2020高考数学（文）二轮总复习能力练3（Word版带解析）

能力练(三)　推理论证能力 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后， 猜想 an 的表达式是(　　) A．3n－1 B.4n－3 C.n2 D.3n－1 解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想 an＝n2. 答案：C 2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根， 那么 a，b，c 中至少有一个是偶数”时，应假设(　　) A．a，b，c 中至少一个是偶数 B．a，b，c 中至少一个是奇数 C．a，b，c 全是奇数 D．a，b，c 中恰有一个偶数 解析：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证明的结论进行否定，得到要证 的结论的反面，而命题中“a，b，c 中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c 全 是奇数”． 答案：C 3．(2019·桃城区校级月考)如图，第 1 个多边形是由正三角形“扩展”而来，第 2 个多边形是由正方形“扩展”而来，…，如此类推．设由正 n 边形“扩展”而来 的多边形的边数为 an，则 1 a3 ＋ 1 a4 ＋ 1 a5 ＋…＋ 1 a99 ＝(　　) ①　　　②　　　③　　　④　　　⑤ A. 97 300 B. 97 100 C. 3 100 D. 1 100 解析：a3＝12，a4＝20，a5＝30，猜想 an＝n(n＋1)(n≥3，n∈N*)，所以 1 an ＝ 1 n(n＋1)＝1 n － 1 n＋1. 所以 1 a3 ＋ 1 a4 ＋ 1 a5 ＋…＋ 1 a99 ＝ ( 1 3 －1 4)＋ ( 1 4 －1 5)＋ ( 1 5 －1 6)＋…＋ ( 1 99 － 1 100)＝1 3 － 1 100 ＝ 97 300. 答案：A 4．如图，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第 1 个图形用了 3 根火柴， 第 2 个图形用了 9 根火柴，第 3 个图形用了 18 根火柴，…，则第 2018 个图形用 的火柴根数为(　　) ①　　　　②　　　　　③ A．2 016×2 019 B.2 017×2 018 C．2 017×2 019 D.3 027×2 019 解析：由图可知 第 1 个图形用了 3＝3 × 1(1＋1) 2 根火柴， 第 2 个图形用了 9＝3 × 2(2＋1) 2 根火柴， 第 3 个图形用了 18＝3 × 3(3＋1) 2 根火柴，…， 归纳得：第 n 个图形用 3(1＋2＋3＋…＋n)＝3n(n＋1) 2 根火柴． 当 n＝2 018 时，3n(n＋1) 2 ＝3 027×2 019. 答案：D 5．有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛，其中只有一位获奖．有同学走访这 四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我 获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”若四位同学中只有两人说的话是对的，则获 奖的同学是(　　) A．甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：若甲获奖了，则四位同学说的都是错的，不符合题意；若乙获奖了，则甲、 乙、丁说的是对的，丙说的是错的，不符合题意；若丙获奖了，则甲、丙说的是 对的，乙、丁说的是错的，符合题意；若丁获奖了，则甲、丙、丁说的都是错的， 乙说的是对的，不符合题意，综上所述，丙获奖了． 答案：C 6．(2019 春·会宁县校级期中)在中国决胜全面建成小康社会的关键之年，如何更好 地保障和改善民生，如何切实增强政策“获得感”，成为 2019 年全国两会的重要 关切．某地区为改善民生调研了甲、乙、丙、丁、戊 5 个民生项目，得到如下信 息：①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目；②丁、戊两个项目 与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个；③乙、丙两个项目之间有冲突， 两个项目只能引进一个；④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都 不引进；⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进．则该地区应引进的项目 为(　　) A．甲、乙 B.丙、丁 C.乙、丁 D.甲、丙 解析：由条件②可知，丁、戊两个项目至少要引进一个， ∴选项 A，D 排除； 假设引进丁项目，则由条件④，可知必引进丙项目， ∴选项 C 排除． 答案：B 二、填空题 7．已知 2＋2 3 ＝2 2 3 ， 3＋3 8 ＝3 3 8 ， 4＋ 4 15 ＝4 4 15 ，…，若 6＋a t ＝6 a t(a，t 均为 正实数)，类比以上等式，可推测 a，t 的值，则 a－t＝　　　　. 解析：类比等式可推测 a＝6，t＝35，则 a－t＝－29. 答案：－29 8．今年国庆节期间，甲、乙、丙、丁四位驴友准备自驾游，四人筛选了 A，B， C，D，E 五个景点，由于时间关系只能去一个景点，于是他们商量去哪一个景 点．甲说：“只要不去 D 就行．” 乙说：“B，C，D，E 都行．” 丙说：“我喜欢 B，但只要不去 C 就行．” 丁说：“除了 E 之外其他都可以．” 据此推断，他们四人共同去的景点是　　　　. 解析：根据甲说的排除 D；根据乙说的排除 A；根据丙说的排除 C；根据丁说的排 除 E，由此可知他们四人共同去的景点是 B. 答案：B 9．椭圆中有如下结论：椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线 x a2 ＋ y b2 ＝0 上，类比上述结论：双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线　　　　 上． 解析：类比椭圆中的结论可知，双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 上斜率为 1 的弦的中点在直线 x a2 － y b2 ＝0 上．不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则y2－y1 x2－x1 ＝1.设弦中点为(x0， y0)，则 x0＝x1＋x2 2 ，y0＝y1＋y2 2 ，将上述两端点代入双曲线方程得Error!两式相减得 x22－x21 a2 －y22－y21 b2 ＝0， (x2－x1)(x2＋x1) a2 － (y2－y1)(y2＋y1) b2 ＝0， 化简得x2＋x1 a2 －y2＋y1 b2 ＝0，2x0 a2 －2y0 b2 ＝0， 所以x0 a2 －y0 b2 ＝0，于是(x0，y0)在直线 x a2 － y b2 ＝0 上． 答案： x a2 － y b2 ＝0 三、解答题 10．如图，四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是∠ABC＝60°的菱形，M 为 AD 的中点．(1)求证：平面 PCM⊥平面 PAD； (2)求三棱锥 D－PAC 的高． 解析：(1)依题意可知△PAD，△ACD 均为正三角形， ∴MC⊥AD，MP⊥AD， ∴AD⊥平面 PMC， 又∵AD⊂平面 PAD， ∴平面 PCM⊥平面 PAD. (2)在正△PAD 中，PM＝ 3 2 PD＝ 3， 在正△ACD 中，CM＝ 3 2 AD＝ 3，S△ACD＝1 2 ×2×2sin 60°＝ 3， ∴VP－ACD＝1 3S△ACD·PM＝1. Rt△PCM 中，PC＝ PM2＋CM2＝ 6， 在等腰△PAC 中，PA＝AC＝2，PC＝ 6， 可得 S△PAC＝ 15 2 ， 设三棱锥 D－PAC 的高为 h， 由 VD－PAC＝VP－ACD 得 1 3S△PAC·h＝1，∴h＝2 15 5 . 11．已知函数 f(x)＝sin x－ax，g(x)＝bxcos x(a∈R，b∈R)． (1)讨论函数 f(x)在区间(0，π)上的单调性； (2)若 a＝2b 且 a≥2 3 ，当 x>0 时，证明：f(x)