北师大版高中数学必修第一册课件3.1 指数幂的拓展 指数幂的运算性质

第三章1指数幂的拓展2指数幂的运算性质 课标要求1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.2.理解根式运算与指数运算的内在联系.3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1指数幂的拓展1.正分数指数幂互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数 2.负分数指数幂3.无理数指数幂一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定.这样指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 名师点睛1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理数指数幂.分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.2.正数的负分数指数幂为正数. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)0的任何指数幂都等于0.()××× 提示不正确,因为在指数幂的概念中,总有a>0. 知识点2指数幂的运算性质对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:运算性质的成立需此约束条件的限制(1)aα·aβ=aα+β;(2)(aα)β=aαβ;(3)(ab)α=aαbα. 名师点睛1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用:2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质进行计算. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(4)(ab)α=aα·bα,对于任意a,b都成立.()×√√× 答案D 重难探究•能力素养全提升 探究点一利用分数指数幂的定义求值答案D规律方法解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解. 变式训练1答案A 探究点二根式的化简(求值)【例2】求下列各式的值: 变式探究(1)该例中的(2),若x3呢?解由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.(1)若x0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4. 探究点三指数幂的化简与求值【例3】计算下列各式的值: 规律方法对于指数幂的化简与求值要注意以下两点:(1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.(2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 变式训练2 探究点四条件求值得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45. 规律方法解决条件求值问题的一般方法——整体法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体法”求值时常用的变形公式如下: 变式训练3解∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. 本节要点归纳1.知识清单:(1)实数指数幂的性质;(2)指数幂的化简与求值.2.方法归纳:转化法、整体代换法.3.常见误区:在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 学以致用•随堂检测全达标 A.5-2aB.2a-5C.1D.-1答案C 2.下列各式正确的是() 答案D 答案C 答案D 5.若+(a-4)0有意义,则实数a的取值范围是.答案[2,4)∪(4,+∞)解析由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4. 6.已知实数x满足x2-mx+1=0(x>0),求:(1)x2+x-2(用m表示);(2)x-x-1(用m表示). 本课结束