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第9章《中心对称图形—平行四边形》综合提优测试
(时间:100分钟 满分:100分)
一、选择题(每题2分，共20分)
1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为( ).
A. 35° B. 40° C. 50° D. 65°
3.如图，在平行四边形中，的垂直平分线交于点，则的周长是( ).
A. 7 B. 10 C. 11 D. 12
4.如图，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开得到的菱形的面积为( ).
A. 10 cm2 B. 20 cm2 C. 40 cm2 D. 80 cm2
5.矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为( ).
A. 16 cm B. 22 cm C. 26 cm D. 22 cm和26 cm
6.矩形具有而菱形不具有的性质是( ).
A.两组对边分别平行 B.时角线相等
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
7.如图，正方形的边长为2 . 是等边三角形，点在正方形内，在对
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角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为( ).
A. 2 B. C. D.
8.如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，下列结论中，一定正确的个数是( ).
①是等腰三角形;②;
③四边形是菱形;④.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.如图，将沿着它的中位线DE折叠后，点落到点，若，，则的度数是( ).
A. 120° B. 112° C. 110° D. 108°
10.将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为( ).
A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
二、填空题(每题3分，共18分)
11.如图，在中，分别是的中点，且，则=
.
12.如图，在中，平分，则的周长等于 .
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13.如图，在矩形中，对角线相交于点，则的大小为 .
14.在凸四边形中，，则等于_______°
15.已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为 cm2.
16.已知是正方形的对角线上一点，,过点作的垂线，交边于点，那么 = .
17.如图，在平行四边形中，是由绕顶点旋转40°所得，顶点恰好转到上一点的位置，则= 度.
18.如图，分别是正方形各边的中点，分别是四边形各边的中点，分别是的中点.若图中阴影部分的面积是10，则的长是 .
19．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为
cm．
20.小明尝试着将矩形纸片 (如图(1) , )沿过点的直线折叠，使得点 落在边上的点处，折痕为 (如图(2));再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在边上的点处，折痕为 (如图(3)).如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，那么矩形长与宽的比值为 .
三、解答题(共60分)
21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
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(1)作关于点成中心对称的 .
(2)将向右平移4个单位，作出平移后的.
(3)在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标.(不写解答过程，直接写出结果)
22.如图，中，是的角平分线，点为的中点，连接并延长到点,使，连接.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)当满足什么条件时，矩形
是正方形，并说明理由.
23. (1)如图(1)，在正方形中，点分别在边上，交于点,.求证: ;
(2)如图(2)，在正方形中，点分别在边上，交于点,.求的长.
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24.如图，在凸四边形中，为边的中点，且，分别过两点，作边的垂线，设两条垂线的交点为P.过点作于点.
求证: .
25. 如图，在中，.点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点.过点作交直线于点，设直线的旋转角为.
(1)①当= 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 .
②当a=度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ;
(2)当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由.
26．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
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27．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
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参考答案
1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.B 10.C
11.60° 12. 20 13.60° 14.145° 15. 24 16.22.5°
17. 70 18. 8 19.13 20.
21.(1)、(2)如图；(3);
22.(1)点为的中点，,
四边形是平行四边形.
是的角平分线，
四边形是矩形.
(2)当是等腰直角三角形，矩形是正方形.理由如下：
是等腰直角三角形，
由(1)知四边形是矩形，四边形是正方形.
23.(1)四边形为正方形，
≌
(2)过点作交于点，过点作交于点，与 交于点.
则四边形和四边形均为平行四边行.
.
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故由(1)得，≌.
24. 如图，取、的中点分别是、；连接、、、；
易证：
≌.
四边形是平行四边形，
25.(1)①30,1 ②60,1.5
(2)当时，四边形是菱形.
,
四边形是平行四边形.
在中， ,
在中，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形.
26. （1）证明：∵折叠，
∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，
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∴AM=CN，
∴AM﹣MN=CN﹣MN，
即AN=CM，
在△ANF和△CME中，
，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，
设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，
在Rt△CEM中，
（8﹣x）2+42=x2，
解得：x=5，
∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．
27. （1）是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形；
（2）AC=BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，
∴当AC=BD时，FG=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
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理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
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