江苏省扬州中学2018-2019学年高二下学期开学检测（2月）数学Word版含答案.pdf

1 江苏省扬州中学 2018-2019 学年度第二学期开学测试 高 二 数 学 试 卷 2019.2 （本试卷考试时间 120 分钟，满分 160 分，请将答案做在答题卡上） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1．已知命题 exexp x  ,0: ，写出命题 p 的否定： ． 2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 (3,0)M 到 抛 物 线 2 2 ( 0) y px p 准线的距离为 4，则 p 的值为 . 3.运行如图所示的伪代码，其结果为 . 4．某工厂生产 三种不同型号的产品，产品数量之比依 次为 ，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本， 其中样本中 型号产品有 件，那么此样本的容量 ． 5．从 中选 个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 ． 6.椭圆 134 22  yx 上一点 A 到左焦点的距离为 2 5 ，则 A 点到右准线的距离为 ． 7.“ 1x  ”是“ 2x x ”的 条件．（选填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”或“既不充 分也不必要”之一） 8.若双曲线 2 2 2 19 x y a   （ 0a  ）的一条渐近线方程为3 2 0x y  ，则 a 的值为 ． 9.若“ x R， 2 2 0x x a   ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ． 10.已知椭圆 2 2 2 2+ =1( > >0)x y a ba b 的左焦点为 F ，左顶点为 A ，上顶点为 B .若点 F 到直线 AB 的距离为 2 17 b ，则该椭圆的离心率为 . 11.已知 y kx b  是函数 ( ) lnf x x x  的切线，则 2k＋b 的最小值为 ． 12.设 ，点 ，过点 P 引圆 的两条 切线 PBPA, ，若 的最大值为 ，则 的值为 ． 13. 已 知 函 数 )(xfy  的 图 像 为 R 上 的 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 当 0x 时 0)()('  x xfxf ，则关于 x 的函数 xxfxg 1)()(  的零点的个数 ． S←1 For I From 1 To 5 step 2 S←S +2I End For Print S （第 3 题）2 14．对于实数 ba, ，定义运算“*”：      ,, , 2 2 baabb baababa 设函数 ),1()12)(  xxxf （ 且关于的方程 )()( Rkkxf  为恰有三个互不相等的实数根 321 xxx ，， ，则 321 xxx  的 取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分） 15.（本小题满分 14 分） 随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享单车”在很多城市相继出现．某“共享单车”运 营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了 100 名用户，得到 用户的满意度评分（满分 10 分），现将评分分为 5 组，如下表： 组别 一 二 三 四 五 满意度评分 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10] 频数 5 10 a 32 16 频率 0.05 b 0.37 c 0.16 (1)求表格中的 a，b，c 的值； (2)估计用户的满意度评分的平均数； (3)若从这 100 名用户中随机抽取 25 人，估计满意度评分低于 6 分的人数为多少？ 16.（本小题满分 14 分） （文科）（此题仅供文科学生做，理科学生不做） 已知m 为实数，命题 P :“ mx  是 0x 的充分不必要．．．．．条件”；命题Q：“若直线 1 0x y   与圆 2 2( ) 2x m y   有公共点”．若“ QP  ”为假命题，“ QP  ”为真命题，求 m 的取值范围． （理科）（此题仅供理科学生做，文科学生不做） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AC BC AC BC  ， ， 1 2BB  ，点 D 在棱 1BB 上，且 1 1C D AB ． （1）求线段 1B D 的长； （2）求二面角 1 1D A C C  的余弦值． A1 D C B1 (第 16 题) C1 B A3 17. （本小题满分 15 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： 2 2 2 4 3 0x y x y     ． （1）若圆 C 的切线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线 l 的方程； （2）已知点 P( 1x ， 1y )为直线 2 6y x  上一点，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点 为 M，若 PM＝ 2 PO，求点 P 的坐标． 18．（本小题满分 15 分） 扬州市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对 环境进行了大力整治．目前扬州市的空气质量位列全国前列，吸引了大量的外地游 客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了扬州市廖家沟城市中央公园．数据显示， 近 期 公 园 中 每 天 空 气 质 量 指 数 近 似 满 足 函 数 ，其中 为每天的时刻．若在凌 晨 点时刻，测得空气质量指数为 ． （1）求实数 的值； （2）求近期每天在 时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值： ）4 19.（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 3(1, )2 在椭圆 M ： 22 2 2 1( 0)yx a ba b     上，且椭 圆 M 的离心率为 3 2 . （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）记椭圆 M 的左、右顶点分别为 1 2A A、 ,点C 是 x 轴上任意一点(异于点 1 2A A O， ， )， 过点 C 的直线l 与椭圆 M 相交于 ,E F 两点. 若点 C 的坐标为 ( 3,0) ，直线 EF 的斜率为 1- ，求△ AEF 的面积; 若点C 的坐标为 (1,0) ，连结 1 2,A E A F 交于点 G ，记直线 1 2, ,A E GC A F 的斜率分别 为 1 2 3, ,k k k ，证明： 1 3 2 k k k + 是定值. 20. （本小题满分 16 分） 已知 a 为实数，函数 xaxxxf ln( ） . （1）若 1a ，求函数 )(xf 在区间 ],1[ e （ e 为自然对数的底数）的最大值； （2）求函数 )(xf 的单调区间； （3）若函数 0)( xf 恒成立，求 a 的取值范围。 E F A2A1 C G x y O C (第 19 题)5 开学考参考答案 1．x＞0，ex＜ex 2.2 3.19 4. 80 5. 1 3 6.3 7.充分不必要 8.2 9.{ | 1}a a   10. 1 3 11. 2ln2  12. 1 13.0 14. )0,16 31(  15.解:(1) 37a  ， 0.1b  ， 0.32c  ....................................3 分 (2)1 0.05+3 0.1+5 0.37+7 0.32+9 0.16=5.88     ...................9 分 (3)  25 0.05 0.1 0.37 13    .....................................13 分 答：(1)表格中的 37a  ， 0.1b  ， 0.32c  ； (2)估计用户的满意度评分的平均数为 5.88； (3)若从这 100 名用户中随机抽取 25 人，估计满意度评分低于 6 分的人数为 13 .................................................................14 分 16. （理科）解：在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，由 AC BC ，则以 1 1 1 1 1C A ,C B ,C C    为基底 构 建 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则          1 11 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 2A , , ,B , , ,C , , ,B , , ,C , , , 所以  1 11 2AB , ,   , 设 1B M t ，则  1 0 1C D , ,t , （1）由 1 1DC AB 得 1 1 0C D A B   , 所以 11 2 0 2t t    ,6 所以 1B M = 1 2 ．……………………………………………6 分 （2）由 1 1 1B C AC C 面 ，取 1 1A C C面 的一个法向量为  1 1 0 1 0C B , , , 设 1A CD面 的一个法向量  n x,y,z , 由（1）知  1 1 111 1 0 22A D , , ,AC , , ,         又因为 1 1 0 0 n A D n AC          , 所以 1 02 2 0 x y z x z         ，取 2z  ， 则 3 4y ,x  ,…………………6 分 所以  4 3 2n , , , 所以 1 1 1 3 29 29 n C Ccos n,C C |n||C C |         ． 所以二面角 1 1D A C C  的余弦值为 3 29 29 ．…………………………14 分 17 A1 D C B1 (第 16 题) C1 B A7 18.【解析】（1）由题 ，代入 ， 解得 （2）由已知函数求导得： 令 得 ，列表得 所以函数在 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12 时 答：（1）实数 的值为 12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为 12 时 （评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣 3 分；最后未给出“答”再扣 2 分.）  极大值 8 19.解:(1)因为 2 2 2 2 2 3 1 4 1 3 2 a b c a a b c           ，得 2 24, 1a b  ， 所以椭圆的标准方程是 2 2 14 x y  .....................................2 分 （2）设 E F、 的坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ， ①直线l : 3 0x y   代入椭圆方程得： 25 2 3 1 0y y   ， 所以 1 2 1 2 2 3 1,5 5y y y y    2 1 2 1 2 1 2 4 2( ) 4 5y y y y y y     .......4 分 所以 1A EF 1 2 1 2    S AC y y 1 4 2( 3 2)2 5     = 2 6 4 2 5  ......................... .......................6 分 ②直线 1 1: ( 2)AG y k x  ，联立方程组 1 2 2 ( 2 ) 4 4 y k x x y      得： 1 1 2 2 2 2 1(4 1) 16 16 4 0k x k x k     则 2 2 1 1 1 12 2 1 1 16 4 8 22 ,4 1 4 1 k kx xk k       所以 ， 1 1 2 1 4 4 1 ky k   所以 2 1 1 2 2 1 1 8 2 4( , )4 1 4 1 k kE k k    .....................................8 分 同理可得： 2 3 3 2 2 3 3 8 2 4( , )4 1 4 1 k kF k k     ....................................9 分 又因为 , ,C E F 三点共线，所以 EC FCk k ，即 E F C E C F C Cy y y y x x x x    ，将 , ,C E F 三点坐标9 代入上式得： 21 22 31 2 2 1 3 2 2 1 3 44 00 4 14 1 =2 8 8 21 14 1 4 1 kk kk k k k k        ，化简得 31 2 2 1 3 44 1 12 4 3 kk k k   整理得： 1 3 1 3(3 ) (1 4 ) 0k k k k   ，因为 1 3 0k k  ，所以 1 33 0k k  即 1 33k k ..11 分 又联立 FAEA ll 21 , 得 1 3 1 3 3 1 3 1 2( ) 4( , )k k k kG k k k k    .................12 分 所以 1 3 2 3 1 1 3 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 4 0 4 1 2 21 2 ( ) 2 61 G G k k y k k k k kk kx k k k k k k k         所以 1 3 1 2 1 4 22 k k k k k    ...............................................14 分 当 1 1x  时，点 3 3(1, ), (1, ), (4, 3)2 2E F G 或 3 3(1, ), (1, ), (4, 3)2 2E F G  ，均满足 1 3 2 2k k k   . 所以 1 3 2 k k k  为定值......................................... ........ 16 分 20.10