1.2.4 解决有关三角形计算的问题
项目
内容
课题
1.2.4 解决有关三角形计算的问题
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
二、过程与方法
1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型;
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．
三、情感态度与价值观
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学重、
难点
教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.
教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
[设置情境]
师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？
生hA=bsinC=csinB,
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hB=csinA=asinC,
hC=asinB=BsinA.
师 根据以前学过的三角形面积公式,应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：，大家能推出其他的几个公式吗？
生 同理，可得,.
师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.
推进新课
【例1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm2）.
（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5°;
（2）已知B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 cm;
（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.
师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．
〔生口答，师书写过程〕
解：（1）应用，得 S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2).
(2)根据正弦定理，,
.
A = 180°-(B + C)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,
≈4.0(cm2).
(3)根据余弦定理的推论，
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得≈0.769 7,
≈0.638 4,
应用得S=×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm2).
生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．
【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm2）？
师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．
〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕
解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论，
≈0.753 2,
≈0.657 8,
应用S= acsinB,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m2).
答：这个区域的面积是2 840.38 m2．
【例3】在△ABC中，求证：
（1）;
（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）.
[合作探究]
师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点?
生
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等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明.
师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法．
证明：（1）根据正弦定理，可设
,
显然 k≠0，所以
左边==右边.
师 那对于第二小题又该怎么化呢？
生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.
师 很好，哪位来板演一下？
生 证明：（2）根据余弦定理的推论，
右边=
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.
1.已知在△ABC中，∠B=30°,B=6,C=6,求A及△ABC的面积S.
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论.
答案：A=6,S=9;A=12,S=18.
2.判断满足下列条件的三角形形状，
(1)acosA = bcosB;
(2)sinC =.
提示：
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利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.
(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明．
生（余弦定理）得,
∴c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2).
∴a2=b2或c2=a2+b2.
∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.
生（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B.∴A=B.
∴根据角的关系易得是等腰三角形.
师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生 第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180°，A+B=90°.
(2)（解略）直角三角形.
[知识拓展]
如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC =，求：
(1)AB的长;
(2)四边形ABCD的面积.
略解：（1）因为∠BCD=75°,∠ACB=45°，
所以∠ACD=30°.
又因为∠BDC=45°，
所以∠DAC=180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD=DC =.
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+ 45°）=60°，所以
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.
在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°= 5,所以,得AB=.
(2)S△ABD=×AD×BD×sin75°=.同理，S△BCD=.
所以四边形ABCD的面积.
课堂练习
课本第21页练习第1、2题.
课堂小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯．
布置作业
课本第22页习题1.2第12、14、15题.
板书设计
解决有关三角形计算的问题
例1 例2 例3 变题1
补充练习: 变题2
教学反思
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本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题.
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