安徽十校联盟2020届高三线上自主联合检测数学（文）试题（部分解析）

【LMY—GK】第 1 页 共 13 页 安徽省十校联盟 2020 届高三线上自主联合检测 文科数学试题 2020.3.29 注意事项： 1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答题时使用 0.5 毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 建议打印用纸：试卷、答案：A4 纸或 A3 纸二合一打印 答题卡：A3 纸（建议彩印） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.复数 ， 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A． B． 的共轭复数为 C． 的实数与虚部之和为 D． 在平面内的对应点位于第一象限 3.雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分 析．图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法不 正确的是(　　) A．甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同 B．甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C．在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙 D．甲在这五个方面的综合表现优于乙 4.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C. D． { | 1}A x x= > { | 3 2}xB x= > A B = (0 1)， (1 2)， (1 )+ ∞， (0 )+ ∞， 2 i 1 iz += − i 5z = z 3 1 i2 2 + z 1 z 3 1log 2a = 2log 3b = 31 2c  =    a b c c b a> > b c a> > b a c> > c a b> > 【LMY—GK】第 2 页 共 13 页 5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为 86，则正整数 k 的最小值为(　　) A．43 B．1860 C．48 D．42 6.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的公差为（ ） A．3 B． C. D．-1 7.已知直线 l⊥平面α，直线 m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的(　　) A．既非充分也非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 8.已知实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则 （ ） A． B． C. D． 9．某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图所示（单位：dm），则该几何体 的表面积是（ ） A. dm2 B. dm2 C． dm2 D. dm2 （侧视 图中间有小圆） 10. 已知点 和 ，直线 ，若直线 与线段 有公共点，则 的最小 值为（ ） A. B. C. D. 11. 设 ω ＞ 0 ， 函 数 f(x) ＝ sin ω xcos φ ＋ cos ω xsin φ (ω＞0，|φ|＜ π 2 )的 图 象 经 过 点 (0，－ 1 2)，将该函数的图象向右平移π 6 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，则ω的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 { }na n nS 6 3a = 8 12S = { }na 1 2 x y 2 2 1 0 x y x y +   − ≥ ≤ ≥ z x my= + 10 m = 1 2 3 4 2 2 5π π11 2 1 9π π9 ( )1,1A 7 7,6 9B     : 7 0l ax by+ − = l AB 2 2a b+ 24 49 2 25 324 13 【LMY—GK】第 3 页 共 13 页 12．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线交于 P，Q 两个不同的点，O 为坐标 原点，P，Q 两点在直线 x＝－p 上的射影分别为 M，N，若|MO|＝2 3，|NO|＝ 3，则 p2＝(　　) A．1 B．12 5 C．4 D．6 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ， ，若 ，则实数 ． 14.在△ABC 中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ 3，则 c sin C的值为________． 若变量 满足 ,且 ,则 的最大值是 ▲ ． 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 （单位：万元）与年销售额 （单位：万元）进行了初步统计，如下表所示． 年广告支出 /万 元 2 3 5 7 8 年销售额 /万 元 28 37 60 70 经测算，年广告支出 与年销售额 满足线性回归方程 ，则 的值为 ▲ ． 16.已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，准线 ： ，点 在抛物线 上，点 在准线 上，若 ，直线 的倾斜角为 ，则 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足 bn=an+n+4，若 b1，b3，b6 成等比数列，且 b2=a8． （1）求 an，bn； （2）求数列{ }的前 n 项和 Sn． ( 2)a k k= − + ， (2 3)b = − ， ( 2 )a a b+  ∥ k = x y， 2 2 3 3 0 x y x y x + ≤  − ≤  ≥ 2z x y= + z x y x y a x y ^ 6.4 18y x= + a C 2 2y px= 0p > F l 5 4x = − M C A l MA l⊥ AF 3 π MF = 【LMY—GK】第 4 页 共 13 页 18.2019 年国际篮联篮球世界杯将于 2019 年 8 月 31 日至 9 月 15 日在中国的北京、广州、南京、上 海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行．为了宣传国际篮联篮球世界杯，某大学从全校学生中随 机抽取了 120 名学生，对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如 下： 会收看 不会收看 男生 60 20 女生 20 20 (1)根据上表说明，能否有 99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关？ (2)现从参与问卷调查且会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方 法选取 4 人参加 2019 年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动． (ⅰ)求男、女生各选取多少人； (ⅱ)若从这 4 人中随机选取 2 人到校广播站开展 2019 年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好 选到 2 名男生的概率． 附：K2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中 n＝a＋b＋c＋d， P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19. 如图，四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ， ， 是 上一动点． （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，三棱锥 的体积为 ，求四棱锥 P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 3ABC π∠ = M PC PAC ⊥ MBD PB PD⊥ P ABD− 6 24 P ABCD− A B C O M P 【LMY—GK】第 5 页 共 13 页 的侧面积． 20. 已知椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（a＞b＞0）的左顶点为 A（﹣2，0），焦距为 2． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为点 M，与圆 O：x2+y2＝4 的另一个交点为点 N，是否 存在直线 l 使得|AM|＝|MN|？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数 . （1）求函数 的极值； （2）若 ， 是方程 （ ）的两个不同的实数根，求证： . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满 分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 2( ) lnf x x x x= − − ( )f x 1x 2x 2( )ax f x x x+ = − 0a > 1 2ln ln 2ln 0x x a+ + < xOy C 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = θ l 【LMY—GK】第 6 页 共 13 页 （ 为参数， 为直线 的倾斜角）.以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，并在两个坐标系下取相同的长度单位. （Ⅰ）当 时，求直线 的极坐标方程； （Ⅱ）若曲线 和直线 交于 两点，且 ，求直线 的倾斜角. 23．（本题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知 f(x)＝|2x＋4|＋|x－3|. (1)解关于 x 的不等式 f(x)6.635， 所以有 99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关． (2)(ⅰ)根据分层抽样方法得，选取男生3 4×4＝3(人)，女生1 4×4＝1(人)， 所以选取的 4 人中，男生有 3 人，女生有 1 人． (ⅱ)设抽取的 3 名男生分别为 A，B，C，1 名女生为甲． 从 4 人中抽取 2 人，所有可能出现的结果为(A，B)，(A，C)，(A，甲)，(B，C)，(B，甲)，(C， 甲)，共 6 种， 其中恰好选到 2 名男生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 种． 所以所求概率 P＝3 6＝1 2. 19【证明】（1） 平面 ， 平面 ， ． 底面 是菱形， ． 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ． 又 平面 ， 平面 平面 ． …………………..5 分 （2）设菱形 的边长为 ， ， ． 在 中， ．又 平面 ， ， ， ， ． 又 ， ， ， ，  PA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PA BD∴ ⊥  ABCD BD AC∴ ⊥ PA AC A=  PA ⊂ PAC AC ⊂ PAC BD∴ ⊥ PAC  BD ⊂ MBD ∴ PAC ⊥ MBD ABCD x 3ABC π∠ = 2 3BAD π∴∠ = ABD∆ 2 2 2 2 2 212 cos 2 2 ( ) 32BD AD AB AD AB BAD x x x= + − ⋅ ∠ = − ⋅ − = 3BD x∴ =  PA ⊥ ABCD AB AD= PB PD⊥ 6 2PB PD x∴ = = 2 2PA x∴ = 2 21 1 2 3sin sin2 2 3 4ABDS AB AD BAD x x π ∆ = ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ = 2 - 1 1 3 2 6=3 3 4 2 24ABDP ABDV S PA x x∆∴ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅三棱锥 1x∴ = 2 6,2 2PA PB PD∴ = = = 【LMY—GK】第 10 页 共 13 页 ． 又 平面 ， ， 四棱锥 的侧面积为 ． …………………..12 分 20.解：（1）由题意，可知 a＝2，c＝1．则 a2＝4，b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3． ∴椭圆 C 的标准方程为푥2 4 + 푦2 3 = 1． （2）由题意，假设存在直线 l 使得|AM|＝|MN|，可设直线 l 的斜率为 k． 则直线 l：y＝k（x+2）． ∵|AM|＝|MN|，即点 M 为线段 AN 中点， ∴根据圆的性质，可知 OM⊥AN，且 OM 平分 AN． 根据题意画图如下： 则|OM| = |푘 ⋅ 0 ― 0 + 2푘| 푘2 + 1 = 2|푘| 푘2 + 1 ． 在 Rt△AMO 中，AM = 퐴푂2 ― 푀푂2 = 4 ― 4푘2 4푘2 + 1 = 2 푘2 + 1 ． 联立直线 l 与椭圆 C 方程，可得： {푦 = 푘(푥 + 2) 푥2 4 + 푦2 3 = 1 ， 消去 y，整理得（4k2+3）x2+16k2x+4（4k2﹣3）＝0． 则△＝256k4﹣16（4k2+3）（4k2﹣3）＝144＞0． , 13ABC AC AB π∠ = ∴ = =  PA ⊥ ABCD 6 2PC PB∴ = = ∴ P ABCD− 21 2 1 6 1 5 22 2 2( 1 ( ) 1)2 2 2 2 4 2PAB PBCS S∆ ∆ ++ = × × + × − × = 【LMY—GK】第 11 页 共 13 页 x1+x2 = ― 16푘2 4푘2 + 3 ，x1•x2 = 4(4푘2 ― 3) 4푘2 + 3 ．[来源:学.科.网 Z.X.X.K] |AM| = 1 + 푘2• (푥1 + 푥2)2 ― 4푥1푥2 = 1 + 푘2• ( 16푘2 4푘2 + 3 )2 ― 16(4푘2 ― 3) 4푘2 + 3 = 12 푘2 + 1 4푘2 + 3 ． ∴ 2 푘2 + 1 = 12 푘2 + 1 4푘2 + 3 ． 整理，得 2k2+3＝0．很明显矛盾， 故直线 l 不存在． 21.解：（1）依题意， 故当 时， ，当 时， 故当 时，函数 有极小值 ，无极大值. （2）因为 ， 是方程 的两个不同的实数根. ∴ 两式相减得 ，解得 要证： ，即证： ，即证： ， 即证 ， 不妨设 ，令 .只需证 . 设 ，∴ ； 21 2 1( ) 2 1 x xf x x x x − −′ = − − = (2 1)( 1)x x x + −= (0 1)x∈ ， ( ) 0f x′ < (1 )x∈ + ∞， ( ) 0f x′ > 1x = ( )f x (1) 0f = 1x 2x 2( )ax f x x x+ = − 1 1 2 2 ln 0(1) ln 0(2) ax x ax x − =  − = 2 1 2 1 ( ) ln 0xa x x x − + = 2 1 2 1 ln x xa x x = − 1 2ln ln 2ln 0x x a+ + < 1 2 2 1x x a < 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ln x xx x x x −<       2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( )ln 2x x x x x x x x x x   −< = − +    1 2x x< 2 1 1x tx = > 2 1ln 2t t t < − + 2 1( ) ln 2g t t t t = − − + 2 2 1 1 1( ) ln 1 2lng t t t tt t t t  ′ = − + = − +   【LMY—GK】第 12 页 共 13 页 令 ，∴ ，∴ 在 上单调递减， ∴ ，∴ ，∴ 在 为减函数，∴ . 即 在 恒成立，∴原不等式成立，即 . 23.解：(1)由题意可得 f(x)＝{－3x－1，x ≤ －2， x＋7，－2＜x＜3， 3x＋1，x ≥ 3， 故当 x≤－2 时，不等式可化为－3x－1－3，故此时不等式的解集为(－3，－2]； 当－2