× 2＝
4 2
3 .
答案： 2
4 2
3
13．解析：由 2asin B＝ 3b 及正弦定理得 2sin∠BAC·sin B＝ 3sin B，所以 sin∠BAC＝
3
2 .因为∠BAC 为锐角，所以∠BAC＝
π
3 .
因为 AD 是内角平分线，
所以
BD
DC＝
AB
AC＝
c
b＝
3
2.
由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×
1
2＝7，
所以 BC＝ 7，BD＝
3
5 7.
答案： 7
3
5 7
14．解析：设数列{an}的公比为 q，则
a4
a1＝q3＝8，
所以 q＝2，所以 an＝2×2n－1＝2n.
设数列{bn}的公差为 d，因为 b3＝a3＝23＝8，b5＝a5＝25＝32，且{bn}为等差数列，所
以 b5－b3＝24＝2d，所以 d＝12，
所以 b1＝b3－2d＝－16，
所以 Sn＝－16n＋
n（n－1）
2 ×12＝6n2－22n.
答案：2n 6n2－22n
15．解析：把 8 张奖券分 4 组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、
(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给 4 人有 A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只
有一个奖，另两组无奖，共有 C 23种分法，再分给 4 人有 C23A 24种分法，所以不同获奖情况
种数为 A44＋C23A24＝24＋36＝60.
答案：60
16．解析：过 O 作 OP 垂直于直线 x－2y＋5＝0，过 P 作圆 O 的切线 PA，连接 OA，
易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝
|1 × 0－2 × 0＋5|
12＋22 ＝ 5.又|OA|＝
1，所以|PA|＝ |OP|2－|OA|2＝2.
答案：2
17．解析：由题意知函数 h(x)的图象如图所示，易知函数 h(x)的图象关于直线 y＝x 对称，函数 F(x)所
有零点的和就是函数 y＝h(x)与函数 y＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分
别为 x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线 y＝x 对称，所以
x1＋x2
2 ＝5－
x1＋x2
2 所以 x1＋x2
＝5.
答案：5
18．解：(1)由题意得
f(x)＝
3
2 sin2x＋
1
2sinxcos x
＝
1
2sin(2x－
π
3 )＋
3
4 ，
所以函数 f(x)的最小正周期 T＝π.
(2)由 0≤x≤
π
2 知，
－
3
2 ≤sin(2x－π
3 )≤1，
所以函数 f(x)的取值范围为[0，
1
2＋ 3
4 ].
19．解：(1)证明：连接 B1D1 交 A1C1 于点 E，连接 BE，BD.
因为 ABCD 为菱形，所以点 M 在 BD 上，
且 ED1∥BM，又 ED1＝BM，故四边形 ED1MB 是平行四边形，则 MD1∥BE，又 BE⊂平
面 A1BC1，MD1平面 A1BC1，因此，
MD1∥平面 BC1A1.
(2)由于 A1B1C1D1 为菱形，所以 A1C1⊥B1D1，
又 ABCDA1B1C1D1 是直四棱柱，有 A1C1⊥BB1，则 A1C1⊥平面 BB1D1D，
因此，平面 BB1D1D⊥平面 BC1A1.
过点 M 作平面 BB1D1D 和平面 BC1A1 交线 BE 的垂线，垂足为 H，得 MH⊥平面 BC1A1.
连接 HA1，则∠MA1H 是直线 MA1 与平面 BC1A1 所成的角．
设 AA1＝1，因为 ABCD 是菱形且∠BAD＝120°，则 AM＝
1
2，MB＝
3
2 .
在 Rt△MAA1 中，由 AM＝
1
2，AA1＝1，得 MA1＝
5
2 .在 Rt△EMB 中，由 MB＝
3
2 ，ME＝
1，得 MH＝
21
7 .
所以 sin ∠MA1H＝
M H
M A1＝
2 105
35 .
20．解：(1)由 f(x)＝ex－aln x，
则 f′(x)＝ex－
a
x，
f′(1)＝e－a，切点为(1，e)，所求切线方程为 y－e＝(e－a)(x－1)，即(e－a)x－y＋a＝
0.
(2)由 f(x)＝ex－aln x，a＝－1，
原不等式即为 ex＋ln x－e－m(x－1)>0.
记 F(x)＝ex＋ln x－e－m(x－1)，F(1)＝0.
依题意有 F(x)>0 对任意 x∈(1，＋∞)恒成立，
求导得 F′(x)＝ex＋
1
x－m，F′(1)＝e＋1－m，
令 g(x)＝ex＋
1
x－m，
则 g′(x)＝ex－
1
x2，
当 x>1 时，g′(x)>0，则 F′(x)在(1，＋∞)上单调递增，有 F′(x)>F′(1)，
若 m≤e＋1，符合题意；若 m>e＋1，则 F′(1)0，
故存在 x1∈(1，ln m)，使 F′(x1)＝0，
当 1
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