高中数学人教A版选修2-2（同步练习）第3章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测一、选择题1．(2019·阜平一中月考)在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(  )A．a＝0或a＝2B．a＝0C．a≠1且a≠2D.a≠1或a≠2解析：因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.答案：B2．若复数z＝(a＋|a|)i为纯虚数，则必有(  )A．a＝0B．a≠0C．a＞0D.a＜0解析：由题意得a＋|a|≠0，得a＞0.答案：C3．已知复数z＝，下列说法正确的是(  )A．实部为1B．虚部为－2C．实部为D.虚部为－i答案：C4．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(  )A．M∪R＝IB．∁IM∪R＝IC．∁IM∩R＝RD.M∩∁IR＝∅解析：根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示． 答案：C5．已知复数z＝a－2＋ai(a∈R)为纯虚数，则(＋x2)dx的值为(  )A.＋πB．＋2πC．8＋πD.8＋2π解析：∵z＝a－2＋ai(a∈R)为纯虚数，答案：A6．(2019·武邑中学高二月考)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(  )A．|a|＝|b|B．a0且a≠bD.a≤0解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.答案：D二、填空题7．若z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，则k的值为________．解析：由题意得得k＝2.答案：28．已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，则x＋y＝________.解析：由题意得解得∴x＋y＝3－2＝1.答案：1 9．(2019·白城市一中高二月考)若复数z＝(sinθ＋cosθ＋1)＋(sinθ－cosθ)i是纯虚数，则sin2017θ＋cos2017θ＝________.解析：由题意得由①得sinθ＋cosθ＝－1，又sin2θ＋cos2θ＝1.所以或所以sin2017θ＋cos2017θ＝(－1)2017＋02017＝－1.答案：－1三、解答题10．已知m∈R，复数z＝(m2－4)＋(m2－3m＋2)i，i是虚数单位．(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；(2)若复数z为虚数，求实数m的取值范围．解：(1)依题意得解得∴m＝－2.(2)依题意得m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2.11．若x为实数，y为纯虚数，且满足3x＋1＋4i＝y，求x，y的值．解：设y＝bi(b≠0，b∈R)，由题意得3x＋1＋4i＝bi，∴得∴y＝4i.综上得x的值为－，y的值为4i.12．(2019·江西省月考)已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋(x－y)i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3x＋y的取值范围．解：由复数相等的充要条件得消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.解法一：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.分析知圆心(1，－1)到直线3x＋y－t＝0的距离d＝≤，解得2－2≤t≤2＋2，即3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]． 解法二：令得(α∈R)，所以3x＋y＝sinα＋3cosα＋2＝2sin(α＋φ)＋2(其中tanφ＝3)，于是3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．13．若不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立，则实数m的值为(  )A．3B．0C．1D.1或3解析：由题意得解得m＝3.答案：A