安徽2020届高三数学(文)下学期测试卷(五)(PDF版含答案)
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安徽2020届高三数学(文)下学期测试卷(五)(PDF版含答案)

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资料简介
1 2020 届高三年级自测试卷 文科数学(五) 命题人: 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1、已知集合 {12 3 4}A  ,,, ,  | 1 3B x x    ,则 A B =( ) A. }1{ B. }2,1{ C. }3,2,1{ D. }4,3,2,1{ 2、复数 1 i i z += 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3、设 1 52a  , 1 31( )4b  , 2 1log 2c  ,则( ) A. a b c  B. a c b  C. b a c  D. b c a  4、设 ,  是两个不同的平面, ,l m 是两条不同的直线,且l  , m  ,则( ) A. 若 / /  ,则 //l m B. 若 / /m a ,则 / /  C. 若 m  ,则  D. 若  ,则 //l m 5、“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样,为了测算某火纹纹样(如图 阴影部分所示)的面积,作一个边长为 3 的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷 2000 个点,己知恰有 800 个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是( ) A. 16 5 B. 18 5 C. 10 D. 32 5 6、若变量 x,y 满足约束条件则 0 0 3 4 0 x y x y x y          ,则 2y x 的最小值是( ) A. -1 B. -6 C. -10 D. -15 7、已知函数  y f x 的图像由函数   cosg x x 的图像经如下变换得到:先将  g x 的图像向 右平移 6  个单位,再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,则函数  y f x 的对称轴方程为( ) A. 2 12 kx    , k Z B. 2 6 kx    ,k∈Z C. 12x k   , k Z D. 6x k   , k Z 8、直线3 4 0x y m   与圆 2 2 2 4 1 0x y x y     相切,则 m  ( ) 2 A. -5 或 15 B. 5 或-15 C. -21 或 1 D. -1 或 21 9、已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 5 ,直线 2 10 0x y   过椭圆的左顶点,则椭 圆方程为( ) A. 2 2 15 4 x y  B. 2 2 125 9 x y  C. 2 2 116 9 x y  D. 2 2 125 16 x y  10、已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在球面上, PB  平面 ABC. 2 3PB  , ABC 为直角 三角形, AB BC ,且 1AB  , 2BC  .则球的表面积为( ) A. 5 B. 10 C. 17 D. 17 17 6  11、关于函数   sin cosf x x x  有下述四个结论: ①  f x 是偶函数②  f x 在区间( , )2   单调递减 ③  f x 最大值为 2 ④当 ( , )4 4x    时,   0f x  恒成立 其中正确结论的编号是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 12、已知关于 x 的方程为 2 2 2 2( 3) 23 ( 3)x x x e xe e     则其实根的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。 13、已知 0a  , 0b  , 2 4a b  ,则 3 ab 的最小值为____________. 14、已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 3 6 3 3 8 S S  ,则 5 6 4 2a a a  ____________. 15、已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b    0, 0a b  的实轴长为 8,右焦点为 F,M 是双曲线 C 的一条渐 近线上的点,且 OM MF ,O 为坐标原点,若 6OMFS  ,则双曲线 C 的离心率为____________. 16、在 ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 2cos ( 2 cos )A a C  , 2c  , D 为 AC 上一点, : 1:3AD DC  ,则 ABC 面积最大时, BD  ____________. 3 三、解答题:本大题共 6 个小题,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知等差数列 na 为递增数列,且满足 1 2a  , 2 2 2 43 5a a a  . (1)求数列 na 的通项公式; (2)令 *1 ( )( 1)( 1)n n n b n Na a    , nS 为数列 nb 的前 n 项和,求 nS . 18.(本小题满分 12 分) 如图(1)在等腰直角三角形 ABC 中, 90ACB   , 4AB  ,点 D 为 AB 中点,将 ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 1A BCD ,如图(2),其中 1 60A DB   ,点 M,N,G 分别为 1AC ,BC, 1A B 的中点. (1)求证: MN  平面 DCG. (2)求三棱锥 G-A1DC 的体积. 19.(本小题满分 12 分) 生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾 4 类.为了获悉高中学 生对垃圾分类的了解情况,某中学设计了一份调查问卷,500 名学生参加测试,从中随 机抽取了 100 名学生问卷,记录他们的分数,将数据分成 7 组:[20 )30, ,[30 )40, ,…, [80 ]90, ,并整理得到如下频率分布直方图: (1)从总体的500 名学生中随机抽取一人,估计其分数不低于 60 的概率; (2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间[40 )50, 内的学生 人数, (3)学校环保志愿者协会决定组织同 学们利用课余时间分批参加“垃 圾分类,我在实践”活动,以增强 学生的环保意识.首次活动从样 本中问卷成绩低于 40 分的学生中 随机抽取 2 人参加,已知样本中 分数小于 40 的 5 名学生中,男生 3 人,女生 2 人,求抽取的 2 人中男 女同学各 1 人的概率是多少? 4 20.(本小题满分 12 分) 设曲线 2: 2 ( 0)C x py p  上一点 ( )2M m, 到焦点的距离为 3. (1)求曲线 C 方程; (2)设 P,Q 为曲线 C 上不同于原点 O 的任意两点,且满足以线段 PQ 为直径的圆过 原点 O,试问直线 PQ 是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不恒过定 点,说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 )()( 2 Rax aaxxxf  。 (1)当 1a 且 1x 时,求函数 )(xf 的单调区间; (2)当 12  e ea 时,若函数 xxxfxg ln)()( 2  的两个极值点分别为 21, xx ,证明: 1 4|)()(|0 221  exgxg 选做题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题记分. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 E 经过点 P 3(1, )2 ,其参数方程 cos 3 sin x a y     ( 为参数), 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 E的极坐标方程; (2)若直线 l 交 E 于点 A,B,且 OA  OB,求证: 2 2 1 1 | | | |OA OB  为定值,并求出这个定值. 23. 已知函数   1 2 1f x x x m     . (1)求不等式  f x m 的解集; (2)若恰好存在 4 个不同的整数 n,使得   0f n  ,求 m 的取值范围. 5 2020 届高三年级自测试卷 文科数学(五)参考答案 1—6 B D A C B B 7—12 AA D C D B 11、D ①,   sin cos( )) (f x x f xx      ,所以  f x 是偶函数,所以①正确. ②,当 ( , )2x   时,   sin cos 2 sin( )4f x x x x     ,此时函数  f x 在 ( , )2   单调递减,所 以②正确. ③,设sin c = 2osx x ,即 = 2+sin cosx x ,由 2+ cos 2x  ,而sin 1x  , 显然方程无实数根,则 2 不是函数  f x 的函数值,所以③不正确. ④, 当 x [0, )4  时,   sin cosf x x x  ,由三角函数线可知,此时sin cosx x ,即   0f x  ,又  f x 是偶函数, 得 ( , )4 4x    时,   0f x  恒成立,所以④正确. 12、B 将方程 2 2 2 2( 3) 23 ( 3)x x x e xe e     变形为 2 2 2 3 3 2 ( 3) x x x e e e x e    , 设 2 3 x xt e  ,即 2 3 2t e t e   ,则 2 2 2 3 0e t et   ,解得 1t e   或 3t e  设 2 3( ) x xf x e  ,则 22 ( 3) ( 3)( 1)( ) x x x x x xf x e e        所以 ( )f x 在 ( , 1)  上单调递减,在 ( 1,3) 上单调递增,在 (3, ) 上单调递减. 又 ( 1) 2f e   , 3 6(3)f e  ,且当 3x  时, ( ) 0f x  ,所以函数 ( )f x 的大致图像如右, 所以由 1t e   或 3t e  ,即 2 3 1 x xt e e    有 2 个根, 2 3 3 x xt e e   有 1 个根.所以方程 2 2 2 2( 3) 23 ( 3)x x x e xe e     有 3 个实数根. 13、 3 2 14、 1 3 设等比数列 na 的首项为 1a ,公比为 q. 当 1q  时显然不成立. 所以 1q  ,则由 6 1 3 3 3 6 6 3 1 (1 ) 3 1 1+1= = =3 (1 )3 8 3(1 ) 3 1 a q S q qq a qS q q      , 6 解得: 1 2q  ,所以 5 2 6 1 4 3 4 1 15 122 2 2 14 11 31 2 a a q q a a a q a q q         15、双曲线的实轴长为 8,则 4a  , OM MF ,即 MF 为焦点到渐近线的距离 所以 MF b ,又 OF c ,所以在直角 OFM△ 中, =OM a , 则 1 62OFMS ab  ,得 3b  , 5c  ,所以 5 4 ce a   .故答案为: 5 4 16、 将 2c  代入 2cos ( 2 cos )A a C  得: cos ( 2 cos )c A a C   ,由正弦定理有: sin cos sin ( 2 cos )C A A C   ,即sin cos +cos sin 2 sinC A C A A   , 则sin( ) 2 sinA C A  ,即sin 2 sinB A ,所以 2b a . 以 AB 为 x 轴, AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系, 则 ( 1,0), (1,0)A B ,设 ( , )C x y ,由 2b a ,即| | 2 | |AC BC , 所以 2 2 2 2( 1) 2[( 1) ]x y x y     ,即 2 2( 3) 8( 0)x y y    如图,顶点C 在圆 2 2( 3) 8( 0)x y y    上,设圆心 (3,0)E ` 显然当CE AB 时,三角形 ABC 的面积最大, 由 : 1:3AO OE  ,又 : 1:3AD DC  所以 / /OD CE ,又因为CE AB ,即 D 点在 y 轴上(如图) 2 4 2 CEOD   , 1OB  所以 1 61 2 2BD    故答案为: 6 2 17、解:(1)由题意知 2 2 2(2 2 ) (2 3 ) (2 4 )d d d     23 4 4 0d d    2d  或 2 3d   { }na 为递增数列, 2d  故数列{ }na 的通项公式为 2 .na n (2) 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n       1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ... ( )]2 3 3 5 5 7 2 1 2 1nS n n            1 1(1 )2 2 1n    2 1 n n   . 18、解:(1)由题知图(1)中 2 2, 2AC BC AD BD CD     在三棱锥 1A BCD 中, 1 1,A D BD AC BC  7 ∵点G 是 1A B 的中点, 1 1,DG A B CG A B   ,又 DG CG G  1A B  平面 DGC 又 点 M 、 N 分别是 1AC 、 BC 的中点, 1/ /MN A B MN DGC  平面 . (2)由图(1)知 1 ,CD A D CD BD  ,且 CD 平面 1A DG 又 0 1 60A DB  , 1A DB 为等边三角形, 1 1, 2,DG A B A B   1 1 1 1, 3,2AG A B DG   1 1 1 1 31 32 2 2A DGS AG DG       , 1 1 1 1 1 3 323 3 2 3G A DC C A DG A DGV V S CD         . 19、解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数高于 60的频率为 (0.02 0.04 0.02) 10 0.8    ,所以样本中分数高于 60 的概率为 0.8. 故从总体的 500 名学生中随机抽取一人,其分数高于 60 的概率估计为 0.8. (2)根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为 (0.01 0.02 0.04 0.02) 10 0.9     , 分数在区间[40,50) 内的人数为100 100 0.9 5 5    . 所以总体中分数在区间[40,50) 内的人数估计为 5500 25100   . (3)设 3 名男生分别为 1 2 3, ,a a a ,2 名女生分别为 1 2,b b ,则从这 5 名同学中选取 2 人的结果为: 1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 2 3 1 2{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }{ , },{ , },{ , },{ , }a a a a a b a b a b a b a b a b a a b b, 共 10 种情况.其中 2 人中男女同学各 1 人包含结果为: 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2{ , },{ , },{ , },{ , }{ , },{ , }a b a b a b a b a b a b, ,共 6 种. 设事件 {A  抽取的 2 人中男女同学各 1 人},则 6 3( ) 10 5P A   所以,抽取的 2 人中男女同学各 1 人的概率是 3 5 . 20 解:(1)由抛物线定义得 2 32 p  ,解得 2p  ,所以曲线 C 方程为 2 4x y (2) 以 PQ 为直径的圆过原点 O , OP OQ  设直线OP 的方程为 ( 0)y kx k  ,与曲线 C 方程 2 4x y 联立,得 2 4x kx 解得 0x  (舍去)或 4x k ,则 2(4 ,4 )P k k .又直线OQ 的方程为 1 y xk ,同理: 2 4 4( , )Q k k  . 又直线 PQ 斜率存在, PQ 的直线方程为 2 2 2 4 4 4 44 4 y k x k k kk k      即 1( ) 4.y k xk    直线 PQ 恒过定点  0,4 . 8 9 10 22、(1)将点 3(1, )2P 代入曲线 E 的方程, 得 1 cos , 3 3 sin ,2 a     解得 2 4a  ,所以曲线 E 的普通方程为 2 2 14 3 x y  , 极坐标方程为 2 2 21 1( cos sin ) 14 3     . (2)不妨设点 ,A B 的极坐标分别为 1 2 1 2( ) ( ) 0 0,2A B        , , , , , 则 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1( cos sin ) 1,4 3 1 1( cos ( ) sin ( ) 1,4 2 3 2                  即 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1cos sin4 3 1 1 1sin cos4 3           , 2 2 1 2 1 1 1 1 7 4 3 12     ,即 2 2 1 1 7 | | | | 12OA OB   23 解析:(1)由  f x m ,得, 1 2 1x x   , 不等式两边同时平方,得 2 2( 1) (2 +1)x x  ,即 3 ( 2) 0x x   ,解得 2 0x   . 所以不等式  f x m 的解集为{ | 2 0}x x   . (2)设   | | 2 1| |1g x x x   , 12, 2 1( ) 3 , 12 2, 1 x x g x x x x x               ,   0 ( )f n g n m    , 因为 ( 2) (0) 0g g   , ( 3) 1, ( 4) 2, (1) 3g g g        , 又恰好存在 4 个不同的整数 n,使得   0f n  ,所以 2 1.m     故 m 的取值范围为[1,2) .

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