中山七校2016届高三数学12月联考试卷(理科含答案)
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资料简介
广东省七校联合体2016届高三第二次联考试卷 数学理 第Ⅰ卷 一、选择题:‎ ‎01.设复数满足,则( )‎ A.3 B.-3 ‎ C.3i D.-3i ‎02.求值( )‎ A. B.- ‎ C. D.-‎ ‎03.“a≤‎-3”‎是“f(x)=-|x+a|在内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.为了解某地区居民的幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查,调查数据如表所示:‎ 幸福感指数 ‎[0,2)‎ ‎[2,4)‎ ‎[4,6)‎ ‎[6,8)‎ 男居民人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎220‎ ‎125‎ ‎125‎ 女居民人数 ‎10‎ ‎10‎ ‎180‎ ‎175‎ ‎125‎ 根据表格,解答下面的问题:‎ ‎(Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图,并估算该地区居民幸福感指数的平均值;‎ ‎(Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度,调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查,用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数,求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率).‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分,‎ 底面ABCD是矩形,侧棱GC、ED、FB都垂 直于底面ABCD,GC=3,AB=,BC=,‎ 四边形AEFG为菱形,经过C且垂直于AG的 平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N;‎ ‎⑴求证:CN⊥BH;‎ ‎⑵求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 椭圆的上顶点为A,‎ 8‎ 是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.‎ ‎⑴求椭圆C的方程;‎ ‎⑵设过点M的动直线与椭圆C相交于D、E两点,求面积的最大值 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,‎ ‎⑴若函数在区间无零点,求实数的最小值;‎ ‎⑵若对任意给定的,方程在上总存在两个不等的实根,求实数a的取值范围.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 ‎ 如图,已知PA与圆O相切于点A,经过点O的割线PBC交圆O于点B、C,∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E,‎ ‎⑴证明:∠ADE=∠AED;‎ ‎⑵若AC=AP,求的值.‎ ‎23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ 已知曲线C: (t为参数), C:(为参数).‎ ‎⑴化C,C的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ 8‎ ‎⑵若C上的点P对应的参数为,Q为C上的动点,求中点到直线距离的最大值. ‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎⑴若的解集为,求实数的值;‎ ‎⑵当时,当时,不等式恒成立,求的取值范围.‎ 七校联合体2016届高三第二次联考试卷 理科数学(答案)‎ 一、选择题:CCDCBD、ABCADB 二、填空题:‎ ‎-2 6‎ 三、解答题 ‎17.解:⑴当n≥2时, ……①‎ ‎∴ ……②【1分】‎ ‎∴②-①得,即 ……【3分】‎ 由,得 ……【4分】‎ ‎∴ ……【6分】‎ ‎∵、都满足上式 8‎ ‎∴ ……【7分】‎ ‎⑵……【9分】‎ ‎0.20‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎∴‎ ‎ ……【12分】‎ ‎18.解:(1)频率分布直方图如右……【3分】‎ 所求的平均值为:‎ ‎0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5‎ ‎+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5分】‎ ‎(2) 男居民幸福的概率为 女居民幸福的概率为 故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3……【7分】‎ 因此X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B(4,0.3) ……【8分】‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎0.2401‎ ‎0.4116‎ ‎0.2646‎ ‎0.0756‎ ‎0.0081‎ ‎……【11分】‎ ‎∴ ……【12分】‎ 8‎ ‎19.⑴证:连结BH,由题知AB⊥面BCGF 又∵CN面BCGF,∴AB⊥CN ……【1分】‎ ‎∵AG⊥面CMN,∴AG⊥CN ……【2分】‎ 又∵AG∩AB=A,AG、AB面BAH,∴CN⊥面BAH……【4分】‎ 又∵BH面BAH,∴CN⊥BH ……【5分】‎ ‎⑵解:以DA、DC、DE为x、y、z轴,建立空间直角坐标系……【6分】‎ ‎∵四边形AEFG为菱形,可设AE=EG=a,DE=b 由,得 由,得 以上面两式解得:a=3,b=2 ……【8分】‎ ‎∴、、‎ ‎∴、‎ 由,解得为面AFGE的一个法向量……【10分】‎ 由题知为面ABCD的一个法向量 ‎∴,∴所求二面角的余弦值为……【12分】‎ ‎20.解:⑴由题知:,∴‎ ‎∵,,即……【1分】‎ 又且, ……【2分】‎ ‎∴,∴椭圆的方程为:……【4分】‎ ‎⑵依题意可设动直线的方程为:‎ 设 由可得 ……【5分】‎ 则,解得……【6分】‎ 由韦达定理可得, ……【7分】‎ 8‎ ‎∴‎ ‎……【8分】‎ 设点O到直线的距离为, 则 ‎∴‎ ‎……【10分】‎ ‎ ‎ ‎∴当即时,取得最大值,最大值为 ‎21.解:⑴记,,则 ‎∵在上无零点,∴直线与曲线在上无交点 只需,即 解得,∴a的最小值是……【4分】‎ ‎⑵,‎ 在上,,单调增;在上,,单调减 ‎,,‎ ‎∴在上的值域为 ……【6分】‎ ‎①当时,在上,,单调减,不合题意……【7分】‎ ‎②当时,令得 ‎(i)当时,即时,‎ 在上,,单调减,不合题意……【8分】‎ ‎(ii)当时,即时,‎ 在上,,单调减;在上,,单调增 8‎ ‎∵,使得……【9分】‎ ‎∴要使方程在上总存在两个不等的实根 只需,即……(*) ……【10分】‎ 令, ,令得x=0‎ 在上,,单调增;在上,,单调减 ‎∴,‎ ‎∴(*)式的解为 ……【11分】‎ ‎∴,∴实数a的取值范围是……【12分】‎ ‎22.解:(1)∵PA是切线,AB是弦,∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ‎∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ‎∴∠ADE=∠AED …………【5分】‎ ‎(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴DAPC∽DBPA,=,‎ ‎∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,‎ 由三角形的内角和定理知:∠C+∠APC+∠PAC=180º,‎ ‎∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90º ‎∴∠C+∠APC+∠BAP=90º,∴∠C=∠APC=∠BAP=30º,‎ 在RtDABC中, =,∴= …………【10分】‎ ‎23.解:⑴由C: (t为参数)可得 由C:(为参数)可得 曲线C是以为圆心,以1为半径的圆;‎ 曲线C是焦点在轴上的椭圆; …………【4分】‎ ‎⑵由已知可得点P,Q,则 8‎ 又直线可化为:‎ 设到直线的距离为,‎ 则 ‎(其中)‎ ‎ ∴的最大值为 …………【10分】‎ ‎24.解:⑴由题意可得和是方程的两根 ‎∴ 解得 …………【4分】‎ ‎⑵当时,不等式可化为 令 当时, ‎ ‎∴当时,不等式恒成立 只需满足即可 ‎∴,∴的取值范围为. …………【10分】‎ 8‎

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