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理科数学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·南洋模范中学] “”是“不等式成立”的（）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分也不必要条件
2．[2019·吉林调研]欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有
非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．[2019·安阳一模]的最小值为（）
A．18 B．16 C．8 D．6
4．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（）
A． B．
C． D．
5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）
A．84 B． C． D．
6．[2019·维吾尔二模]将函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线关于
直线对称，则（）
A． B． C． D．
7．[2019·河南联考]已知函数，且，若函数的图象
关于对称，则的取值可以是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．
某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为，，，，
则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
9．[2019·虹口二模]已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）
A． B．
C． D．
10．[2019·凯里一中]已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为时，（）
A． B． C． D．
11．[2019·齐齐哈尔二模]已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作
垂直轴的直线交椭圆于，两点，点在轴上方．若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（）
A． B．
C． D．
12．[2019·西大附中]已知奇函数是定义在上的单调函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．
某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．
14．[2019·天津毕业]已知，则的二项展开式中，的系数为__________．
15．[2019·永州二模]在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，，点是平面内的一个动点，若，则面积的最大值是__________．
16．[2019·甘肃一诊]已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，
①函数的一个周期为4；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数在上单调递增，在上单调递减；
④函数在内有25个零点；
其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式及其前项和．
18．（12分）[2019·呼和浩特调研]如图，平面四边形，，，，将沿翻折到与面垂直的位置．
（1）证明：面；
（2）若为中点，求二面角的大小．
19．（12分）[2019·大联一模]某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照，，，分组）．
第一车间样本频数分布表
（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于的人数；
（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（3）从第一车间被统计的生产时间小于的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆的离心率为，是椭圆的上顶点，，是椭圆的焦点，的周长是6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点作直线交椭圆于，两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．
21．（12分）[2019·拉萨中学]已知．
（1）求的单调区间；
（2）若（其中为自然对数的底数），且恒成立，求的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·汉中联考]在直角坐标系中，曲线：（，为参数）．在以坐标
原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）若直线的方程为，设与的交点为，，与的交点为，，
若的面积为，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·全国大联考]已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设，，若，求证：．
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理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】不等式成立，化为，解得，
∴“”是“不等式成立”的充分条件．故选A．
2．【答案】A
【解析】∵，∴，
此复数在复平面中对应的点位于第一象限，故选A．
3．【答案】B
【解析】，
故选B．
4．【答案】C
【解析】A．∵，∴，而，∴不是奇函数，排除A；
D．∵，∴，即为偶函数，排除D；
B．∵，∴，∴函数是奇函数，
但令，可知方程无解，即没有零点，∴排除B；
C．∵，∴，∴是奇函数，
又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，与必然有交点，
因此函数必有零点．故选C．
5．【答案】C
【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，
∴五棱柱的表面积为，故选C．
6．【答案】C
【解析】作关于直线的对称图形，得函数的图像，再把的图像向左平移一个单位得函数的图像，∴．故选C．
7．【答案】C
【解析】∵，∴由，得．
又∵，∴，∴．
又∵关于对称，∴，，令，则．故选C．
8．【答案】D
【解析】若设中心圆的半径为，则由内到外的环数对应的区域面积依次为，，，
；
，则，，，，
验证选项，可知只有选项D正确．故选D．
9．【答案】D
【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中的中点为，则，
∴最长时，最小，
∵最小经过可行域，由图形可知点为直线与的交点时，最长，
∵，则直线的方程为，即．故选D．
10．【答案】C
【解析】由题得，
，
∴当时，的最大值为，∴．故选C．
11．【答案】D
【解析】设内切圆半径为，则，∴，
∵，∴内切圆圆心为，由知，
又，∴方程为，
由内切圆圆心到直线距离为，即得，
∴方程为．故选D．
12．【答案】D
【解析】∵，∴是偶函数，
若恰有4个零点，等价于当时，有两个不同的零点，
∵是奇函数，∴由，得，
∵是单调函数，∴，即，
当时，有两个根即可，
设，要使当时，有两个根，则，
即，即实数的取值范围是，故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】D
【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D，
当甲乙两人中某人听报告D，则此人不能听报告B，C，E，F，
故听报告D最不合适，故答案为D．
14．【答案】80
【解析】由题得，∴，
设二项式展开式的通项为，
令，∴，∴的系数为．故答案为80．
15．【答案】
【解析】∵，，，
∴由正弦定理，可得．
又，∴在三角形中，令，令，
由余弦定理可得，
∴，（当且仅当时等号成立）
∴，∴．故答案为．
16．【答案】①②④
【解析】令得，即，由于函数为偶函数，
故．∴，∴函数是周期为的周期函数，故①正确．
由于函数为偶函数，故，
∴是函数图像的一条对称轴，故②正确．
根据前面的分析，结合函数在区间上是增函数，画出函数图像如下图所示．
由图可知，函数在上单调递减，故③错误．
根据图像可知，，零点的周期为，
共有个零点，故④正确．综上所述正确的命题有①②④．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，由于，，
∴，
又满足上式，故．
（2）．
∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵平面四边形，，，，
面面，，面平面，∴面，∴，
又，，，
∴，，，
∵，∴平面．
（2）解：面，如图以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，
以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∵是的中点，∴，∴，，
令平面的一个法向量为，则，取，得，
∵面，∴平面的一个法向量为，
∴，∴二面角的大小为．
19．【答案】（1）60，300；（2）第二车间工人生产效率更高；（3）见解析．
【解析】（1）估计第一车间生产时间小于的工人人数为（人）．
估计第二车间生产时间小于的工人人数为（人）．
（2）第一车间生产时间平均值约为（min）．
第二车间生产时间平均值约为（min）．
∴第二车间工人生产效率更高．
（3）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于的工人有6人，其中生产时间小于的有2人，从中抽取3人，随机变量服从超几何分布，
可取值为0，1，2，
，，．
的分布列为：
∴数学期望．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由于是椭圆的上顶点，由题意得，
又椭圆离心率为，即，解得，，
又，∴椭圆的标准方程．
（2）当直线斜率存在，设的直线方程为，
联立，得，
由题意，，设，，则，
∵，∴是的中点．即，得，，①
又，的斜率为，直线的方程为，②
把①代入②可得，∴直线恒过定点．
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过．
综上所述，直线恒过点．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由，得，
（ⅰ）当时，恒成立，在上单调递增；
（ⅱ）当时，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
（2）当时，，令，则，
由（1）可知，当时，在上单调递增，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值；
∴恒成立，即，整理得，
即，，
令，，
令，，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得最大值为，
∵当时，，然而，
∴当时，恒成立，当时，恒成立，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即函数的最大值为，∴的最大值为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）是以为圆心，为半径的圆，的极坐标方程；
（2）．
【解析】（1）由已知得平方相加消去参数得到，
即，∴的普通方程：，
∴是以为圆心，为半径的圆，
再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程．
（2）的极坐标方程，
将，代入，解得，，
则的面积为，解得．
23．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）可化为，即，
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上可得或，故不等式的解集为．
（2）∵，，∴，即，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴，即．
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