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正多边形与圆
填空题
1.（2018·云南省昆明·3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1，以点 A 为圆心，AB 的
长为半径，作扇形 ABF，则图中阴影部分的面积为 ﹣ （结果保留根号和 π）．
【分析】正六边形的中心为点 O，连接 OD.OE，作 OH⊥DE 于 H，根据正多边形的中心角公式
求出∠DOE，求出 OH，得到正六边形 ABCDEF 的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形
ABF 的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：正六边形的中心为点 O，连接 OD.OE，作 OH⊥DE 于 H，
∠DOE= =60°，
∴OD=OE=DE=1，
∴OH= ，
∴正六边形 ABCDEF 的面积= ×1× ×6= ，
∠A= =120°，
∴扇形 ABF 的面积= = ，
∴图中阴影部分的面积= ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算
公式、扇形面积公式是解题的关键．
2. （2018•呼和浩特•3 分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 ．2
解：设⊙O 的半径为 r，⊙O 的内接正方形 ABCD，如图，
过 O 作 OQ⊥BC 于 Q，连接 OB.OC，即 OQ 为正方形 ABCD 的边心距，
∵四边形 BACD 是正方形，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，
∴O 为正方形 ABCD 的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°= R；
设⊙O 的内接正△EFG，如图，
过 O 作 OH⊥FG 于 H，连接 OG，即 OH 为正△EFG 的边心距，
∵正△EFG 是⊙O 的外接圆，
∴∠OGF= ∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°= R，
∴OQ：OH=（ R）：（ R）= ：1，
故答案为： ：1．
3. （2018•莱芜•4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2a，E 为 BC 边的中点， 、 的圆心
分别在边 AB.CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点 F，则 E.F 间的距离为 ．
【分析】作 DE 的中垂线交 CD 于 G，则 G 为 的圆心，H 为 的圆心，连接 EF，GH，交于3
点 O，连接 GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得 GE=FG= ，根据四边形 EGFH 是菱形，四
边形 BCGH 是矩形，即可得到 Rt△OEG 中，OE= a，即可得到 EF= a．
【解答】解：如图，作 DE 的中垂线交 CD 于 G，则 G 为 的圆心，同理可得，H 为 的圆
心，
连接 EF，GH，交于点 O，连接 GF，FH，HE，EG，
设 GE=GD=x，则 CG=2a﹣x，CE=a，
Rt△CEG 中，（2a﹣x）2+a2=x2，
解得 x= ，
∴GE=FG= ，
同理可得，EH=FH= ，
∴四边形 EGFH 是菱形，四边形 BCGH 是矩形，
∴GO= BC=a，
∴Rt△OEG 中，OE= = a，
∴EF= a，
故答案为： a．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个
圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联
系．
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