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第一章 特殊平行四边形
一、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.四边形 的对角线 、 相交于点 ， ， ，为使四边形 为正方形，还需要满足下列条
件中：① ；② ；③ ；④ 中的哪两个________（填代号）．
2.木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为 ，宽为 ，对角线为 ，这个桌面________
（填“合格”或“不合格”）．
3.如图，矩形 中， ， ，点 从 开始沿折线 以 的速度运动，点 从 开
始沿 边以 的速度移动，如果点 、 分别从 、 同时出发，当其中一点到达 时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为 ，当 ________时，四边形 也为矩形．
4.如图，菱形 的对角线的长分别为 和 ， 是对角线 上任一点（点 不与点 、 重合），且 交于 ，
交于 于 ，则阴影部分的面积为________．
5.如图，正方形 边长为 ，动点 从 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为 时，点
所在位置为________；当点 所在位置为 点时，点 的运动路程为________（用含自然数 的式子表示）．
6.如图，矩形 中， ， ，点 从 开始沿折线 以 的速度运动，点 从 开始沿
边以 的速度移动，如果点 、 分别从 、 同时出发，当其中一点到达 时，另一点也随之停止运动，设运
动时间为 ，当 ________时，四边形 也为矩形．
7.如图将两张长为 ，宽为 的矩形纸条交叉，重叠部分是一个特殊四边形，则这个特殊四边形周长的最小值为
________．
8.如图，已知正方形 的周长为 ， 为 边上任一点， 于 ， 于 ，则 ________ ．
9.矩形的两条对角线的一个交角为 ，两条对角线的长度的和为 ，则这个矩形的一条较长边为________ ．
10.现有一张边长等于 的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点 处，沿 角画线，将正方形纸片分2
成 部分，则阴影部分是________（填写图形的形状）（如图），它的一边长是________．
二、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
11.一个菱形的周长为 ，高为 ，这个菱形两邻角度数之比为（ ）
A. B. C. D.
12.下列说法中，不正确的是（ ）
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
13.四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.不能确定
14.对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A.一般四边形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
15.如图，四边形 的四边相等，且面积为 ，对角线 ，则四边形 的周长为（ ）
A. B. C. D.
16.如图，用 块相同的长方形地砖拼成一个矩形，已知地砖的宽为 ，则每块长方形地砖的面积是（ ）
A. B. C. D.
17.菱形的周长等于高的 倍，则此菱形的较大内角是（ ）
A. B. C. D.
18.下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③
有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的3
四边形是矩形．其中，正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
19.下列说法正确的有（ ）
①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条
对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角
是直角的平行四边形是矩形．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
20.小明和小亮在做一道习题，若四边形 是平行四边形，请补充条件，使得四边形 是菱形．小明补充的
条件是 ；小亮补充的条件是 ，你认为下列说法正确的是（ ）
A.小明、小亮都正确 B.小明正确，小亮错误
C.小明错误，小亮正确 D.小明、小亮都错误
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
21. 如图，四边形 为平行四边形， ，分别交 ， 于点 ， ，交 ， 的延长线于 ， ，且
，求证：
；
四边形 是菱形．
22.如图，在矩形 中，两条对角线 、 相交于 ， ， ．
判断 的形状；
求对角线 的长．
4
23.已知四边形 是矩形，对角线 和 相交于点 ，若在矩形的上方加一个 ，且使 ， ，
试说明四边形 是菱形．
24.如图，在 中， ， 为 的中点，且 ， ．
证明：四边形 是菱形；
若 ， ，求菱形 的高．（计算结果保留根号）
25.如图， 是矩形 的对角线的交点， 、 、 、 分别是 、 、 、 上的点，且 ．
求证：四边形 是矩形；
若 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，且 ， ，求矩形 的面积．
26.如图，在长方形 中， ，线段 上有动点 ，过 作直线 交 边于点 ，并使得 ．5
当 与 重合时，求 的长；
在直线 上是否存在一点 ，使得 是等腰直角三角形？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．6
答案
1.①②或①④
2.不合格
3.
4.
5.点
6.
7.
8.
9.
10.正方形
11.C
12.B
13.D
14.C
15.A
16.B
17.D
18.A
19.C
20.B
21.证明： ∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ； ∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 为平行四边形，7
∴四边形 是菱形．
22.解： ∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形； ∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
23.证明：∵ ， 是矩形的对角线，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
24. 证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形； 解：过点 作 ，垂足为点 ，如图所示：
即为菱形 的高，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ．
25.
证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴四边形 是矩形； 解：∵ 是 的中点，8
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴矩形 的面积 ．
26.解： 与 重合时， ，
∴ ； ① 时，如图 ，易得 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
② 时，如图 ，过点 作 于 ，
易得 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
③ 时，如图 ，过点 作 于 ，
易得 ，
在 和 中， ，
∴ ，9
∴ ，
综上所述， 或 或 时， 是等腰直角三角形．
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