北师大版高中数学必修第二册课件4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用

第四章2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课标要求1.能够推导出两角和与差的正弦、正切公式.2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一两角和与差的正弦公式α,β∈R=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 从而可得两角和与差的正弦公式,记作Sα±β.sin(α+β)=.(Sα+β)sin(α-β)=.(Sα-β)名师点睛1.两角和与差的正弦公式的结构特征2.两角和与差的正弦公式的记忆技巧两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正,符号相同”.sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立.()(2)对于任意角α,β,总有sin(α+β)=sinα-sinβ成立.()(3)存在角α,β,使得sin(α+β)=sinα-sinβ成立.()2.如何将sinx+cosx变成两角和的正弦函数?××√√ 知识点二两角和与差的正切公式角α,β,α+β的终边不能在y轴上分子、分母同除以cosαcosβ(当cosαcosβ≠0时),得到两角和与差的正切公式,记作Tα+β,同理可得Tα-β.tan(α+β)=.(Tα+β)tan(α-β)=.(Tα-β) 名师点睛1.在两角和与差的正切公式中,α,β,α+β,α-β均不等于kπ+(k∈Z).2.公式的结构特征及符号特征如下:(1)公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tanα与tanβ的和或差,分母为1与tanαtanβ的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同,分母反”. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.()2.两角和与差的正切公式中,α,β为任意角吗?√×√ 重难探究•能力素养全提升 探究点一利用两角和与差的正弦、正切公式化简与求值【例1】化简下列各式:(1)sin20°cos40°+cos20°sin40°;(4)(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)·(1+tan24°). (4)因为(1+tan21°)(1+tan24°)=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1+tan(21°+24°)(1-tan21°tan24°)+tan21°tan24°=1+(1-tan21°tan24°)tan45°+tan21°tan24°=1+1-tan21°tan24°+tan21°tan24°=2.同理可得(1+tan22°)(1+tan23°)=2,所以原式=2×2=4. 规律方法1.公式的巧妙运用:一是正用,如本题中的(2);二是逆用;三是变用,变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sinαsinβ=cosαcosβ,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,可运用切化弦,将特殊值如化为tan60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角的三角函数值,如1=sin90°=cos0°=tan45°,=tan60°等.2.公式的推广:本例第(4)小题所得结论可以推广到一般情形:若A+B=,则(1+tanA)(1+tanB)=2;若(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B=kπ+,k∈Z. 变式训练1化简下列各式:(1)sin15°+sin75°; 解(1)sin15°+sin75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30° 探究点二两角和与差的正弦、正切公式的综合应用角度1给值求值问题(1)求sin(α+β)的值;(2)求cos(α-β)的值;(3)求tanα的值. 规律方法给值求值的解题策略在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角. 变式训练2D0 角度2给值求角问题 规律方法根据三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定.一般地,若θ∈(0,π),则通常求cosθ;若θ∈,则通常求sinθ,否则容易导致增解. 变式训练3 本节要点归纳1.知识清单:(1)两角和与差的正弦、正切公式的推导;(2)给角求值、给值求值、给值求角;(3)公式的正用、逆用、变形用.2.方法归纳:构造法、转化法.3.常见误区:(1)公式中加减符号易记错;(2)求值或求角时忽视角的范围. 学以致用•随堂检测全达标 1.sin35°cos5°-cos35°sin5°=()A.B.1C.2D.2sin40°A A A 本课结束