北师大版高中数学必修第二册课件2.6.1 第1课时 余弦定理

第二章第1课时 余弦定理 课标要求1.掌握余弦定理及其变形.2.掌握余弦定理的证明过程.3.能够利用余弦定理解决有关问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一余弦定理及其变形1.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.2.余弦定理的变形 名师点睛1.对余弦定理的理解(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.(2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求其第三边.实际上,若已知其中的任意三个量,都可以求出第四个量. 2.余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,若角C=90°,则cosC=0,于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角),则a2+b2c2⇔△ABC是锐角三角形,且角C为锐角. 3.对余弦定理的变形的理解(1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形.(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.(3)应用余弦定理的变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角.(4)余弦定理及其变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.()(2)在△ABC中,已知两边及夹角时,△ABC不一定唯一.()(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角.()(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角.()(5)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则△ABC为锐角三角形.()√×√×× 2.你能否建立平面直角坐标系,结合解直角三角形的知识证明余弦定理?提示如图,以点A为原点,以△ABC的边AB所在直线为x轴,以过点A与AB垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(bcosA,bsinA),B(c,0).由两点间的距离公式得BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2,即a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为()A 4.在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是.120°解析设中间角为θ,由于8>7>5,故角θ的对边长为7,故最大角与最小角的和为180°-60°=120°. 知识点二三角形的面积公式1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则S△ABC=aha==.2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则S△ABC=absinC==.名师点睛三角形面积公式的其他形式 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)求三角形的面积时,每条边都可以作为底.()(2)直角三角形只要已知斜边就能求出面积.()(3)已知三角形的三边不能求出三角形的面积.()2.在△ABC中,已知b=1,c=2,A=150°,则△ABC的面积为.√×× 3.在△ABC中,AB=,D为BC的中点,AD=1,∠BAD=30°,则△ABC的面积S△ABC=. 重难探究•能力素养全提升 探究点一已知两边及一角解三角形 规律方法已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边. 变式训练15 探究点二已知三边解三角形 又因为0°