第二十四章 24.1 圆的有关性质
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评卷人
得分
一、选择题
1. 如图所示的圆中,下列各角是圆心角的是 ( )
A. ∠ABC B. ∠AOB C. ∠OAB D. ∠OBC
2. 下列命题中,不一定成立的是 ( )
A. 圆既是中心对称图形又是轴对称图形
B. 弦的垂线经过圆心且平分这条弦所对的弧
C. 弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦
D. 垂直平分弦的直线必过圆心
3. 如图所示,在半径为2 cm的圆O内有长为2 cm的弦AB,则此弦所对的圆心角∠AOB为 ( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
4. 如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD= ( )
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
5. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BOD=88°,则∠BCD的度数是 ( )
A. 88° B. 92° C. 106° D. 136°
6. 已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为 ( ).
A. 2cm B. 4cm C. 2cm或4cm D. 2cm或4cm
5
7. 如图所示,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为 ( )
A. 2 B. 8 C. 2 D. 2
8. 如图所示,,AD为☉O的弦,∠BAD=50°,则∠AED等于 ( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 75°
9. 如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE，②AE＝BE，③OD＝DE，④∠AEO＝∠C，⑤＝，正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图,已知点C,D是半圆上的三等分点,连接AC,BC,CD,OD,BC和OD相交于点E.
则下列结论:①∠CBA=30°;②OD⊥BC;③OE=AC;④四边形AODC是菱形;正确的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
评卷人
得分
二、填空题
11. 如图所示,AB是☉O的直径,C,D,E都是☉O上的点,则∠1+∠2= .
12. 如图所示,☉O的直径AB⊥弦CD,且∠BAC=40°,则∠BOD= .
13. 一点到☉O的最近距离为4 cm,最远距离为9 cm,则该圆的半径是 .
5
14. 圆内接四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D= 度.
15. 如图5,已知AB是⊙O的弦,半径OA＝6 cm,∠AOB＝120°,则AB＝________cm.
16. 如图,已知AB是☉O的直径,D是圆上任意一点(不与点A,B重合),连接BD,并延长到点C,使DC=BD,连接AC,则△ABC的形状是 三角形.
17. 如图,MN是⊙O的直径,矩形ABCD的顶点A,D在MN上,顶点B,C在⊙O上,若⊙O的半径为5,AB=4,则AD边的长为 .
评卷人
得分
三、解答题
18. (新定义题)如图所示,A,B是☉O上的两个定点,P是☉O上的动点(点P不与点A,B重合),我们称∠APB是☉O上关于点A,B的滑动角.
已知∠APB是☉O上关于点A,B的滑动角.
(1)若AB是☉O的直径,则∠APB= °;
(2)连接AB,若☉O的半径是1,AB=,求∠APB的度数.
19. 如图所示,AB是☉O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交☉O于点D,点E在☉O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
5
20. (探究题)如图所示,已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的☉O分别交AB,AC于点D,E.
(1)求证:△DOE是等边三角形.
(2)如图所示,若∠A=60°,AB≠AC,则第1问中结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
参考答案
1. 【答案】B【解析】圆心角指顶点在圆心的角,满足此条件的只有B选项.
2. 【答案】B【解析】弦的垂直平分线经过圆心且平分这条弦所对的弧,而并非是弦的垂线经过圆心且平分这条弦所对的弧.注意：弦的垂线不一定经过弦的中点,它和垂直平分线不同.
3. 【答案】C【解析】半弦长为cm,则垂心距为1cm,垂线与半径夹角为60度,所以弦所对的圆心角为120度.综合利用垂径定理及圆心角定理.
4. 【答案】D【解析】本题考查圆的有关性质,理解各个性质是解题的关键,
∵∠BOC=110°,∠BOC+∠AOC=180°,∴∠AOC=70°.∵AD∥OC,OD=OA,
∴∠D=∠A=∠AOC=70°.∴∠AOD=180°-2∠A=40°,故选D.
5. 【答案】D【解析】本题考查圆内接四边形的性质、圆心角和圆周角的关系,难度中等,根据圆内接四边形得出∠A+∠C=180°,再根据等弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠A=44°,进而得出∠BCD=136°,故选D.
6. 【答案】C【解析】连接AC,AO,如图①.∵☉O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=AB=×8=4(cm),OD=OC=5(cm),
当C点位置如图①所示时,∵OA=5(cm),AM=4(cm),CD⊥AB,
∴OM==3(cm),∴CM=OC+OM=5+3=8(cm),
∴AC==4(cm);
当C点位置如答图②所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,
∴MC=5-3=2(cm),在Rt△AMC中,AC==2cm.故选C.
本题运用了分类讨论思想,先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论,容易遗漏其中一种情况而出错.
7. 【答案】D【解析】由题意知AC=BC=4,设☉O的半径为r,则OC=r-2,在Rt△AOC中,
∵AO=r,AC=4,OC=r-2,∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r-2)2,解得r=5,
∴AE=2r=10,连接BE,如图, ∵AE是☉O的直径,∴∠ABE=90°,
在Rt△ABE中,∵AE=10,AB=8,∴BE==6,
在Rt△BCE中,∵BE=6,BC=4,∴CE==2.故选D.
8. 【答案】D【解析】因为,∠BAD=50°,所以劣弧BD对应50度的角,则劣弧AB,BC,CD都对应着25度的角.为因此,∠AED等于75°,故选D.
5
9. 【答案】B【解析】由图可知，连接AO，BO，AO＝BO，D为中点，
∴DE⊥AB，AE＝BD，＝，＝，故选B
10. 【答案】D【解析】连接OC,BD,因为C,D是半圆 上的三等分点,所以△AOC,△COD,△BOD都是等边三角形,所以AC=CD=OD=AO,即四边形AODC是菱形,④正确;∠CAO=∠DOB=60°,所以AC∥OD,所以∠OEB=∠ACB,△OBE∽△ABC,所以=,即OE=AC,③正确;又因为AB是直径,所以∠ACB=90°,所以∠OEB=90°,即OD⊥BC,②正确;因为三角形内角和等于180°,所以∠CBA=180°-∠ACB-∠CAB=30°,①正确;所以四个结论均是正确的.故选D.
11. 【答案】90°
12. 【答案】80°
13. 【答案】2.5cm或6.5cm
14. 【答案】90
15. 【答案】6
16. 【答案】等腰
17. 【答案】6
18.(1) 【答案】90
(2) 【答案】连接OA,OB.在△AOB中,∵OA=OB=1,AB=,
∴OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°.当点P在优弧AB上时,∠APB=∠AOB=45°.当点P在劣弧AB上时,∠APB=(360°-∠AOB)=135°.
综上可知,∠APB的度数为45°或135°.
19.(1) 【答案】∵OD⊥AB,∴AD=BD.又∵∠AOD=52°,
∴∠DEB=∠AOD=26°.
(2) 【答案】∵OD⊥AB,∴AC=BC,在Rt△AOC中,AC==4,
∴AB=2AC=8.
20.(1) 【答案】由题意知∠B=∠C=60°.
∵OB=OC=OE=OD,
∴△OBD和△OEC都为等边三角形.
∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.
∴△DOE为等边三角形.
(2) 【答案】当∠A=60°,AB≠AC时,第1问中的结论仍然成立.
证明如下:连接CD.∵BC为☉O的直径,
∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.
∵∠A=60°,∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.
又∵OD=OE,∴△DOE为等边三角形.
5
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