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频率，概率
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以
后，恐怕会吃不消的。”
“天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”
另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。”
“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻
松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。
成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。
1. 一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，4 个白球，从布袋中
随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知一个布袋里装有 2 个红球，3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若
从该布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为，则 a 等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，小明
摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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A． B． C． D．
4． 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出
一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
练习一 频数与频率
A 组
1、已知数据： 2323
1 ，，，， .其中无理数出现的频率为（ ）
A. 20％ B. 40％ C. 60％ D. 80％
2、明明连续记录了 10 天以来爸爸每天看报的时间，结果（单位：min）如下：
12 20 16 20 22 18 19 16 20 23
那么出现频率最高的时间是 ，它出现的频数是 ，频率是 ．
3、在科学课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表
所示：
由此估计这种作物种子发芽率约为 （精确到 0.01）．答：0.94
4、已知样本 25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，
26，28.若取组距为 2，那么应分为______组，在 24.5～26.5 这一组的频数是_______.
5、已知一组数据：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，
24，25，26，28，填写下面的频数分布表：天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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6、时代中学举行了一次科普知识竞赛.满分 100 分，学生得分的最低分 31 分．如图是根据学
生竞赛成绩绘制的频数分布直方图的一部分．参加这次知识竞赛的学生共有 40 人，则得分在
60~70 分的频率为 ．
7、某校为了了解九年级全体男生的身体发育情况，对20名男生的身高进行了测量（测量结果
均为整数，单位：厘米）.将所得的数据整理后，列出频率分布表，如下表所示：
则下列结论中：（1）这次抽样分析的样本是20名学生；
（2）频率分布表中的数据a＝0.30；
（3）身高167cm（包括167cm）的男生有9人，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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正确的有（ ）
A.（1）（2）（3） B.（1）（2） C.(1)(3) D.（2）（3）
8、已知一组数据共 100 个，在频数分布表中，某一小组的频数为 4，则这一小组的频率为
________.
9、已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别
为2，8，15，20，5，则第四组的频数和频率分别是________.
10、某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的 30 名学生，测试了 1 分钟仰卧
起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在 15~20
次之间的频率是（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
11、某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表：(分数均为整数，
满分为 100 分)
请根据表中提供的信息，解答下列各题：
(1)参加这次演讲比赛的同学共有________人；
(2)已知成绩在 91~100 分的同学为优胜者，那么，优胜率为________；
(3)所有参赛同学的平均得分 M(分)在什么范围内？答：________；
(4)将成绩频数分布直方图补充完整.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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B 组
12、一次测试九年级若干名学生 1 分钟跳绳次数的频数分布直方图如图.请根据这个直方图回
答下面的问题：
(1)求参加测试的总人数，以及自左至右最后一组的频率；
(2)若图中自左至右各组的跳绳平均次数分别为 137 次,146 次,156 次,164 次,177 次.小丽按以
下方法计算参加测试学生跳绳次数的平均数是：(137+146＋156＋164＋177)÷5＝156．请你判
断小丽的算式是否正确，若不正确，写 出正确的算式（只列式不计算）；
(3)如果测试所得数据的中位数是 160 次，那么测试次数为 160 次的学生至少有多少人？
13、某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩(成绩取整数，满分为 100 分)
作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图(图 10)． 请你根据图表提供
的信息，解答下列问题：
(1) 频数、频率分布表中 a= ，b= ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)数学老师准备从不低于 90 分的学生中选 1 人介绍学习经验，那么取得了 93 分的小华被选
上的概率是多少？天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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14、某校九年级学生共 900 人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行 1min
的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名
同学提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成 6 组绘成直方图（如图）；
乙：跳绳次数不少于 105 次的同学占 94％吧.
丙：第①、②两组频率之和为 0.12，且第②组与第⑥组频数都是 12；
丁：第②、③、④组的频数之比为 4:17:15．
根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：
（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？
（2）如果跳绳次数不少于 135 次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的
人数为多少？
（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生 1min
跳绳次数的平均值．
15、在我市实施“城乡环境综合治理”期间，某校组织学生开展“走出校门，服务社会”的公
益活动.八年级一班王浩根据本班同学参加这次活动的情况，制作了如下的统计图表：
该班学生参加各项服务的频数、频率统计表
请根据上面的统计图表，解答下列问题：
（1）该班参加这次公益活动的学生共有____________名；天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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（2）请补全频数、频率统计表和频数分布直方图；
（3）若八年级共有 900 名学生报名参加了这次公益活动，试估计参加文明劝导的学生人数.
16、某中学组织全校 4 000 名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布
情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分），并绘制了如图 6
的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？
（4）学校将对成绩在 90.5~100.5 分之间的学生进行奖励，请估计全校 4 000 名学生中约有多
少名获奖？
练习二 事件与概率
A 组
1、下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A.掷一枚普通正六面体骰子所得点数不超过 6 ；
B.买一张体育彩票中奖；
C.太阳从西边落下；
D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个白球．
2.有下列事件：
①在标准大气压下，温度低于 0℃时冰融化；
②在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球；
③如果 a、b 为实数，那么 a＋b＝b＋a；
④抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于 2．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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其中是必然事件的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3.同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，下列事件中
是不可能事件的是( )
(A)点数之和为 12. (B)点数之和小于 3.
(C)点数之和大于 4 且小于 8. (D)点数之和为 13.
4.下列说法正确的是（ ）
A “明天的降水概率为 30%”是指明天下雨的可能性是30%
B 连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数一定是 25 次
C 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数
D 某地发行一种福利彩票，中奖概率为 1%，买这种彩票 100 张一定会中奖
5、下列说法正确的是（ ）
A、可能性很大的事件必然发生;
B、可能性很小的事件也可能发生;
C、如果一件事情可能不发生，那么它就是必然事件;
D、如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它就不可能发生.
6．下列说法正确的是 （ ）
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000 次，其中，抛掷出 5 点的次数最少，则第 2001
次一定抛掷出 5 点;
B.某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖;
C．天气预报说明天下雨的概率是 50％．所以明天将有一半时间在下雨;
D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等.
7．小丁抛一枚硬币 10 次，有 7 次正面朝上，当他抛第 11 次时，正面向上的概率为______.
8.某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是（ ）
A．1 B． 1
2
C． 1
3
D．0
9. 假设你班有男生24名，女生26名，班主任要从班里任选．．一名红十字会的志愿者，则你被选
中的概率是（ ）
A． 12
25
B． 13
25
C． 1
2
D． 1
50
10. 6 张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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五边形、圆． 在看不见图形的条件下任意摸出 1 张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概
率是（ ）
A．
6
1 B．
3
1 C．
2
1 D．
3
2
11.在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同. 若从
中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是
5
4 ，则 n =________.
12．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出
一个乒乓球是黄色的概率是
5
2 ，可以怎样放球 （只写一种）.
13. 掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，观察向上一面的
点数，则点数为偶数的概率是 ，点数是 2 或 3 的概率是 ，点数是 2 的倍数或 3 的倍
数的概率是 ．
14.某市民政部门：“五一”期间举行“即开式福利彩票”的销售活动，发行彩票 10 万张（每
张彩票 2 元），在这此彩票中，设置如下奖项：
如果花 2 元钱购买 1 张彩票，那么所得奖金不少于 50 元的概率是（ ）
A、 1
2000
B、 1
500
C、 3
500
D、 1
200
15、如图表示某班 21 位同学衣服上口 袋的数目.若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为 5
的概率是 _.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21学号
口袋数
16．如图，一个小球从 A 点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左 或向右两种机会均等
的结果，小球最终到达 H 点的概率是 （ ）
A. 1
2
B. 1
4
C. 1
6
D. 1
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17.在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个．每次将球
搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球
的频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
18.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 60 个，除颜色外，形状、大小、
质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和
45%，则口袋中白色球的个数很可能是 个．
19．一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球
已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是 1
4
．
（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有 18 只，那么袋中的红球有多少只？
20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做
摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活
动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 0.1）
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
21．某鱼塘捕到 100 条鱼,称得总重为 150 千克,这些鱼大小差不多, 做好标记后放回鱼塘,在
它们混入鱼群后又捕到 102 条大小差不多的同种鱼,称得总重仍为 150 千克,其中有 2 条带有标
记的鱼.
(1)鱼塘中这种鱼大约有多少条? (2)估计这个鱼塘可产这种鱼多少千克?天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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B 组
22.从 A 地到 C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从 A 地到 B 地有 2 条水路、2
条陆路，从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择，走空中从 A 地不经 B 地直接到 C 地.则从 A 地到
C 地可供选择的方案有（ ）
A、20 种 B、8 种 C、 5 种 D、13 种
23．任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是正面朝上的概率是_____，抛掷一枚质地均匀的普通
硬币三次．先掷出两个正面再掷出一个反面的概率是
24.把 4 张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字 1，2，3，4，洗匀后正面朝下放在桌子上，
随机从中抽取一张卡片，记下数字后放回，再随机从中抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的
数字之和等于 5 的概率是（ ）
A ）
2
1 B ）
3
1 C ）
4
1 D ） 1
5
25.在四张相同的卡片上标有 1、2、3、4 四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的概
率是 ；②第一张为奇数第二张为偶数的概率是 ;③总是出现一奇
一偶的概率是
26．连掷两次骰子，它们的点数都是 4 的概率是（ ）
A.
6
1 B.
4
1 C.
16
1 D.
36
1
27.同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点数之和大于 9 的概率是（ ）
A． 1
6
B． 1
9
C． 1
12
D． 11
36
28．袋中有同样大小的 4 个小球，其中3个红色，个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，这
两个球颜色相同的概率是（ ）
Ａ. 1
2
Ｂ. 1
3
Ｃ. 2
3
Ｄ. 1
4
29.将三个均匀的六面分别标有 1、2、3、4、5、6 的正方体同时掷出，出现的数字分别为 a b c、 、 ，
则 a b c、 、 正好是直角三角形三边长的概率是（ ）
A． 1
216
B． 1
72
C． 1
12
D． 1
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30．有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数 , 1k k （其中 0,1,2, ,19k ）的卡
片 20 张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，则该卡片上两
个数的各位数字之和（例如：若取到标有 9，10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为
9 1 0 10 ）不小于 14 的概率为_______.
31. 一个不透明的布袋里装有 4 个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有 1，2，3，
4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的 3 个球中随机抽取第二个
乒乓球．
（1）请你列出所有可能的结果；
（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．
32.某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个相同的小球，
球上分别标有“0 元”、“10 元”、“20 元”和“30 元”的字样．规定：顾客在本商场同一
日内，每消费满 200 元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据
两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客刚好消费 200
元．
（1）该顾客至少可得到 元购物券，至多可得到 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率．
33.杨华与季红用 5 张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图 1 所示，背面完全一样，将它
们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，
杨华得 1 分，当两张硬纸片上的图形可拼出房子或小山时，季红得 1 分(如图 2)，问题：(1)
游戏规则对双方公平吗?请说明理由；(2)若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双
方公平?天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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频率，概率
1. 一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，4 个白球，从布袋中
随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．
分析： 直接根据概率公式求解即可．
解答： 解：∵装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．
故选 B．
点评： 本题考查的是概率公式，熟知随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数
与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
2. 已知一个布袋里装有 2 个红球，3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若
从该布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为，则 a 等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
分析：首先根据题意得： =，解此分式方程即可求得答案．
解：根据题意得： =，解得：a=1，经检验，a=1 是原分式方程的解，
∴a=1．故选 A．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，小明
摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，两次都摸到白球的有 2 种情况，
∴两次都摸到白球的概率是： =．
故答案为：C．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完
成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4． 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出
一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球
的标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
∵共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有 4 种情况，
∴两次摸出的小球的标号相同的概率是： =．
故选 C．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完
成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
练习一 频数与频率
A 组天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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【理解频数、频率的概念】
1、已知数据： 2323
1 ，，，， .其中无理数出现的频率为（ C ）
A. 20％ B. 40％ C. 60％ D. 80％
2、明明连续记录了 10 天以来爸爸每天看报的时间，结果（单位：min）如下：
12 20 16 20 22 18 19 16 20 23
那么出现频率最高的时间是 ，它出现的频数是 ，频率是 ．
答：20，3，0.3
3、在科学课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下
表所示：
种子数（个） 100 200 300 400
发芽种子数（个） 94 187 282 376
由此估计这种作物种子发芽率约为 （精确到 0.01）．答：0.94
4、已知样本 25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，
25，26，28.若取组距为 2，那么应分为______组，在 24.5～26.5 这一组的频数是_______.
答：5 8
5、已知一组数据：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，
24，25，26，28，填写下面的频数分布表：
答：频数累计从上到下依次为，，正，，，频数从上到下依次为：2，3，8，4，3，20，频
率依次为：0.10，0.15，0.40，0.20，0.15，1.00
【了解频数分布的意义和作用】
6、时代中学举行了一次科普知识竞赛.满分 100 分，学生得分的最低分 31 分．如图是根据天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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学生竞赛成绩绘制的频数分布直方图的一部分．参加这次知识竞赛的学生共有 40 人，则得
分在 60~70 分的频率为 ．答：0．1
7、某校为了了解九年级全体男生的身体发育情况，对20名男生的身高进行了测量（测量结
果均为整数，单位：厘米）.将所得的数据整理后，列出频率分布表，如下表所示：
分 组 频数 频率
151.5～156.5 3 0.15
156.5～161.5 2 0.10
156.5～166.5 6 a
166.5～171.5 5 0.25
171.5～176.5 4 0.20
则下列结论中：（1）这次抽样分析的样本是20名学生；
（2）频率分布表中的数据a＝0.30；
（3）身高167cm（包括167cm）的男生有9人，
正确的有（ B ）
A.（1）（2）（3） B.（1）（2）
C.(1)(3) D.（2）（3）
8、已知一组数据共 100 个，在频数分布表中，某一小组的频数为 4，则这一小组的频率为
________.答：0.04
9、已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分
别为2，8，15，20，5，则第四组的频数和频率分别是________.答：20，0.4
10、某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的 30 名学生，测试了 1 分钟仰
卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在
15~20 次之间的频率是（ A ）
成 绩 /
人数/人
30 40 50 60 70 80 90 100
5
10
15
0天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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人数
12
10
5
0 15 20 25 30 35 次数
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
分析：仰卧起做次数在 15～20 间的频数是30 5 10 12 3 ，其频率为 3 0.130
.
11、某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表：(分数均为整数，
满分为 100 分)
请根据表中提供的信息，解答下列各题：
图 1
(1)参加这次演讲比赛的同学共有________人；
(2)已知成绩在 91~100 分的同学为优胜者，那么，优胜率为________；
(3)所有参赛同学的平均得分 M(分)在什么范围内？答：________；
(4)将成绩频数分布直方图补充完整.
答：(1)20 (2)20% (3)77≤M≤86 (4)略
B 组
【能利用频数和频率解决简单的实际问题】
12、一次测试九年级若干名学生 1 分钟跳绳次数的频数分布直方图如图.请根据这个直方图
回答下面的问题：
(1)求参加测试的总人数，以及自左至右最后一组的频率；天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(2)若图中自左至右各组的跳绳平均次数分别为 137 次,146 次,156 次,164 次,177 次.小
丽按以下方法计算参加测试学生跳绳次数的平均数是：(137+146＋156＋164＋177)÷5＝
156．请你判断小丽的算式是否正确，若不正确，写 出正确的算式（只列式不计算）；
(3)如果测试所得数据的中位数是 160 次，那么测试次数为 160 次的学生至少有多少人？
跳绳次数(次)
九年级若干名学生 1 分钟跳绳次数
频数分布直方图
频
数
（
人
）
解：（1）50
12÷50＝0.24
（2）不正确
正确的算法：(137×4+146×6＋156×8＋164×20＋177×12)÷50．
（3）∵组距为 10,
∴第四组前一个边界值为 160,
又∵第一、二、三组的频数和为 18,
∴50÷2-18+1＝8 ，即次数为 160 次的学生至少有 8 人.
13、某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩(成绩取整数，满分为 100 分)
作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图(图 10)． 请你根据图表提
供的信息，解答下列问题：
(1) 频数、频率分布表中 a= ，b= ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)数学老师准备从不低于 90 分的学生中选 1 人介绍学习经验，那么取得了 93 分
的小华被选上的概率是多少？
分组 49.5~59.5 59.5~69.5 69.5~79.5 79.5~89.5 89.5~100.5 合计
频数 2 a 20 16 4 50
频率 0.04 0.16 0.40 0.32 b 1
成绩(分)
人数
2
49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5
6
4
18
20
图 10
8
10
12
14
16
O天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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解：(1)a＝8，b＝0.08
(2)
(3)小华被选上的概率是：
4
1
14、某校九年级学生共 900 人，为了解这个年级学生的体能，
从中随机抽取部分学生进行 1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、
丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四
名同学提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成 6 组绘成直方图（如图）；
乙：跳绳次数不少于 105 次的同学占 94％吧.
丙：第①、②两组频率之和为 0.12，且第②组与第⑥组频
数都是 12；
丁：第②、③、④组的频数之比为 4:17:15．
根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：
（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？
（2）如果跳绳次数不少于 135 次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优
秀的人数为多少？
（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学
生 1min 跳绳次数的平均值．
解：（1）第①组频率为：1 96% 0.04 ∴第②组频率为： 0.12 0.04 0.08
这次跳绳测试共抽取学生人数为：12 0.08 150 人
∵②、③、④组的频数之比为 4:17:15，第①～⑥组的人数分别为 6、12、51、45、24、12．
（2）第⑤、⑥两组的频率之和为 0.16 0.08 0.24
由于样本是随机抽取的，估计全年级有900 0.24 216 人达到跳绳优秀
（3） 100 6 110 12 120 51 130 45 140 24 150 12
150x ≈127 次.
15、在我市实施“城乡环境综合治理”期间，某校组织学生开展“走出校门，服务社会”的公益
活动.八年级一班王浩根据本班同学参加这次活动的情况，制作了如下的统计图表：
该班学生参加各项服务的频数、频率统计表
服务类别 频数 频率
文明宣传员 4 0.08
文明劝导员 10
义务小交警 8 0.16
环境小卫士 0.32
小小活雷锋 12 0.24
成绩(分)
人数
49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5
4
20
8
12
16
O
跳绳次数
人数
O 95 105 115 125 135 145 155
（每组数据含左端点值不含右端点值）
① ③② ④ ⑤ ⑥
第 21 题图天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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请根据上面的统计图表，解答下列问题：
（1）该班参加这次公益活动的学生共有____________名；
（2）请补全频数、频率统计表和频数分布直方图；
（3）若八年级共有 900 名学生报名参加了这次公益活动，试估计参加文明劝导的学生
人数.
答:（1）50 （2）环境小卫士的频数为 16 ,文明劝导员的频率为 0.2（3）180 人
16、某中学组织全校 4 000 名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分
布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分），并绘制了如图
6 的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？
（4）学校将对成绩在 90.5~100.5 分之间的学生进行奖励，请估计全校 4 000 名学生中约有
多少名获奖？
解：（1）
（2）略（3）80.5~90.5；（4）1480 人．
练习二 事件与概率
A 组
【了解不可能事件、必然事件和随机事件】
1、下列事件中，属于随机事件的是（ B ）
A.掷一枚普通正六面体骰子所得点数不超过 6 ；
B.买一张体育彩票中奖；
C.太阳从西边落下；
分组 频数 频率
50.5~60.5 0.05
60.5~70.5
70.5~80.5 80
80.5~90.5 0.26
90.5~100.
5 148 0.37
合计 1 图 6
频数
160
140
120
100
80
60
40
20
0 成绩/分50.5 60.5 70.5 80.5 90.5
分组 频数 频率
50.5~60.5 20
60.5~70.5 48 0.12
70.5~80.5 0.2
80.5~90.5 104
90.5~100.
5
合计 400天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个白球．
2.有下列事件：
①在标准大气压下，温度低于 0℃时冰融化；
②在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球；
③如果 a、b 为实数，那么 a＋b＝b＋a；
④抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于 2．
其中是必然事件的有( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3.同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，下列事件
中是不可能事件的是( D )
(A)点数之和为 12. (B)点数之和小于 3.
(C)点数之和大于 4 且小于 8. (D)点数之和为 13.
4.下列说法正确的是（ A ）
A “明天的降水概率为 30%”是指明天下雨的可能性是30%
B 连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数一定是 25 次
C 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数
D 某地发行一种福利彩票，中奖概率为 1%，买这种彩票 100 张一定会中奖
5、下列说法正确的是（ B ）
A、可能性很大的事件必然发生;
B、可能性很小的事件也可能发生;
C、如果一件事情可能不发生，那么它就是必然事件;
D、如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它就不可能发生.
A 组
【了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率】
6．下列说法正确的是 （D ）
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000 次，其中，抛掷出 5 点的次数最少，则第 2001
次一定抛掷出 5 点;
B.某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖;天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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C．天气预报说明天下雨的概率是 50％．所以明天将有一半时间在下雨;
D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等.
7．小丁抛一枚硬币 10 次，有 7 次正面朝上，当他抛第 11 次时，正面向上的概率为__1/2____.
8.某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是（ C ）
A．1 B． 1
2
C． 1
3
D．0
9. 假设你班有男生24名，女生26名，班主任要从班里任选．．一名红十字会的志愿者，则你被
选中的概率是（ D ） A． 12
25
B． 13
25
C． 1
2
D． 1
50
10. 6 张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、
正五边形、圆． 在看不见图形的条件下任意摸出 1 张，这张卡片上的图形是中心对称
图形的概率是（ C ）
A．
6
1 B．
3
1 C．
2
1 D．
3
2
11.在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同. 若
从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是
5
4 ，则 n =____8_____.
12．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸
出一个乒乓球是黄色的概率是
5
2 ，可以怎样放球 （只写一种）.
答：在一只不透明的袋中放入 3 只红色球、2 只黄色球，就能使得从袋中任意摸出一个乒乓
球是黄色的概率是
5
2 ；点拨：本题是一个开放题，答案不唯一，
13. 掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，观察向上一面
的点数，则点数为偶数的概率是 1/2 ，点数是 2 或 3 的概率是 1/3 ，点数是 2
的倍数或 3 的倍数的概率是 2/3 ．
14.某市民政部门：“五一”期间举行“即开式福利彩票”的销售活动，发行彩票 10 万张（每张
彩票 2 元），在这此彩票中，设置如下奖项：
奖金（元） 1000 500 100 50 10 2
数量（个） 10 40 150 400 1000 10000
如果花 2 元钱购买 1 张彩票，那么所得奖金不少于 50 元的概率是（ C ）
A、 1
2000
B、 1
500
C、 3
500
D、 1
200天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21学号
口袋数
15、如图表示某班 21 位同学衣服上口 袋的数目.若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为
5 的概率是 __. 4
21
16．如图，一个小球从 A 点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左 或向右两种机会均
等的结果，小球最终到达 H 点的概率是 （ B ）
A. 1
2
B. 1
4
C. 1
6
D. 1
8
17.在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球
中红球只有 3 个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下
颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的
频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是（ A ）
A．12 B．9 C．4 D．3
18.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 60 个，除颜色外，形状、大小、
质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和
45%，则口袋中白色球的个数很可能是 24 个．
19．一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的
球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是 1
4
．
（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有 18 只，那么袋中的红球有多少只？
【答案】
（1） ( ) ( )P 1 P 取出白球 取出红球 = 1 31 4 4
（2）设袋中的红球有 x 只，则有
1
18 4
x
x
（或 18 3
18 4x
）
解得 6x
所以，袋中的红球有 6 只．
20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习小组
做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表
是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
n
m 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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（1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 0.1）
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
解：（1）0.6；（2）0.6；0.4；（3）黑 8、白 12.
21．某鱼塘捕到 100 条鱼,称得总重为 150 千克,这些鱼大小差不多, 做好标记后放回鱼塘,
在它们混入鱼群后又捕到 102 条大小差不多的同种鱼,称得总重仍为 150 千克,其中有 2
条带有标记的鱼.
(1)鱼塘中这种鱼大约有多少条? (2)估计这个鱼塘可产这种鱼多少千克?
解：(1) 设鱼塘中一共有鱼 x 条，102：2＝x：100，所以 x＝102 100
2
=5100 ；
(2) 5100×[(150+150-2×1.5)÷(100+102-2)]=7573.5(千克)
答：鱼塘中这种鱼大约有 5100 条，这个鱼塘可产这种鱼 7573.5 千克.
B 组
【会利用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率】
22.从 A 地到 C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从 A 地到 B 地有 2 条水路、
2 条陆路，从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择，走空中从 A 地不经 B 地直接到 C 地.则从 A
地到 C 地可供选择的方案有（ D ）
A、20 种 B、8 种
C、 5 种 D、13 种
23．任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是正面朝上的概率是_1/4____，抛掷一枚质地均匀的
普通硬币三次．先掷出两个正面再掷出一个反面的概率是
8
1
24.把 4 张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字 1，2，3，4，洗匀后正面朝下放在桌子
上，随机从中抽取一张卡片，记下数字后放回，再随机从中抽取一张卡片，则两次抽取的卡
片上的数字之和等于 5 的概率是（ ）
A ）
2
1 B ）
3
1 C ）
4
1 D ） 1
5
25.在四张相同的卡片上标有 1、2、3、4 四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的
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概率是 1/6 ；②第一张为奇数第二张为偶数的概率是 1/3 ；③总是
出现一奇一偶的概率是 2/3
26．连掷两次骰子，它们的点数都是 4 的概率是（ D ）
A.
6
1 B.
4
1 C.
16
1 D.
36
1
27.同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点数之和大于 9 的概率是（ ）
A． 1
6
B． 1
9
C． 1
12
D． 11
36
28．袋中有同样大小的 4 个小球，其中3个红色，个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，
这两个球颜色相同的概率是（ ）
Ａ. 1
2
Ｂ. 1
3
Ｃ. 2
3
Ｄ. 1
4
29.将三个均匀的六面分别标有 1、2、3、4、5、6 的正方体同时掷出，出现的数字分别为
a b c、 、 ，则 a b c、 、 正好是直角三角形三边长的概率是（ D ）
A． 1
216
B． 1
72
C． 1
12
D． 1
36
30．有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数 , 1k k （其中 0,1,2, ,19k ）的
卡片 20 张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，则该卡片
上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 9，10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之
和为9 1 0 10 ）不小于 14 的概率为______________.
31. 一个不透明的布袋里装有 4 个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有 1，2，
3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的 3 个球中随机抽取第
二个乒乓球．
（1）请你列出所有可能的结果；
（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．
解：（1）根据题意列表如下：
1 2 3 4
1 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
由以上表格可知：有 12 种可能结果
（2）在（1）中的 12 种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有 2 种，
所以，P（两个数字之积是奇数） 2 1
12 6
．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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32.某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个相同的小
球，球上分别标有“0 元”、“10 元”、“20 元”和“30 元”的字样．规定：顾客在本商场同一
日内，每消费满 200 元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商
场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客刚
好消费 200 元．
（1）该顾客至少可得到 元购物券，至多可得到 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率．
解：（1）10，50；
（2）解：
从上图可以看出，共有 12 种可能结果，其中大于或等于 30 元共有 8 种可能结果，
因此 P （不低于 30 元）= 8 2
12 3
．
33.杨华与季红用 5 张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图 1 所示，背面完全一样，将
它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，
规则如下：当两张硬纸片上的图形可
拼成电灯或小人时，杨华得 1 分，当
两张硬纸片上的图形可拼出房子或小
山时，季红得 1 分(如图 2)，问题：(1)
游戏规则对双方公平吗?请说明理由；(2)若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏
对双方公平?（14 分）
(1)这个游戏对双方不公平，
∵P(拼成电灯)= ,P(拼成小人)= ,P(拼成房子)= ,P(拼成小山)= ,∴杨华平均每
次得分为 ×1+ ×1= 分，季红平均每次得分为 ×1+ ×1= 分.∵ ＜ ,
∴游戏对双方不公平；(2)改为：当拼成的图形是小人时杨华得 3 分，其余规则不变，就能
使游戏对双方公平.
0
10 20 30
10 20 30
10
0 20 30
10 30 40
0 10 30
20
20 30 50
20
30
0 10
5030 40
第一次
第二次
和
3
10 1
10
3
10
3
10
3
10
1
10
4
10
3
10
3
10
6
10
4
10
6
10
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