北师大九年级下《1.4解直角三角形》课时练习含答案解析.doc

北师大版数学九年级下册第一章第四节解直角三角形课时练习 一、单选题（共15题）‎ ‎1．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（　　）‎ A．7 B．8 C．8或17 D．7或17‎ 答案：D 解析：解答：‎ ‎ ‎ ‎∵cos∠B=，∴∠B=45°，‎ 当△ABC为钝角三角形时，如图1，‎ ‎∵AB=12，∠B=45°，‎ ‎∴AD=BD=12，‎ ‎∵AC=13，‎ ‎∴由勾股定理得CD=5，‎ ‎∴BC=BD-CD=12-5=7；‎ 当△ABC为锐角三角形时，如图2，‎ BC=BD+CD=12=5=17，‎ 故选D．‎ 分析: 首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长 ‎2.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 解析：解答: ‎ 如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，‎ ‎∵tanB= ，即，‎ ‎∴设AD=5x，则AB=3x，‎ ‎∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，‎ ‎∴△CDE∽△BDA，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴CE= x，DE= x，‎ ‎∴AE= x，‎ ‎∴tan∠CAD=‎ 故选D．‎ 分析: 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中 ‎3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ 答案：A 解析：解答: ‎ 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，‎ 依题意得CD：AD=1：=:3而tan∠DAC=CD：AD，‎ ‎∴tan∠DAC=:3‎ ‎∴∠DAC=30°，‎ ‎∴顶角∠BAC=60°．‎ 故选A．‎ 分析: 本题利用了等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念解决问题 ‎4. △ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，则BC边的长为（　　）‎ A．2 B．2 C． D．4 ‎ 答案:B 解析：解答: ∵∠B=90°，‎ ‎∴tan∠C==，‎ 设AB=x，则BC=2x，‎ ‎∴AC==x，‎ ‎∴x=，解得x=1，‎ ‎∴BC=2x=2．‎ 故选B．‎ 分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形 ‎5. 在△ABC中，AB=5，BC=6，∠B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案:C 解析：解答: ‎ 过点A作AD⊥BC∵sinB= ，‎ ‎∴ =，∵AB=5，∴AD=3，‎ ‎∴BD==4，‎ ‎∵BC=6，‎ ‎∴CD=2，‎ ‎∴AC==‎ ‎∴sinC= ‎ 故选C．‎ 分析: 过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可 ‎6. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案:B 解析：解答:作DE⊥AB于E，‎ 在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，‎ 根据勾股定理，AB=5x，‎ 设CD为a，‎ BD平分∠ABC，则DE=CD=a，‎ AD=4x-a，AE=5x-3x=2x，‎ 在Rt△ADE中，‎ AD2=DE2+AE2，‎ 即（4x-a）2=a2+（2x）2，‎ 解得，a=x，‎ tan∠DBC=‎ 故选：B．‎ 分析: 解直角三角形中的勾股定理等知识解答．‎ ‎7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（　　）‎ A．c•sin2α B．c•cos2α C．c•sinα•tanα D．c•sinα•cosα 答案:D 解析：解答：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=a根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案，‎ sinα= ，BC=c•sinα，‎ ‎∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，‎ ‎∴∠DCB=∠A=α 在Rt△DCB中，∠CDB=90°，‎ cos∠DCB= ，‎ CD=BC•cosα=c•sinα•cosα，‎ 故选：D．‎ 分析: 根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案 ‎8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=，则AC等于（　　）‎ A．3 B．9 C．4 D．12‎ 答案:B 解析：解答: ∵sinB= ∴AC=×15=9．‎ 故选B．‎ 分析: 直接根据正弦的定义求解 ‎9.在锐角△ABC中，cosA=，cosB=，BC=13，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B．30 C．78 D．‎ 答案:D 解析：解答: ∵cosA= ，cosB= ，‎ ‎∴sinA=‎ ‎，sinB=‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+sinB•cosA= ，‎ ‎∵ ∴ ，‎ c=，∴△ABC的面积为 acsinB= ×13× × =‎ 故选：D．‎ 分析: 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式，熟练掌握公式是关键．‎ ‎10. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB= AC=40，则△ABC的面积是（　　）‎ A．800 B．800 C．400 D．400‎ 答案:D 解析：解答:如图所示，过C作CD⊥AB，‎ ‎∵在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，‎ ‎∴∠A=∠B=30°，‎ ‎∴BC=AC，‎ ‎∴D为AB中点，‎ 在Rt△ACD中，AC=40，‎ ‎∴CD= AC=20，‎ 根据勾股定理得：AD= =20，‎ ‎∴AB=2AD=40‎ 则△ABC的面积是 AB•CD=400‎ 故选D 分析: 如图所示，过C作CD⊥AB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出∠A与∠B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形ACD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可 ‎11. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（　　）‎ A.S△ABC＞S△DEF B．S△ABC＜S△DEF C．S△ABC= S△DEF D．不能确定 答案:C 解析：解答: 如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，‎ 在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin 50°=5sin 50°，‎ 在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，‎ DH=DEsin∠DEH=5sin 50°，‎ ‎∴AG=DH．‎ ‎∵BC=4，EF=4，‎ ‎∴S△ABC = S△DEF．‎ 故选C．‎ 分析: 在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可 ‎12. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　）‎ A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，‎ 答案:D 解析：解答: A.∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；‎ B.∵12+12=（）2 ，是等腰直角三角形，故选项错误；‎ C.底边上的高是，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；‎ D.解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．‎ 故选：D．‎ 分析: 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念 ‎13. 在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（　　）‎ A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°‎ 答案:D 解析：解答：∠B=90°-∠A=90°-40°=50°，‎ 又∵tanB= ，‎ ‎∴AC=BC•tanB=3tan50°．‎ 故选：D．‎ 分析: 利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解 ‎14. 等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案: D 解析：解答：‎ AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，‎ 作AD⊥BC于D，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=CD=BC=5，‎ 在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，‎ ‎∴AD==12，‎ ‎∴tanB= =‎ 故选D．‎ 分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质 ‎15. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ 答案:A 解析：解答：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，‎ ‎∴BC=AC=6．‎ 在Rt△DBC中，∵∠C=90°，‎ ‎∴tan∠DBC= ‎ ‎∴DC= BC=4，‎ ‎∴AD=AC-DC=6-4=2．‎ 故选A．‎ 分析: 先由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD=AC-DC即可求解．‎ 二、填空题（共5题）‎ ‎16. 已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于____________‎ 答案: ‎ 解析：解答: 作CH⊥AE于H，‎ ‎∵AB=AC=8，‎ ‎∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）= （180°-30°）=75°，‎ ‎∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，‎ ‎∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，‎ ‎∵∠ACB=∠CAD+∠E，‎ ‎∴∠E=75°-30°=45°，‎ 在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，‎ ‎∴CH= AC=4，AH=，‎ ‎∴DH=AD-AH=8-4‎ 在Rt△CEH中，∵∠E=45°，‎ ‎∴EH=CH=4，‎ ‎∴DE=EH-DH=4-（8-4）=4-4．‎ 故答案为 分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质 ‎17.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________‎ 答案: 4.8‎ 解析：解答: 设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，‎ 因为AE⊥BC于E，‎ 所以在Rt△ABE中，cosB= ，又cosB=‎ 于是＝，‎ 解得x=10，即AB=10．‎ 所以易求BE=8，AE=6，‎ 当EP⊥AB时，PE取得最小值．‎ 故由三角形面积公式有： AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.8．‎ 故答案为 4.8．‎ 分析：本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键 ‎18.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是___________‎ 答案: 40‎ 解析：解答: 已知如图DE⊥AB，垂足是E，‎ 所以△AED为直角三角形，‎ 则得：sinA=，即：=∴AD=10，‎ ‎∴菱形ABCD的周长为：10×4=40．‎ 故答案为：40．‎ 分析: 此题考查的知识点是解直角三角形和菱形的性质，解题的关键是先根据直角三角形的性质求出菱形ABCD的边长AD ‎19.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=‎ ‎，则AD的长为________‎ 答案：2‎ 解析：解答：作DE⊥AB于E，如图，‎ ‎∵∠C=90°，AC=BC=6，‎ ‎∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6‎ ‎∴∠A=45°，‎ 在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，‎ 在Rt△BED中，tan∠DBE= = ，‎ ‎∴BE=5x，‎ ‎∴x+5x=6，解得x=‎ ‎∴AD=×=2．‎ 故答案为2．‎ 分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质 ‎20.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为________‎ 答案：‎ 解析：解答：∵AC= ‎ ‎∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ‎×1= ‎ 故答案为： ‎ 分析: 重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积 三、解答题（共5题）‎ ‎21.若等腰三角形两边为4，10，求底角的正弦值 答案： ‎ 解析：解答: ∵4+4=8＜10，‎ ‎∴AB=AC=10，BC=4．‎ 过点A作AD⊥BC于点D．‎ ‎∵AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴BD=DC=BC=2．‎ ‎∵AB=AC=10，‎ ‎∴AD=‎ ‎∴sin∠ABD=‎ 故答案为 分析: 根据三角形三边关系定理确定腰和底边的长．作底边上的高，利用三角函数的定义求解 ‎22.如图，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB=，求BC的长 答案:‎ 解析：解答：如图，过点C作CD⊥AB于D， ‎ ‎∵AC=2，∠A=45°，‎ ‎∴CD=AC•sin∠A=2•sin45°=2×=‎ ‎∵tanB= ，‎ ‎∴BD=CD ‎ tanB =‎ ‎∴BC=‎ 故答案为 分析：过点C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值求出CD，再根据∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的长 ‎23.在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，求sinB的值 答案：‎ 解析：解答：作AD⊥BC于D，如图 BD= BC=4，‎ 由勾股定理，得 AD==3．‎ 由正弦函数，得 sinB= =‎ 故答案为：‎ 分析: 根据勾股定理，可得AD的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案 ‎24.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，求该三角形的面积 答案：2或1 ‎ 解析：解答：当顶角为x+45°时，则x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积= ×2×2=2；‎ 当顶点为x时，则x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，AB=AC=2，∠A=30°，‎ 作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，‎ ‎∴CD=AC=1，‎ ‎∴三角形ABC的面积=CD•AB= ×1×2=1，‎ 综上所述，该三角形的面积等于1或2．‎ 故答案为1或2．‎ 分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质 ‎25.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，求AC的长 答案：5‎ 解析：解答：在△ABC中，∠C=90°，‎ ‎∵sinA= =，BC=12，‎ ‎∴AB=13，‎ ‎∴AC==5．‎ 故答案为5．‎ 分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形