1.4角平分线
一、选择题
1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别在D′,C′的位置，若 ∠ EFB=65°，则∠AED′等于 （ ）
A．70° B．65° C．50°D．25°
2．如图1—102所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点
D，DE⊥AB于点E．若AB=6 cm，则DEB的周长为 （ ）
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
3．如图1—103所示，D，E分别是△ABc的边AC．Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为 （ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．如图1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是 （ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二、填空与解答题
5．补全“求作∠AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE．使OD =OE；②分别以D，E为圆心，以 为半径画弧，两弧在∠
AOB内交于点C；③连接OC．则OC即为∠AOB的平分线．
6．如图1—105所示，D，E，F分别是,ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证AD平分∠BAC．
7．如图1—106所示，AD 为ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，
EF交AD于点M，求证AM⊥EF．
8．如图1—107所示，,在EAABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？?如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没有，请说明理由．（简要说明作图过程即可）
9．某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是3000 m．根据这些资料，考古队员很快找到了这座古城的遗址．请你运用学过的知识在图l—108上找到古城的遗址（比例尺为1：100000）．
10．学完了“角平分线”这节内容，爱动脑筋的小明发现了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在如图1—109所示的RtAABC的斜边AB上取点E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于点D，那∠BD就是∠ABC的平分线．你认为他的作法有道理吗？说说你的看法．
11．现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20 m，30m，40 m，现要把它分成面积为2：3：4的三部分，分别种植不同的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．
12．如图1—110（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
（1）如图1一110（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°
，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；（不要求写证明）
（2）如图1-110（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．C [提示：折痕EF恰为∠DED′的角平分线，∴∠DEF=∠D′EF．
又∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED′=65°×2=130°∴∠AED′=180°一∠DED′=50°．]
２．Ｃ［提示：易知DE=DC，AE=AC=BC，∴BE＋DE＋BD=BD＋DC＋BE＝BC＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6 cm．]
3．D[提示：易证∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．]
4．D[提示：证明△OAP≌△OBP，可得答案．]
5.大于DE长．
6．证明：如图1一l11所示，过点D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，因为S△DCE=S△DBF,所以CＥ•DG=BF•DH，又CE=BF，所以DG=DH，所以点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．
7．证明：因为AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，所以DF=DE．
AF=AE，
∠FAM=∠EAM，
AM=AM，
AD=AD，
DF=DE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
所以Rt△ADF≌Rt△AD（HL）．所AF=AE．在△AMF和△AME中，
所以△AMF≌△AME（ＳＡＳ），所以∠AMF=∠AME．又因为∠AMF＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM⊥EF
8．解：有，如图1一112所示，作∠BAC，∠ACB的平分线，它们的交点P即为符合要求的点．理由：作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，因为AP是∠BAC的平分线，所以PD=PF．又CP是∠ACB的平分线，所以PE=PF，所以PD=PE=PF．连接PB，设PD=PE=PF=x ，由题意S△APB＋S△AＰC＋S△ＣP B= S△ＡＢＣ，即× 7x＋× 24x＋× 25x=×24×7，解这个方程，得x=3．即这个距离为3．
9．解：作两条河岸夹角的平分线，再以古塔所在的位置为圆心，以3 cm长为半径画
弧，弧线与角平分线的交点即为所求．图略．
10．解：小明的作法是有道理的．根据他的画法我们可以用HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得∠CBD=∠EBD．
11．解：如图1一113所示，AC=20，BC=30，AB=40，作出该三角形空地ABC的三条角平分线的交点P，连接PA，PB，PC，则S△ACP： S△BCP：S△ABP＝2：3：4．理由：作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为D，F，E，由角平分线的性质定理，可知PD=PE=PF，∴S△ACP： S△BCP：S△ABP=（PF·AC）：（PE·BC）：（PD·AB）=AC：BC：AB=2：3:4．
12．解：在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，
BD，则△OAD与△OBD全等，如图l一114（1）所示．（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD．
（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．证法1：如图1—114（2）所示，在AC上截取AG=AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD．由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．证法2：如图1—114（3）所示，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，FI⊥AC于点I．因为∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分线的性质可得FG=FI=FH．又因为∠HDF=∠B＋∠1，所以∠GEF=∠HDF．因此由∠EGF=∠DHF，∠GEF=∠HDF，FG=FH可证AEGF≌△DHF，所以FE=FD
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