2017届安徽淮北市高考数学一模试卷(理科附解析)
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资料简介
‎2017年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合P=(﹣∞,0]∪(3,+∞),Q={0,1,2,3},则(∁RP)∩Q=(  )‎ A.{0,1} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{x|0≤x<3}‎ ‎2.复数的共轭复数的模为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎3.已知x,y满足线性约束条件,若z=x+4y的最大值与最小值之差为5,则实数λ的值为(  )‎ A.3 B. C. D.1‎ ‎4.函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.或 D.或 ‎6.在△ABC中,,则△ABC的周长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.下列说法正确的是(  )‎ ‎(1)已知等比数列{an},则“数列{an}单调递增”是“数列{an}的公比q>1”的充分不必要条件;‎ ‎(2)二项式的展开式按一定次序排列,则无理项互不相邻的概率是;‎ ‎(3)已知,则;‎ ‎(4)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为40.‎ A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4)‎ ‎8.执行如图的程序框图,则输出S的值为(  )‎ A.﹣67‎ B.﹣67‎ C.﹣68‎ D.﹣68‎ ‎9.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形,则该几何体的体积(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”,‎ 则下列函数:‎ ‎①f(x)=x+(x>0);‎ ‎②f(x)=lnx(0<x<3);‎ ‎③f(x)=2sinx; ‎ ‎④f(x)=.‎ 其中为“柯西函数”的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎11.已知直线l1与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于不同的A,B两点,对平面内任意点Q都有,λ∈R,又点P为直线l2:3x+4y+4=0上的动点,则的最小值为(  )‎ A.21 B.9 C.5 D.0‎ ‎12.已知定义在(0,+∞)的函数f(x),其导函数为f′(x),满足:f(x)>0且总成立,则下列不等式成立的是(  )‎ A.e2e+3f(e)<e2ππ3f(π) B.e2e+3f(π)>e2ππ3f(e)‎ C.e2e+3f(π)<e2ππ3f(e) D.e2e+3f(e)>e2ππ3f(π)‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知实数a,b均大于0,且总成立,则实数m的取值范围是  .‎ ‎14.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c﹣1),则c=  .‎ ‎15.函数的值域是  .‎ ‎16.等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,且满足a1=3,b1=1,‎ b2+S2=10,a5﹣2b2=a3,数列{}的前n项和Tn,若Tn<M对一切正整数n都成立,则M的最小值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,设边a,b,c所对的角为A,B,C,且A,B,C都不是直角,(bc﹣8)cosA+accosB=a2﹣b2.‎ ‎(Ⅰ)若b+c=5,求b,c的值;‎ ‎(Ⅱ)若,求△ABC面积的最大值.‎ ‎18.为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后,从事的工作与教育是否有关的情况,该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生,得到具体数据如表:‎ 与教育有关 与教育无关 合计 男 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 合计 ‎65‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎(1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”?‎ 参考公式:(n=a+b+c+d).‎ 附表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.023‎ ‎6.635‎ ‎(2)求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率;‎ ‎(3)以(2)中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名,记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X,求X的数学期望E(X).‎ ‎19.正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2,E,F分别为BB1,AB的中点.‎ ‎( I)已知M为线段B1A1上的点,且B1A1=4B1M,求证:EM∥面A1FC;‎ ‎( II)若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为,求AA1的值.‎ ‎20.已知椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率e=,且过点,直线l1:y=kx+m(m>0)与圆C2:(x﹣1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C1的方程;‎ ‎(Ⅱ)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.‎ ‎21.已知函数发f(x)=(x+1)lnx﹣ax+2.‎ ‎(1)当a=1时,求在x=1处的切线方程;‎ ‎(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)求证:,n∈N*.‎ ‎ ‎ 选做题 ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C的参数方程为(α是参数),直线l的极坐标方程为ρcos(θ+‎ ‎)=2.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;‎ ‎(2)设点P为曲线C上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2017年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合P=(﹣∞,0]∪(3,+∞),Q={0,1,2,3},则(∁RP)∩Q=(  )‎ A.{0,1} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{x|0≤x<3}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】根据补集与交集的定义,写出对应的结果即可.‎ ‎【解答】解:集合P=(﹣∞,0]∪(3,+∞),Q={0,1,2,3},‎ 则∁RP=(0,3],‎ 所以(∁RP)∩Q={1,2,3}.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.复数的共轭复数的模为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,结合求解.‎ ‎【解答】解:∵ =,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.已知x,y满足线性约束条件,若z=x+4y的最大值与最小值之差为5,则实数λ的值为(  )‎ A.3 B. C. D.1‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值和最小值.建立方程关系进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,‎ 由得A(1,4),B(λ,λ﹣3)‎ 由z=x+4y,得y=﹣x+,‎ 平移直线y=﹣x+,由图象可知当直线经过点A时,直线y=﹣的截距最大,此时z最大.‎ z=1+4×4=17‎ 当直线经过点B时,直线的截距最小,此时z最小.z=λ﹣3+4λ=5λ﹣3.‎ ‎∵z=x+4y的最大值与最小值得差为5‎ ‎∴17﹣(5λ﹣3)=20﹣5λ=5.‎ 得λ=3.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】分三种情况讨论,根据函数的单调性和基本不等式即可判断.‎ ‎【解答】解:当a=0时,f(x)=|x|,且x≠0,故A符合,‎ 当x>0时,且a>0时,f(x)=x+≥2,当x<0时,且a>0时,f(x)=﹣x+在(﹣∞,0)上为减函数,故B符合,‎ 当x<0时,且a<0时,f(x)=﹣x+≥2=2,当x>0时,且a<0时,f(x)=x+在(0,+∞)上为增函数,故D符合,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.或 D.或 ‎【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由已知求得a值,然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:∵三个数1,a,9成等比数列,‎ ‎∴a2=9,则a=±3.‎ 当a=3时,曲线方程为,表示椭圆,则长半轴长为,半焦距为1,离心率为;‎ 当a=﹣3时,切线方程为,实半轴长为,半焦距为,离心率为.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.在△ABC中,,则△ABC的周长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由正弦定理可得=8,利用三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理,化简即可得解.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴由正弦定理可得: =8,‎ ‎∴△ABC的周长=BC+AB+AC=4+8sinC+8sinB ‎=4+8sin(﹣B)+8sinB ‎=4+8(cosB+sinB)‎ ‎=4+8sin(B+).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.下列说法正确的是(  )‎ ‎(1)已知等比数列{an},则“数列{an}单调递增”是“数列{an}的公比q>1”的充分不必要条件;‎ ‎(2)二项式的展开式按一定次序排列,则无理项互不相邻的概率是;‎ ‎(3)已知,则;‎ ‎(4)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为40.‎ A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4)‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】(1),等比数列{an}单调递增时⇒公比q>1且首项a1>0,或公比0<q>1且首项a1<0;‎ ‎(2),根据二项式的展开式的通项公式可得展开式中无理项项数,再用古典概型概率计算公式可求;‎ ‎(3),表示圆x2+y2=(y≥0,0≤x≤)的圆的面积;‎ ‎(4),1000÷40=25.‎ ‎【解答】解:对于(1),等比数列{an}单调递增时⇒公比q>1且首项a1>0,或公比0<q<1且首项a1<0,故错;‎ 对于(2),二项式的展开式的通项公式为:Tr+1=当r=0、2、4时为有理项,即展开式中共6项,无理项有3项,按一定次序排列,则无理项互不相邻的概率是=,故正确;‎ 对于(3),表示圆x2+y2=(y≥0,0≤x≤)的圆的面积,则,故正确;‎ 对于(4),为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为25,故错.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.执行如图的程序框图,则输出S的值为(  )‎ A.﹣67‎ B.﹣67‎ C.﹣68‎ D.﹣68‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】执行程序框图,得出S的算式,再利用两角差的正切公式计算S的值即可.‎ ‎【解答】解:执行如图的程序框图,知程序运行后计算并输出 S=tan1949°tan1950°+tan1950°tan1951°+…+tan2016°tan2017°,‎ 又S=(1+tan1949°tan1950°)+(1+tan1950°tan1951°)+…+(1+tan2016°tan2017°)﹣‎ ‎=++…+﹣68‎ ‎=﹣68,‎ 所以输出S=﹣68.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形,则该几何体的体积(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】如图所示,该几何体为四棱锥,其中侧面ACBD⊥底面PAB.侧面ACBD为直角梯形,PA⊥AB.‎ ‎【解答】解:如图所示,该几何体为四棱锥,其中侧面ACBD⊥底面PAB.‎ 侧面ACBD为直角梯形,‎ PA⊥AB.‎ 该几何体的体积V==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”,‎ 则下列函数:‎ ‎①f(x)=x+(x>0);‎ ‎②f(x)=lnx(0<x<3);‎ ‎③f(x)=2sinx; ‎ ‎④f(x)=.‎ 其中为“柯西函数”的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】由柯西不等式得:对任意实数x1,y1,x2,y2,|x1x2+y1y2|﹣≤0恒成立(当且仅当存在实数k,使得x1=kx2,y1=ky2取等号),若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0,则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得共线,即存在点A、B与点O共线,逐一判定即可.‎ ‎【解答】解:由柯西不等式得:对任意实数x1,y1,x2,y2,|x1x2+y1y2|﹣≤0恒成立(当且仅当存在实数k,使得x1=kx2,y1=ky2取等号),若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0,则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得共线,即存在点A、B与点O共线; ‎ 对于①,f(x)=x+(x>0)存在;‎ 对于②,f(x)=lnx(0<x<3)不存在;‎ 对于③,f(x)=2sinx存在; ‎ 对于④,f(x)=存在.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知直线l1与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于不同的A,B两点,对平面内任意点Q都有,λ∈R,又点P为直线l2:3x+4y+4=0上的动点,则的最小值为(  )‎ A.21 B.9 C.5 D.0‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】由,λ∈R,得三点A、B、C共线,由向量的线性运算的, ⇒…①,…②.‎ ‎②﹣①得=,求出PC范围即可.‎ ‎【解答】解:∵对平面内任意点Q都有,λ∈R,∴三点A、B、C共线,即AB为圆C的直径.‎ ‎∴, ⇒…①,…②.‎ ‎②﹣①得=;‎ ‎∵点C到直线直线l2的距离为3,∴,∴的最小值为5.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.已知定义在(0,+∞)的函数f(x),其导函数为f′(x),满足:f(x)>0且总成立,则下列不等式成立的是(  )‎ A.e2e+3f(e)<e2ππ3f(π) B.e2e+3f(π)>e2ππ3f(e)‎ C.e2e+3f(π)<e2ππ3f(e) D.e2e+3f(e)>e2ππ3f(π)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】令g(x)=e2xx3f(x),g′(x)=)=e2xx2[(2x+3)f(x)+xf′(x)]>0,⇒g(x)=e2xx3f(x)在(0,+∞)上单调递增⇒g(e)<g(π),即可得到.‎ ‎【解答】解:∵f(x)>0且总成立,∴(2x+3)f(x)+xf′(x)>0.‎ 令g(x)=e2xx3f(x),g′(x)=)=e2xx2[(2x+3)f(x)+xf′(x)]>0,‎ ‎∴g(x)=e2xx3f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴g(e)<g(π),‎ ‎∴e2e+3f(e)<e2ππ3f(π),故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知实数a,b均大于0,且总成立,则实数m的取值范围是 (﹣∞,2+] .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】求得(+)的最小值,可得2m﹣4,即可得到m的范围.‎ ‎【解答】解:实数a,b均大于0,( +)≥2•=2,‎ 当且仅当a=b取得等号,‎ 由题意可得2m﹣4,‎ 解得m≤2+.‎ 故答案为:(﹣∞,2+].‎ ‎ ‎ ‎14.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c﹣1),则c= 2 .‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎【分析】画正态曲线图,由对称性得c﹣1与c+1的中点是2,由中点坐标公式得到c的值.‎ ‎【解答】解:∵N(2,32)⇒,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 解得c=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.函数的值域是 [﹣,3] .‎ ‎【考点】三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】根据题意,令t=sinx+cosx,用t表示出sin2x,求出函数y=f(t)的解析式,根据x的取值范围,再求出t的取值范围,从而求出f(t)值域.‎ ‎【解答】解:根据题意,令t=sinx+cosx,则有 t2=1+2sinxcosx,‎ 即sin2x=t2﹣1;‎ 所以y=f(t)=2t﹣(t2﹣1)+1=﹣t2+2t+2=﹣(t﹣1)2+3;‎ 又t=sinx+cosx=sin(x+),‎ 且x∈[﹣,],‎ ‎∴x+∈[﹣,],‎ ‎∴sin(x+)∈[﹣,1],‎ ‎∴﹣≤t≤;‎ ‎∴当t=1时,f(t)取得最大值3,‎ t=﹣时,f(t)取得最小值﹣;‎ ‎∴函数y=f(t)的值域为[﹣,3].‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3,数列{}的前n项和Tn,若Tn<M对一切正整数n都成立,则M的最小值为 10 .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{an}以及{bn}和{}的通项公式,利用错位相减法进行求和,利用不等式恒成立进行求解即可.‎ ‎【解答】解:设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,‎ 由b2+S2=10,a5﹣2b2=a3.‎ 得,解得 ‎∴an=3+2(n﹣1)=2n+1,.‎ 则=,‎ Tn=3+++…+,‎ 所以Tn=+++…++,‎ 两式作差得Tn=3+++++…+﹣‎ ‎=3+(1+++…+)﹣=3+﹣=3+2﹣2•()n﹣1﹣,‎ 即Tn=10﹣()n﹣3﹣<10,‎ 由Tn<M对一切正整数n都成立,‎ ‎∴M≥10,‎ 故M的最小值为10,‎ 故答案为:10‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,设边a,b,c所对的角为A,B,C,且A,B,C都不是直角,(bc﹣8)cosA+accosB=a2﹣b2.‎ ‎(Ⅰ)若b+c=5,求b,c的值;‎ ‎(Ⅱ)若,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理化简已知等式可得,又△ABC不是直角三角形,解得bc=4,又 b+c=5,联立即可解得b,c的值.‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理,基本不等式可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA,解得,可求,利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值.‎ ‎【解答】(本题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵△ABC不是直角三角形,‎ ‎∴bc=4,‎ 又∵b+c=5,‎ ‎∴解得或…‎ ‎(Ⅱ)∵,由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA,‎ ‎∴,‎ ‎∴,所以.‎ ‎∴△ABC面积的最大值是,当时取到…‎ ‎ ‎ ‎18.为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后,从事的工作与教育是否有关的情况,该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生,得到具体数据如表:‎ 与教育有关 与教育无关 合计 男 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 合计 ‎65‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎(1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“‎ 师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”?‎ 参考公式:(n=a+b+c+d).‎ 附表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.023‎ ‎6.635‎ ‎(2)求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率;‎ ‎(3)以(2)中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名,记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X,求X的数学期望E(X).‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;独立性检验的应用;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(1)利用k2计算公式即可得出.‎ ‎(2)由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率.‎ ‎(3)由题意知X服从,即可得出E(X).‎ ‎【解答】解:(1)由题意得k2==<3.841.‎ 故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”‎ ‎(2)由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率.‎ ‎(3)由题意知X服从,则.‎ ‎ ‎ ‎19.正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2,E,F分别为BB1,AB的中点.‎ ‎( I)已知M为线段B1A1上的点,且B1A1=4B1M,求证:EM∥面A1FC;‎ ‎( II)若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为,求AA1的值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(I)取B1A1中点为N,连结BN,推导出BN∥A1F,从而EM∥BN,进而EM∥A1F,由此能证明EM∥面A1FC.‎ ‎(II)以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设AA1=a,利用向量法能求出结果.‎ ‎【解答】证明:(I)取B1A1中点为N,连结BN,‎ 则BN∥A1F,又B1A1=4B1M,‎ 则EM∥BN,所以EM∥A1F,‎ 因为EM⊄面A1FC,A1F⊂面A1FC,‎ 故EM∥面A1FC.‎ 解:(II)如图,以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设AA1=a.‎ 则,‎ ‎,‎ 设平面A1CF法向量为,‎ 设平面A1EF法向量为.‎ 则,取z=1,得,‎ ‎,取x=1,得;‎ 设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ,‎ ‎∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为,‎ ‎∴,‎ 设a2=t,则9t2+10t﹣111=0,得t=3,‎ 即a2=3,∴.‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率e=,且过点,直线l1:y=kx+m(m>0)与圆C2:(x﹣1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C1的方程;‎ ‎(Ⅱ)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意列关于a,b,c的方程组,求解方程组得a,b,c的值,则椭圆方程可求;‎ ‎(Ⅱ)联立直线l1的方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用弦长公式求得AB的长度,联立直线l2的方程与椭圆方程,求出CD的长度,结合|AB|=λ|CD|利用换元法求解λ的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意得,‎ 解得a=4,b=2,‎ 故;‎ ‎(Ⅱ)联立,‎ 化简得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣4)=0,‎ ‎△>0恒成立,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则,得,‎ ‎∴,‎ 把l2:y=kx代入,得,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎==,‎ 当,λ取最小值.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数发f(x)=(x+1)lnx﹣ax+2.‎ ‎(1)当a=1时,求在x=1处的切线方程;‎ ‎(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)求证:,n∈N*.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),求出切线方程即可;‎ ‎(2)求出函数的导数,通过讨论函数递减和函数递增,从而求出a的范围即可;‎ ‎(3)令a=2,得:lnx>在(1,+∞)上总成立,令x=,得ln>,化简得:ln(n+1)﹣lnn>,对x取值,累加即可.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=(x+1)lnx﹣x+2,(x>0),‎ f′(x)=lnx+,f′(1)=1,f(1)=1,‎ 所以求在x=1处的切线方程为:y=x﹣1.‎ ‎(2)f′(x)=lnx++1﹣a,(x>0).‎ ‎(i)函数f(x)在定义域上单调递减时,‎ 即a≥lnx+时,令g(x)=lnx+,‎ 当x>ea时,g′(x)>0,不成立;‎ ‎(ii)函数f(x)在定义域上单调递增时,a≤lnx+;‎ 令g(x)=lnx+,‎ 则g′(x)=,x>0;‎ 则函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;‎ 所以g(x)≥2,故a≤2.‎ ‎(3)由(ii)得当a=2时f(x)在(1,+∞)上单调递增,‎ 由f(x)>f(1),x>1得(x+1)lnx﹣2x+2>0,‎ 即lnx>在(1,+∞)上总成立,‎ 令x=得ln>,‎ 化简得:ln(n+1)﹣lnn>,‎ 所以ln2﹣ln1>,‎ ln3﹣ln2>,…,‎ ln(n+1)﹣lnn>,‎ 累加得ln(n+1)﹣ln1>,‎ 即ln(n+1),n∈N*命题得证.‎ ‎ ‎ 选做题 ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C的参数方程为(α是参数),直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=2.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;‎ ‎(2)设点P为曲线C上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程.利用同角三角函数的基本关系消去α,把曲线C的参数方程化为直角坐标方程.‎ ‎(2)设点P(2cosα, sinα),求得点P到直线l的距离d=,tanβ=,由此求得d的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=2,即ρ(cosθ﹣sinθ)=2,‎ 即x﹣y﹣4=0.‎ 曲线C的参数方程为(α是参数),利用同角三角函数的基本关系消去α,‎ 可得+=1.‎ ‎(2)设点P(2cosα, sinα)为曲线C上任意一点,‎ 则点P到直线l的距离d==,tanβ=,‎ 故当cos(α+β)=﹣1时,d取得最大值为.‎ ‎ ‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法;带绝对值的函数.‎ ‎【分析】(1)不等式等价于,或,或,求出每个不等式组的解集,‎ 再取并集即得所求.‎ ‎(2)原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立,由此求得求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即①‎ ‎,或②,‎ 或③.‎ 解①可得x≤1,解②可得x∈∅,解③可得x≥4.‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}.‎ ‎(2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,‎ 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.‎ 故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,‎ 故a的取值范围为[﹣3,0].‎ ‎ ‎ ‎2017年2月2日

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