（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
（3）能解决简单的实际问题.
1．排列
（1）排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数、排列数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：
假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.
根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法.
这样，我们就得到公式，其中，且.这个公式叫做排列数公式.
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同
元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定1.
于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.
注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.
2．组合
（1）组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）组合数、组合数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
，其中，且.这个公式叫做组合数公式.
因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.
另外，我们规定.
（3）组合数的性质
性质1：.
性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.
性质2：.
性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n
个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.
考向一 排列数公式和组合数公式的应用
这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.
典例1 求下列方程中的值.
（1）.
（2）.
即，化简得,
解得.
,
∴原方程的解是.
【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.
1．证明：.
2．（1）解不等式；
（2）求值．
考向二 排列问题的求解
解决排列问题的主要方法有：
（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.
（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.
（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.
（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.
典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答）
【答案】576
3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A．1440种 B．720种
C．960种 D．480种
4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
考向三 组合问题的求解
组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.
典例3 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为
A．85 B．86 C．91 D．90
【答案】B
5．自2020年起，山东夏季高考成绩由“”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为
A．6 B．7
C．8 D．9
6．2017年3月22日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间，俄罗斯某电视台记者，在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为
A． B．
C． D．
考向四 排列与组合的综合应用
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.
第一步：选元素，即选出符合条件的元素;
第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;
第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.
典例4 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_______________种(用数字作答).
【答案】2520
7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有
A．35种 B．24种
C．18种 D．9种
8．为发展国外孔子学院,教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则选派方案的种数为
A．180 B．240
C．540 D．630
1．下列等式中，错误的是
A． B．
C． D．
2．若，则的值为
A． B．70
C．120 D．140
3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为
A．10 B．16
C．20 D．24
4．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有
A．12种 B．24种
C．36种 D．72种
5．甲、乙、丙、丁、戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法种数为
A．150 B．120
C．180 D．240
6． 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B．
C． D．
7．年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为
A． B．
C． D．
8．数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为
A． B．34
C．43 D．43
9．用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数,则比2340小的四位数共有
A．20个 B．32个
C．36个 D．40个
10．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为
A．48 B．36
C．24 D．12
11．岳阳高铁站进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）种.
A．24 B．36
C．42 D．60
12．节目单上有10个位置,现有A,B,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A节目必须在B,C节目之间,则不同的节目排法有 种.
13．在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种数为 .(用数字作答)
14．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有 .
15．某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有 种(用数字作答).
16．2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这
8名同学分成甲、乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种．
17．（1）解不等式: ；
（2）有4名男生和3名女生，
i)选出4人去参加座谈会，如果3人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
ii)7人排成一排，甲、乙二人之间恰好有2个人，有多少种不同的排法？
18．有2名老师，3名男生，3名女生站成一排照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？
（1）3名男生必须站在一起；
（2）2名老师不能相邻；
（3）若3名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站．（最终结果用数字表示）
19．4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.
（1）①恰好有一个空盒子,有多少种放法?
②若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?
（2）每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?
1．（2018新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B．
C． D．
2．（2017新课标全国Ⅱ理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
3．（2016四川理科）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48
C．60 D．72
4．（2018新课标全国Ⅰ理科）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位
女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
5．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．
6．（2018浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
7．（2017浙江理科）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）
8．（2017天津理科）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
变式拓展
1．【解析】
.
故原式成立.
2．【解析】（1）原不等式可化为，
∴，即，
∴，
又∵且，∴，
∴，
又，∴．
（2）由组合数的定义知，∴．
又，∴，，，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
3．【答案】C
4．【答案】B
【解析】由题意可得,比40000大的五位数的万位只能是4或5.
当万位是4时,由于该五位数是偶数,个位只能从0或2中任选一个,有两种情况,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个进行全排列,故有种情况;
当万位是5时,由于该五位数是偶数,个位只能从0、2或4中任选一个,有三种情况,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个进行全排列,故有种情况.
综上,满足题意的数共有
故选B．
5．【答案】D
【解析】某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为种.故选D．
6．【答案】D
【解析】从这7人中任意选取2人的选法总数为两人会说汉语的情况有
所以从这7人中任意选取2人进行深度采访,则这2人都会说汉语的概率为.
7．【答案】C
【解析】若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包,剩下2个红包,被剩下3名成员中的2名抢走,有=12(种)；
若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包,剩下两个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有=6(种).
根据分类加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包的情况共有12+6=18(种).
8．【答案】C
考点冲关
1．【答案】C
【解析】通过计算得到选项A,B,D的左、右两边都是相等的.
对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C．
2．【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，故选D．
3．【答案】C
【解析】一排共有8个座位,现有甲、乙两人就坐,故有6个空座.
∵要求甲、乙两人每人的两旁均有空座,
∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让甲、乙两人就坐，有=20(种)坐法.
4．【答案】C
【解析】由题意可知,从4人中任选2人作为一个整体,共有=6(种),
再把这个整体与其他2人进行全排列,对应3个活动小组,有=6(种)情况,
所以共有6×6=36(种)不同的报名方法.
5．【答案】D
6．【答案】D
【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：
（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；
（2）周六、周日各2人，有种不同的结果，
故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，
所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．
7．【答案】C
【解析】根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：
①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；
②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，
再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，
则不同的排法种数为种.故选C．
8．【答案】B
【解析】将12名同学平均分成四组共有种方案，四组分别研究四个不同课题共有种方案，第一组选择一名组长有3种方案，第二组选择一名组长有3种方案，第三组选择一名组长有3种方案，第四组选择一名组长有3种方案，选取组长的方案共有34种，
根据分步乘法计数原理,可知满足题目要求的种数为34=34,故选B．
9．【答案】D
【解析】①首位为1：种；
②首位为2，第二位为0,1都满足题意，共种；
③首位为2，第二位为3，第三位为0,1都满足题意，共种.
24+12+4=40.
综上，共有40个满足题意的四位数，故选D.
10．【答案】C
11．【答案】D
【解析】若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有种；
若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有种；
若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有种.
综上，这3个同学的不同进站方式有种，选D．
12．【答案】40
【解析】除A,B,C 3个节目外,还有7个位置,共可形成6个空,从6个空中选3个位置安排3个节目，有种方法,又A在中间,所以B,C有种方法,所以总的排法有=40种.
13．【答案】72
【解析】由于要求同一队的球迷不能相邻,故可利用插空法求出不同的排法种数.
可分两步:
第一步,同一队的3名球迷不同的排法有=6(种);
第二步,由于要求同一队的球迷不能相邻,所以另一队的3名球迷必须插入首、尾中的任一个空以及中间的两个空中,不同的排法有=12(种),
由分步乘法计数原理,可得不同的排法种数为6×12=72.
14．【答案】96
15．【答案】24
【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有种,丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有种,由分步乘法计数原理可知,不同的摆放方法有=24种.
16．【答案】24
【解析】根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为种，故有种；
第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为种，这时共有种.
根据分类计数原理得，共有种不同的分组方式.
17．【解析】（1）原不等式即 ，
ii)甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出2人排在甲、乙之间，与余下的3人全排列，则有＝960（种）排法.
18．【解析】（1）把3名男生看成一个整体与其他人排列，有种不同站法，
再来考虑3名男生间的顺序有种不同站法，
故3名男生必须站在一起的排法有种;
（2）6名学生先站成一排有种站法，再插入两名老师有种站法，
故2名老师不相邻的站法有种;
（3）先从8个位置中选出3个位置给3个女生有种，
再在剩下的5个位置上排其余5人有种，
故4名女生从左到右由高到矮的顺序的站法有种．
19．【解析】（1）①方法一：4个小球不同,4个盒子也不同,是排列问题,恰好有一个空盒子
的放法可分两步完成.
所以共有·2=8(种)放法.
直通高考
1．【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
2．【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有
种． 故选D．
【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
5．【答案】
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有种方法，其中恰好选中2名女生的方法有种，因此所求概率为
6．【答案】1260
【解析】若不取0，则排列数为；
若取0，则排列数为
因此一共有个没有重复数字的四位数.
7．【答案】660
【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”总的选择方法为（种）方法，
其中“服务队中没有女生”的选法有（种）方法，
则满足题意的选法有：（种）．
【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
8．【答案】
【解析】．
【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每一类中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数．
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