人教A版选修2-2课件2.1.1 合情推理

2.1.1合情推理 1.了解合情推理的含义,能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用. 1.归纳推理的特点有哪些?剖析:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是未知的一般现象,该结论往往超越了前提所包含的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实还需经过逻辑证明和实践检验,因此归纳推理不能作为数学证明的工具.(3)一般地,归纳的个别现象越多,越具有代表性,推广的一般性结论也就越可靠.(4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现新的事实,获得新的结论. 2.类比推理的特点有哪些?剖析:(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究的事物的属性,是以已有的认识为基础,类比出新的结果.(2)类比推理是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.类比的两类对象的相似性越多、相似的性质与推测的性质之间越相关,类比得出的结论就越可靠. (3)由于类比推理得到的结论也具有猜测性,结论是否正确还需经过逻辑证明和实践的检验,因此类比推理也不能作为数学证明的工具,但它却具有触类旁通、提供线索、比较思考、举一反三等一系列启迪思维的作用,而且也能帮助我们加快、加深对新概念、新公式、新规律的理解、记忆及应用.(4)类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.在数学中,我们可以从已经解决的问题和已经获得的知识出发,通过类比提出新问题,获得新发现. 3.数学中常见的类比有哪些?剖析:数学中常见的类比:直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等.例如:类比下列平面图形的性质,写出空间图形的性质. ①空间中的两个平面无公共点,则它们互相平行②空间中平行于同一个平面的两个平面平行③平行六面体(相对面平行且全等)④长方体(对角面全等)⑤正方体(外接球、内切球的球心重合)⑥正四面体(外接球、内切球的球心重合)⑦等体积法 题型一题型二题型三数列中的归纳推理【例1】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,…).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想通项an的表达式.分析:由a1求a2→由a2求a3→由a3求a4→由a4求a5→分析a1,a2,a3,a4,a5的结构特征→猜想通项公式an解:(1)已知a1=1,an+1=2an+1,则a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,可归纳猜想出an=2n-1(n∈N*). 题型一题型二题型三反思归纳推理具有从特殊到一般、从具体到抽象的认知功能,在求数列的通项公式或前n项和的问题时,经常用归纳推理得出关于前有限项的结论,此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一,以便于寻找规律,归纳猜想出结论. 题型一题型二题型三【变式训练1】已知下列一组等式:s1=1;s2=2+3=5;s3=4+5+6=15;s4=7+8+9+10=34;s5=11+12+13+14+15=65;s6=16+17+18+19+20+21=111;……(1)写出s7对应的等式;(2)求出sn对应等式的第一项,并写出sn对应的等式. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三其他形式的归纳推理【例2】根据下图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为.解析:分别求出前4个图形中线段的条数,并加以归纳,发现规律,得出猜想.图形①~④中线段的条数分别为1,5,13,29.因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.答案:509 题型一题型二题型三反思图形中的数列问题也是一类考查归纳推理的热点问题,归纳的途径有两条:一是按每个图形中单位图形(要考查的几何元素,如本题中的线段)的数目来归纳;二是按图形变化的特点来归纳. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三答案:1000 题型一题型二题型三类比推理的应用【例3】请用类比推理完成下表: 题型一题型二题型三解析:本题由前两组类比可得到如下信息:①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.由以上可知:答案:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 题型一题型二题型三反思类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择恰当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三