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崇明县2016学年第一次高考模拟考试试卷
数 学
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】
1．复数的虚部为 ．
2．设函数，则 ．
3．已知，，则等于 ．
4．抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为 ．
5．已知无穷数列满足，且，记为数列的前n项和，则
．
6．已知，且，则的最大值为 ．
7．已知圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角，则圆锥的表面积为 ．
8．若的二项展开式中的第9项是常数项，则 ．
9．已知A，B分别是函数在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且，则该函数的最小正周期是 ．
10．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人
的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
11．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数的图像恰好经
过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：①；②；
③；④．其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为
正确论断的序号都填上）
12．已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若的最小值为，当点P在单位圆上运动时，的最大值为，则线段AB的长度为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】
13．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A． B． C． D．
14．设，则“”是“且”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
15．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为的左焦点，
为上一点，满足且，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
16．实数a、b满足且，由a、b、、按一定顺序构成的数列
A．可能是等差数列，也可能是等比数列 B．可能是等差数列，但不可能是等比数列
C．不可能是筹差数列，但可能是等比数列 D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分.
在正三棱柱中，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）四棱锥的体积．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分.
在一个特定时段内，以点D为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点D正北55海里处
有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距
海里的位置B处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东（其中，
）且与点A相距海里的位置C处．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里／小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分.
已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，
在轴上方交双曲线C于点M，且．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，
求的值．
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分.
设（为实常数）．
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）若是奇函数，求a与b的值；
（3）当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的、c，
都有成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分.
已知数列,满足，其中是数列的前n项和．
（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，，求证：数列满足，并写出数列的通项公式；
（3）在(2)的条件下，设，
求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
崇明县2016学年第一次高考模拟考试试卷参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 2； 2. -2； 3. 1-1,1]; 4. ; 5. 4; 6. ;
7. 8. 12; 9. ; 10. 24; 11. ; 12..
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13. C; 14.B; 15.C; 16.B.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.解：（1），
是异面直线与所成角............................2分
在中，，
,........................5分
异面直线与所成角大小为................7分
（2） .......................................10分
.........................................13分
所以...................................14分
18.解：(1)因为，，
所以....................................2分
由余弦定理，得，..........5分
所以船的行驶速度为（海里/小时）..................6分
（2） 如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标分别是 ，
由题意，得............................8分
..................................10分
所以直线的方程为.........................12分
因为点到直线的距离
所以船会进入警戒水域...............................14分
19.解：（1）设的坐标分别为
因为点在双曲线上，所以，所以...........2分
中，因为，所以，...........5分
由双曲线定义，得：...........5分
所以双曲线的方程为：...........6分
（2）由（1）知，双曲线的两条渐近线分别为.......8分
设，
则到两条渐近线的距离分别为，.......10分
设两条渐近线的夹角为，则两个向量夹角也为，其中..........12分
又点在双曲线上，所以
所以..................................14分
20.解：（1）证明：，，所以，所以不是奇函数............................3分
（2）是奇函数时，，
即对定义域内任意实数都成立
即，对定义域内任意实数都成立...........................................5分
所以所以或 ．
经检验都符合题意........................................8分
（2） 当时，，
因为，所以，，
所以.......................................10分
而对任何实数成立；
所以可取=对任何、c属于，都有成立........12分
当时，，
所以当时，；当时， .............14分
1）因此取，对任何、c属于，都有成立．
2）当时，，解不等式得：．所以取，对任何属于的、c，都有成立.....16分
21. （1）解：因为数列是首项为，公比为的等比数列
所以，.......................3分
所以.......................................4分
（2） 若，则，所以
所以，即........5分
所以
所以
所以.......................................7分
又由，得：..............................8分
所以数列是首项为2公差为1的等差数列
所以.......................................10分
（3） 证明：由（2）知，
对于给定的，若存在，且，使得，
只需.......................................12分
只需......................................14分
取，则......................................16分
所以对于数列中的任意一项，
都存在与，使得，
即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积................18分
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