高二数学必修3《归纳推理》教学设计

高二数学必修3《归纳推理》教学设计 一．教材的地位与作用  归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，在实际生活中用途很大，况且，高考命题的方向是以能力考察为主线，通过减少计算量，增加思维量，突出体现数学的人文价值和实际应用价值,因此在高中数学的模块中，归纳推理就显得格外的举足轻重了 二、教学目标            【知识与技能目标】 结合实例了解归纳推理的含义，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理；    【过程与方法目标】通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用；    【情感与价值目标】感受数学的应用价值和人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感．    【教学手段】多媒体 三、教学重难点    【重点】归纳推理的含义与作用；    【难点】利用归纳推理进行简单的合情推理． 四、教学过程设计 （一）创设情境，引出课题 （幻灯片展示）生活实例： 1.一串葡萄，吃第一个是酸的，吃第二个是酸的，吃第三个是酸的， ……猜想．这串葡萄葡萄都是酸; 2.铜能导电、铝能导电、金能导电、银能导电，……．一切的金属都能导电; 3. 第一个数为2，第二个数为4，第三个数为6，第四个数为 8，……   猜想第n个数字为2n; 4.三角形的内角和为 180度，四边形的内角和为 360度，五边形的内角和 540度，……n边形内角和为（n-2）×180度． 思考1：这些猜想的获得经历了怎样的思考过程？ 生：部分推出整体，个别推出一般． 师：像这样的推理我们把它称为归纳推理．今天，我们主要研究推理中的“归纳推理”（板书课题）． 〖设计意图：通过引入生活中的具体实例，拉近数学与生活之间的距离，激发学生学习的兴趣，，给学生最大的思考空间，充分体现学生主体地位。〗 师：接下来我们简绍一个经典的归纳推理的案例，结合引例总结归案推理的定义。 （幻灯片展示）介绍歌德巴赫猜想  观察下列等式： 3+7=10，    5+11=16，    13+17=30 师：你们能从中发现什么规律？ 生（齐声）：奇数+奇数=偶数． 师：这是显而易见，其实，等式左边的数字不仅仅是奇数，而且是…… 生（齐声）：质数． 师：由此可见，规律是…… 生（齐声）：奇质数+奇质数=偶数． 师：如果换一种写法呢？ （幻灯片展示）10=3+7，     16=5+11，    30=13+17 师：这个规律对于其他偶数是否成立？ 生：（不吱声） 师：下面我们来一起验证：2=1+1满足吗？4=1+3满足吗？ 生：都不满足． （幻灯片展示）6＝3+3， 8＝3+5,  10＝5+5,   …… 1000＝29+971， 1002=139+863, …… 师：那么运用归纳推理，你能从中得出什么猜想？ 生（齐声）：猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和． （幻灯片展示）200年过去了，没有人证明它．哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近．目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理 (Chen‘s Theorem)， 简称为 “1 + 2 ”． 师：“陈氏定理”与哥德巴赫猜想仅有一步之遥，说不定这一步骤之遥，在不久的将来是由我们在座的同学完成． 〖设计意图：通过让学生了解数学的发展，与中国现在数学的情况，激发学生积极探究的精神〗 （二）抽象思维，形成概念 1、归纳推理的定义：（幻灯片展示） 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳)． 师：大家注意到关键词“部分对象”“全部对象”、“个别事实”“一般结论”，这与我们刚才归纳的结果基本是一致的． 2、归纳推理的特点：（幻灯片展示） 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理． 师：其实，我们刚才归纳出归纳推理概念的过程就是一个归纳推理的过程．在日常生活与学习中，我们常常会运用到归纳推理的思想． 师：你能举出归纳推理的例子吗? （学生举例之后教师点评） 师：归纳推理的结论可靠吗？ 3.（幻灯片展示）介绍费马猜想 法国数学家费马观察到： ， ， ， 师：等式右边都是质数．于是他用归纳推理提出猜想，大家说，这一猜想是什么？ 生：形如  ( )的数都是质数． 师：这就是著名的费马猜想．但费马猜想仅仅维持了半个世纪． （幻灯片展示）半个世纪之后，善于计算的欧拉（Euler，1707—1783）发现，第5个费马数         师：第5个费马数刚好能写成两个奇质数的积．由此可见，第5个费马数它不是…… 生（齐声）：不是质数． 师：从而推翻了著名的费马猜想． 师：由此可见，运用归纳推理所获得的结论，它可靠吗？ 生（齐声）：不可靠！ 4、归纳推理的作用 师：“哥德巴赫猜想”这么伟大的结论都是由归纳推理得到的，那么，归纳推理的作用是什么呢？事实上，我们很多的重要科学发现都是建立在归纳推理的基础之上．譬如说，物理学家牛顿发现苹果落在头上，进而观察物体下落，提出了万有引力；化学家门捷列夫通过研究部分的元素性质，进而提出了元素周期律，制定出了元素周期表；生物学家达尔文通过观察向日葵等植物喜欢向着有阳光的方向生长，从而提出了植树具有向阳性． 师：由此可见，运用归纳推理我们可以发现新事实、获得新结论，为研究提供了方向． ——归纳推理是科学发现的重要途径! 师：尽管如此，归纳推理它能够为我们研究提供方向．下面我们一起来看看，归纳推理在解题当中的应用． （三）探究分析一，知识应用 （幻灯片展示）例1、已知数列｛ ｝的第1项 ，且 （n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式． 分析：数列的通项公式表示的是数列 的第n项 与序号 n 之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．（分析由学生进行，教师点评） 解：分别把n=1，2,3,4代入 得， ， ， ， ， ． 观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为 ． 总结:归纳推理的步骤:1.列举部分对象2.观察规律3.概括推广 4.提出猜想 〖设计意图：首先让学生自主探究，合作交流突出重点，让后教师通过引导，环环相扣把难点突破。〗 例2. （幻灯片展示） 分析:从不同的角度观察拼图可以得到不同的规律. 〖设计意图：学习就是不断的重复，在不同的变换中慢慢领悟本节课的知识在数学中的作用和应用。体会知识的外延和内涵.〗 例3、                            世界末日之谜 在印度，有这么一个古老的传说：在河内塔神庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的６４片金片，不论白天黑夜，总有一个僧侣按照下面的法则移动这些金片，当所有的金片都从中间那根针上移到另外一根针上时，世界末日来临了。 规则：1.每次只能移动1个金属片;                           2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把64个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 分析：我们从移动1, 2, 3, 4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动 n个金属片所需的次数．（分析由学生进行，教师点评） （幻灯片展示实验过程，师生互动） 解法1： ， ， ， …… 。 解法2：分析寻求 与 之间的关系：        ， ，  ，则 。        所以 是以 为首项，2为公比的等比数列， ， 。 （四）．课堂小结，知识提炼（幻灯片展示） 1.通过本节课的学习，你有哪些方面的收获？（学生完成，教师点评） 2.什么是归纳推理（简称归纳）? 部分→整体；个别→一般． 3.归纳推理的一般步骤：1.列举部分对象2.观察规律3.概括推广 4.提出猜想 〖设计意图： 小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。我设计了三个问题：1通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2通过本节课的学习，你最大的体验是什么？3通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？〗 （五）课后作业，知识迁移（幻灯片展示） 1、完成课本 P55 2、上网查找资料，孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理;七桥问题;欧拉公式等猜想. 3、预习类比推理. 〖设计意图：巩固新知，训练知识迁移的能力〗