第二章单元测试卷
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是(A)
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.＋－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
2. 把方程x2－10x＝－3左边化成含有x的完全平方式，下列做法正确的是(B)
A．x2－10x＋(－5)2＝28 B．x2－10x＋(－5)2＝22
C．x2＋10x＋52＝22 D．x2－10x＋5＝2
3. 关于x的一元二次方程x2＋bx－10＝0的一个根为2，则b的值为(C)
A．1 B．2 C．3 D．7
4. 方程(x－2)(x＋3)＝0的解是(D)
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
5. 解方程(x＋1)(x＋3)＝5较为合适的方法是(C)
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法或配方法 D．因式分解法
6. 关于x的一元二次方程kx2＋4x－2＝0有实数根，则k的取值范围是(C)
A．k≥－2 B．k＞－2且k≠0 C．k≥－2且k≠0 D．k≤－2
7. 已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则xx2＋x1x的值为(A)
A．－3 B．3 C．－6 D．6
8. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(B)
A．168(1＋x)2＝108 B．168(1－x)2＝108
C．168(1－2x)＝108 D．168(1－x2)＝108
9. 有一块长32 cm，宽24 cm的矩形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是(C)
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
10. 定义运算：a*b＝a(1－b)．若a，b是方程x2－x＋m＝0(m＜0)的两根，则b*b－a*a的值为(A)
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)
11. 方程(x＋2)2＝x＋2的解是x1＝－2，x2＝－1.
12. 当k＝0时，方程x2＋(k＋1)x＋k＝0有一根是0.
13. 写出以4，－5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是x2＋x－20＝0.
14. 若关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2－8m＋1的值为1.
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15. 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为(2x＋6)(2x＋8)＝80.
16. 毕业晚会上，某班同学每人向本班其他同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有18名同学．
三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)
17. 用指定方法解下列方程：
(1)x2－4x＋2＝0(配方法); (2)x2＋3x＋2＝0(公式法)．
解：x1＝2＋，x2＝2－ 解：x1＝－1，x2＝－2
18. 已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根．
解：根据题意得，62－6a－3a＝0，∴a＝4，∴方程为x2－4x－12＝0，设另一个根为x1，则x1＋6＝4，得x1＝－2，故a的值是4，方程的另一个根为－2
19. 试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≥4，∴无论a取何值，a2－8a＋20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程
四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)
20. 某地地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：(1)10% (2)12100×(1＋0.1)＝13 310(元)
21. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值．
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解：(1)∵Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4>0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)∵x1，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝－(m＋3)，x1x2＝m＋1.∵|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝8，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝8，∴(－m－3)2－4(m＋1)＝8，∴m1＝1，m2＝－3，∴m的值为1或－3
22. 已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
解：(1)∵Δ＝(－4m)2－4(4m2－1)＝4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根 (2)∵Δ＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2－4mx＋4m2－1＝0的根．将x＝5代入原方程，得：25－20m＋4m2－1＝0，解得：m1＝2，m2＝3.当m＝2时，原方程为x2－8x＋15＝0，解得：x1＝3，x2＝5，∵3，5，5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3＋5＋5＝13；当m＝3时，原方程为x2－12x＋35＝0，解得：x1＝5，x2＝7，∵5，5，7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5＋5＋7＝17.综上所述：此三角形的周长为13或17
五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)
23. 已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一个根为2.
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：方程x2＋px＋q＝0有两个不等的实数根；
(3)若方程x2＋px＋q＋1＝0有两个相等的实数根，求方程x2＋px＋q＝0两根．
解：(1)∵一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一根为2，∴4＋2p＋q＋1＝0，∴q＝－2p－5 (2)∵x2＋px＋q＝0，∴Δ＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝(p＋4)2＋4＞0，∴方程x2＋px＋q＝0有两个不等的实数根 (3)∵x2＋px＋q＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝p2－4(q＋1)＝0，由(1)可知q＝－2p－5，联立方程组得解得把代入x2＋px＋q＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3
24. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60 cm，宽40 cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
(1)若丝绸花边的面积为650 cm2，求丝绸花边的宽度；
(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，
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如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由．
解：(1)设花边的宽度为x cm，根据题意得：(60－2x)(40－x)＝60×40－650，整理得x2－70x＋325＝0，解得：x＝5或x＝65(舍去)．答：丝绸花边的宽度为5 cm (2)设每件工艺品降价x元出售，则根据题意可得：(100－x－40)(200＋20x)－2000＝22500，整理得：x2－50x＋625＝0，解得：x＝25.∴售价为100－25＝75(元)，答：当售价定为75元时能达到利润22500元
25. 如图，在Rt△ABC中，AC＝24 cm，BC＝7 cm，点P在BC上，从点B到点C运动(不包括点C)，点P运动的速度为2 cm/s；点Q在AC上从点C运动到点A(不包括点A)，速度为5 cm/s.若点P，Q分别从B，C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
(1)当t为何值时，P，Q两点的距离为5 cm?
(2)当t为何值时，△PCQ的面积为15 cm2?
(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
解：(1)∵在Rt△ABC中，AC＝24 cm，BC＝7 cm，∴AB＝25 cm，设经过t s后，P，Q两点的距离为5 cm，t s后，PC＝(7－2t) cm，CQ＝5t cm，根据勾股定理可知PC2＋CQ2＝PQ2，代入数据(7－2t)2＋(5t)2＝(5)2；解得t＝1或t＝－(不合题意舍去) (2)设经过t s后，S△PCQ的面积为15 cm2.t s后，PC＝(7－2t) cm，CQ＝5t cm，S△PCQ＝×(7－2t)×5t＝15，解得t1＝2，t2＝1.5，经过2 s或1.5 s后，S△PCQ的面积为15 cm2 (3)设经过t s后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，t s后，PC＝(7－2t) cm，CQ＝5t cm，S△PCQ＝×PC×CQ＝×(7－2t)×5t＝×(－2t2＋7t)，配方得S△PCQ＝－5(t－)2＋≤，即t＝ s时，△PCQ的最大面积为，∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC－S△PCQ最大＝×7×24－＝(cm2)，当点P运动秒时，四边形BPQA的面积最小为cm2
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