相似三角形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【答案】B
【解析】
试题分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．
2.如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C.
【解析】
试题分析：因为截得的三角形与△ABC相似，而截得的三角形与原三角形已有一个公共角，所以只要再作一个直角就可以.如图，过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形都满足题意.即满足条件的直线共有三条.故选C.
6
考点：相似三角形的判定.
3如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．=
【答案】D．
【解析】
试题分析：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
考点：相似三角形的判定．
4 .如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．
在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
6
∴∠ADB=∠CDA，
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，
∵BD：CD=3：2，
设BD=3x，CD=2x，
∴AD==x，
则tanB===．
故选D．
考点：相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
5. 已知抛物线y=–+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB=AD时相似 D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：设A（x，-+1）根据题意可求出PA、PD、PE的值，从而得出PE：PA=PA：PD，又∠APE=∠DPA，因此，△PAD∽△PEA．
考点：三角形相似的判定、二次函数的综合应用.
二、填空題
6．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，使△ABC∽△ADE__________________.
6
【答案】
【解析】
试题分析：根据已知及相似三角形的判定方法，从而得到最后答案．
因为∠1=∠2, 所以∠DAE=∠BAC,
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得:
所以△ABC∽△ADE的另一个条件是
考点：相似三角形的判定．
7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC．已知AE=6，，则EC的长等于 ．
【答案】8．
【解析】
试题分析：利用相似三角形的判定与性质得出，求出EC即可．
试题解析：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
解得：EC=8．
考点：平行线分线段成比例．
8. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DE∥BC，若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于 ．
6
【答案】
【解析】
试题分析：由题意知AB=AD+DB=8，根据相似三角形的平行判定可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得，即，因此可得BC=．
考点：相似三角形的判定与性质.
9. 如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=_________．
【答案】2
【解析】
试题解析：因为△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，所以△ABC直角三角形，所以当DE//AC时，△BDE∽△BAC，因为点D是AB的中点，所以DE是三角形的中位线，所以DE=AC=2，所以DE=2．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的中位线．
10.如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，那么AE＝ ．
【答案】或．
【解析】
试题解析：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．
故答案为：或．
考点：相似三角形的判定．
三、解答题
11. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，AD·AC=AE·AB，求证：DE⊥AB
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【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：把已知条件进行转换即可推出△CBA和△DEA的对应边的相似比相等，结合公共角，推出△CBA∽△DEA即可．
试题解析：∵AD•AC=AE•AB
∴
∵∠A=∠A
∴△CBA∽△DEA
∵∠C=90°
∴∠EAD=90°
∴ED⊥AB．
考点：相似三角形的判定与性质．
12. 35．（8分）如图，AD和CB相交于点O，且AB∥CD，OA=OB．求证：OC=OD．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DC∥AB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．
试题解析：证明：∵AB∥CD
∴∠A＝∠D ∠B＝∠C
∵OA=OB
∴∠A＝∠B
∴∠C＝∠D
∴OC＝OD
考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质
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