2017届高考数学知识方法专题概率与统计复习题
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第37练 二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和 ‎[题型分析·高考展望] 二项式定理的应用,是理科高考的考点之一,考查频率较高,一般为选择题或填空题,题目难度不大,为低、中档题.主要考查两类题型,一是求展开式的指定项,二是求各项和或系数和,只要掌握两类题型的常规解法,该部分题目就能会做.‎ 体验高考 ‎1.(2015·课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ 答案 C 解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解.‎ ‎(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,‎ 含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.‎ 其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC=30.故选C.‎ 方法二 利用组合知识求解.‎ ‎(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.‎ ‎2.(2016·四川)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为(  )‎ A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4‎ 答案 A 解析 由题可知,含x4的项为Cx4i2=-15x4.选A.‎ ‎3.(2015·安徽)7的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案).‎ 答案 35‎ 解析 7的展开式的第k+1项为Tk+1=C(x3)7-k·k=C·x21-4k,令21-4k=5,得k=4,∴T5=Cx5=35x5.‎ ‎4.(2016·上海)在(-)n的二次项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于________.‎ 答案 112‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 2n=256,n=8,‎ 通项Tk+1=C··(-)k=C(-2)k·.‎ 取k=2,‎ 常数项为C(-2)2=112.‎ 高考必会题型 题型一 求展开项 例1 (1)(x2+-2)3展开式中的常数项为(  )‎ A.-8 B.-12 C.-20 D.20‎ ‎(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为-80,则实数a=________.‎ 答案 (1)C (2)-2‎ 解析 (1)二项式(x2+-2)3可化为(x-)6,‎ 展开式的通项公式为Tk+1=C·(-1)k·x6-2k.‎ 令x的幂指数6-2k=0,解得k=3,‎ 故展开式中的常数项为-C=-20,‎ 故选C.‎ ‎(2)∵Tk+1=C(ax2)5-kk=a5-kC,‎ ‎∴10-k=5,解得k=2,∴a3C=-80,解得a=-2.‎ 点评 应用通项公式要注意四点 ‎(1)Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项;‎ ‎(2)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;‎ ‎(3)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;‎ ‎(4)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.‎ 变式训练1 (1)(9x-)n(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为(  )‎ A.252 B.-252 C.84 D.-84‎ ‎(2)(1-x)(1+2)5展开式中x2的系数为________.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 (1)C (2)60‎ 解析 (1)第3项的二项式系数为C==36,n=9,‎ 其通项公式为Tk+1=(-)kC(9x)9-k=(-)k99-kC,‎ 当9-k=0,k=6时,为常数项,‎ 常数项为(-)699-6C=84.‎ ‎(2)因为(1+2)5展开式的通项公式为Tk+1=C·2k·,‎ 所以(1-x)(1+2)5展开式中x2的系数为1×C×24-×C×22=60.‎ 题型二 赋值法求系数之和 例2 (1)对任意的实数x,有(2x-3)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6等于(  )‎ A.-12 B.-6 C.6 D.12‎ ‎(2)若(2x-1)2 013=a0+a1x+a2x2+…+a2 013x2 013(x∈R),则+++…+等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 (1)A (2)D 解析 (1)由(2x-3)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,两侧求导,得a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5=12(2x-3)5,‎ 令x=1,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6‎ ‎=12(2×1-3)5=-12,故选A.‎ ‎(2)因为(2x-1)2 013=a0+a1x+a2x2+…+a2 013x2 013(x∈R),‎ 令x=0,则a0=-1,a1=2C(-1)2 012=2C;‎ 令x=,则a0+++…+=0,‎ 所以+++…+ ‎=(a1+++…+)‎ ‎=(a0+a1+++…+)- 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=(2×-1)2 013+=.‎ 点评 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m (a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.‎ ‎(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.‎ 变式训练2 (1)已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a0+a1+a2+…+an=126,那么(-)n的展开式中的常数项为(  )‎ A.-15 B.15 C.20 D.-20‎ ‎(2)若(1-5x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,那么|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值是(  )‎ A.1 B.49 C.59 D.69‎ 答案 (1)D (2)D 解析 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2+22+…+2n=2×=2n+1-2=126⇒2n+1=128⇒2n+1=27⇒n=6,又Tk+1=C()6-k(-)k=C(-1)kx3-k,‎ 所以由3-k=0得k=3,则常数项为-C=-20.‎ ‎(2)(1-5x)9展开式的通项公式为Tk+1=C(-5x)k=(-5)kCxk,‎ 所以当x的指数为奇数时,其系数为负,‎ 所以在(1-5x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中令x=-1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|‎ ‎=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=69,故选D.‎ 高考题型精练 ‎1.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为(  )‎ A.1 B.-1 C.0 D.2‎ 答案 A 解析 令x=1,得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4,‎ 又令x=-1,得(2-)4=a0-a1+a2-a3+a4,‎ 所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2‎ ‎=(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+a4-a1-a3)‎ ‎=(2+)4(2-)4=14=1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.设n∈N*,则5C+52C+53C+…+5nC除以7的余数为(  )‎ A.0或5 B.1或3 C.4或6 D.0或2‎ 答案 A 解析 5C+52C+53C+…+5nC ‎=C+5C+52C+53C+…+5nC-C ‎=(1+5)n-1‎ ‎=(7-1)n-1=7M+(-1)n-1,M∈Z,‎ 当n为奇数时,余数为5,‎ 当n为偶数时,余数为0.‎ ‎3.设k=(sin x-cos x)dx,若(1-kx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a8等于(  )‎ A.-1 B.0 C.1 D.256‎ 答案 B 解析 k=(sin x-cos x)dx=sin xdx-cos xdx ‎=-cos x-sin x=2,‎ 所以(1-kx)8=(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,‎ 令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=(1-2)8=1,‎ 令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a8=(a0+a1+a2+…+a8)-a0=1-1=0,故选B.‎ ‎4.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m等于(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 答案 B 解析 (x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为C,‎ ‎∴a=C.同理,b=C.‎ ‎∵13a=7b,∴13·C=7·C,‎ ‎∴13·=7·,‎ ‎∴m=6.‎ ‎5.(+)5展开式的第三项为10,则y关于x的函数图象大致为(  )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 D 解析 由题意得,展开式的第三项为T3=C()3()2=10xy,‎ 所以10xy=10,所以y=,且x>0,故选D.‎ ‎6.设a∈Z,且0≤a

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