5.3.2 命题、定理、证明
关键问答
①在叙述性语句、疑问性语句、判断性语句中，哪个是命题？
②确定命题的题设与结论的方法是什么？
③判断一个命题是假命题，反例怎么举？
④定理与真命题之间有什么关系？
1．①下列语句是命题的是( )
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗
2．②把命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________．
3．③下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是( )
A．∠A＝30°，∠B＝50°
B．∠A＝30°，∠B＝70°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝30°，∠B＝110°
4．④在证明过程中，可以用来作为推理依据的是( )
A．基本事实
B．定理、定义、基本事实
C．基本事实、定理
D．已知条件、定义、定理、基本事实
5．在下列括号内，填上推理的依据．
图5－3－14
如图5－3－14，∠1＝110°，a∥b，求∠2的度数．
证明：∵∠1＝110°(__________)，
∴∠3＝∠1＝110°(__________________)．
又∵a∥b(已知)，∴∠2＋∠3＝180°(________________________)，
∴∠2＝__________°.
命题点 1 命题 [热度：86%]
6.⑤把命题“互为相反数的两个数相加得0”改写成“如果……那么……”的形式：____________________________，题设是__________________．
方法点拨
⑤命题是两句话的，往往第一句话是题设，第二句话是结论；命题是一句话的，往往第一层意思是题设，第二层意思是结论．
7．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式：____________________________.
命题点 2 真、假命题 [热度：88%]
8．⑥如图5－3－15，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，真命题的个数为( )
图5－3－15
A．0 B．1 C．2 D．3
解题突破
⑥从三个条件中选两个作为已知条件，另一个作为结论，一共有三种可能.
9．在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，有下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是__________．(填写所有真命题的序号)
命题点 3 反例 [热度：90%]
10．下列选项中，可以用来证明命题“若|a－1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是( )
A．a＝2 B．a＝1
C．a＝0 D．a＝－1
11.⑦判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图5－3－16，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．请你举出一个反例说明命题“互补的角是同旁内角”是假命题(要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例)．
图5－3－16
解题突破
⑦互补是两个角的数量关系，同旁内角是具有特殊位置关系的两个角.
命题点 4 证明 [热度：98%]
12.⑧如图5－3－17，∠A＝∠D，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD.
求证：∠AEB＝∠CFD.
图5－3－17
方法点拨
⑧证明的思路通常有三种：
(1)综合法，即执因寻果，从已知条件出发，结合定义、定理、基本事实等，经过推理，最后得出结论；
(2)分析法，即执果寻因，从结论出发，结合定义、定理、基本事实等，最后寻得已知条件；
(3)综合法与分析法同时运用，即两头凑，从已知条件和结论同时出发，最后得到相同的结果．
13．⑨写出下列命题的题设和结论，并说明这个命题的正确性．
命题：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
方法点拨
⑨证明某一命题时，一般要根据命题的条件和结论，写出已知和所要求证的结论，并根据定义、定理、基本事实等，一步步推理，直至得出结果.
命题点 5 推理与论证 [热度：94%]
14.⑩某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“要游览甲，就得去乙；乙、丙只能去一个；丙、丁要么都去，要么都不去．”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是( )
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
方法点拨
⑩假设某个说法正确，推出与已知条件相矛盾的结果，则假设是不成立的.
15．甲、乙、丙、丁、戊五个人在运动会上分别获得百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A说：“乙获铅球冠军，丁获跳高冠军．”
B说：“甲获百米冠军，戊获跳远冠军．”
C说：“丙获跳远冠军，丁获二百米冠军．”
D说：“乙获跳高冠军，戊获铅球冠军．”
其中每个人都各说对一句，说错一句．求五人各获哪项冠军．
16.⑪排球比赛中，甲、乙两方上场的各6名队员面对排球网，分别站在排球场的两边，6名队员一般站成两排，从排球场右下角开始，分别为1号位、2号位、3号位、4号位、5号位、6号位(如图5－3－18)．
比赛中每一次换发球的时候有位置轮换，简单来说，第一轮发球就是比赛开始由甲方1号位的选手发球，得分继续发球，失分则乙方发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球．甲方全体队员按顺时针转圈一个位置，即1号位的队员到6号位置，6号位的队员到5号位置，以此类推，2号位的队员到1号位置发球，得分继续发球，失分则乙方发球，再轮到甲方选手发球的时候，甲方全体队员按顺时针转圈一个位置，随后以此类推……
(1)第1轮发球前小花站在6号位置，第5轮发球时，小花站在几号位置？
(2)第1轮发球前小花站在6号位置，第几轮发球时，小花站在3号位置(这场比赛最多发21轮球)?
(3)第1轮发球前小花站在6号位置，第n(n为正整数)轮发球时，小花站在几号位置(这场比赛最多发21轮球)?
图5－3－18
模型建立
⑪由最简单的情况入手，可以推到一般情况，本题蕴含的规律是每6轮一循环.
典题讲评与答案详析
1．C
2．在同一平面内，如果两条直线都平行于同一直线，那么这两条直线互相平行
3．A 4.D
5．已知 对顶角相等 两直线平行，同旁内角互补 70
6．如果两个数互为相反数，那么这两个数相加为0 两个数互为相反数
7．如果两个角分别是一对等角的补角，那么这两个角相等
[解析] 题设应为所有已知条件，结论应为单纯的数量关系、位置关系等结论，故答案为如果两个角分别是一对等角的补角，那么这两个角相等．
8．D
9．①②④
10．D [解析] 只有a＝－1满足题设，但不满足结论．
11．解：如图，∠1，∠2互为补角，但它们不是同旁内角．
12．证明：∵∠A＝∠D(已知)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠BCD(角平分线的定义)，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)，
∴∠BEF＝∠CFE(两直线平行，内错角相等)，
∴∠AEB＝∠CFD(等角的补角相等)．
13．解：题设：两条平行直线被第三条直线所截．
结论：内错角的平分线互相平行．
已知：如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE.
求证：EG∥FH.
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFE.
∵EG平分∠AEF，
∴∠1＝∠AEF.
∵FH平分∠DFE，∴∠2＝∠DFE.
又∵∠AEF＝∠DFE，∴∠1＝∠2，∴EG∥FH.
14．D [解析] 根据导游的说法，可有以下推论：
①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；
②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙和丁．
15．解：假设A说的“乙获铅球冠军”正确，则“丁获跳高冠军”错误，
∴D说的“乙获跳高冠军”错误，“戊获铅球冠军”错误．
这与“每个人都各说对一句，说错一句”相矛盾，
∴乙不可能获铅球冠军，则“丁获跳高冠军”正确，
∴“乙获跳高冠军”错误，“戊获铅球冠军”正确，
∴“甲获百米冠军”正确，“戊获跳远冠军”错误，
∴“丙获跳远冠军”正确，“丁获二百米冠军”错误，则乙获得二百米冠军．
综上所述，甲获百米冠军，乙获二百米冠军，丙获跳远冠军，丁获跳高冠军，戊获铅球冠军．
16．解：(1)根据题意，得第1轮发球前小花站在6号位置，第5轮发球时，小花站在2号位置．
(2)∵第1轮发球前小花站在6号位置，
∴第4轮发球时，小花站在3号位置．
∵这场比赛最多发21轮球，且发球每6轮循环一圈，
∴第10轮发球时，小花也站在3号位置，同理可得第16轮发球时，小花也站在3号
位置．
综上所述，第4，10，16轮发球时，小花站在3号位置．
(3)当1≤n≤6时，小花站在(7－n)号位置；
当7≤n≤12时，小花站在(13－n)号位置；
当13≤n≤18时，小花站在(19－n)号位置；
当19≤n≤21时，小花站在(25－n)号位置．
【关键问答】
①判断性语句是命题，叙述性语句、疑问性语句都不是命题．
②命题若是“如果……那么……”的形式，则“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论；若不是“如果……那么……”的形式，则先将其改写成“如果……那么……”的形式，再判断题设和结论．
③让例子符合命题的题设，但不满足结论即可．
④定理一定是真命题，它的正确性是经过推理证实的．真命题不一定是定理．
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