高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章2.3.2 双曲线的简单几何性质 第二课时

第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质第二课时 直线与双曲线的位置关系课时跟踪检测一、选择题1．(2019·二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线经过圆E：x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则双曲线C的离心率为(  )A.B．C．2D．解析：圆E：x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为E(1，－2)，双曲线C：－＝1的渐近线为y＝±x，由题意，得＝2，∴离心率e＝＝＝＝.答案：A2．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(  )A．1条        B．2条C．3条D．4条解析：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4；当直线与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝±2，∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．综上，有三条直线满足|AB |＝4.答案：C3．(2019·月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(  )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析：根据题意得到A(－a,0)，B(a,0)，设点P为(x，y)，根据题意得到3＝，则－＝1，从而渐近线方程为－＝0，化简为y＝±x.答案：C4．若圆(x－)2＋(y－1)2＝3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为(  )A.B．C．2D．解析：因为圆(x－)2＋(y－1)2＝3的圆心为(，1)，半径为，由图(图略)得该圆与渐近线y＝－x相切，所以d＝＝，所以b＝a，即＝.又因为e2＝1＋＝，所以e＝.答案：A5．若斜率存在且过点P的直线l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于(  )A．2   B．4C．1或2   D．2或4解析：因为直线斜率存在，则过P与左顶点的直线必与y＝－x 平行，所以有＝，解得a＝2.所以实轴长为4.答案：B6．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(  )A.B．C.D．与P点位置有关解析：由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，∴kPA·kPB＝·＝＝＝＝.答案：A二、填空题7．已知直线l：y＝kx与双曲线4x2－y2＝16，若直线l与双曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是________．解析：由得(4－k2)x2－16＝0，由题意，得当4－k2＞0，即－2＜k＜2时直线与双曲线有两个公共点．答案：(－2,2)8．(2019·北京西城区二模)双曲线C：－＝1的焦距是________；若圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)与双曲线C的渐近线相切，则r＝________.解析：由双曲线C：－＝1，知c2＝9＋16＝25，∴c＝5，∴2c＝10.双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0.因为圆与3x－4y＝0相切，所以＝r，所以r＝.答案：10  9．(2019·吉林实验中学期中)已知直线y＝x－2与双曲线－＝1的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使＋＝t，则t的值________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，由＋＝t，得x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，由直线y＝x－2与双曲线－＝1方程联立，可得x2－16x＋84＝0，∴x1＋x2＝16，∴y1＋y2＝×16－4＝12，∴解得x0＝4，y0＝3，∴t＝4.答案：4三、解答题10．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点为(2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．解：(1)∵双曲线－＝1的右焦点为(2,0)，∴c＝2，a＝，∴b2＝c2－a2＝4－3＝1.∴双曲线的方程为－y2＝1.(2)由(1)，得a＝，b＝1，∴双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，令x＝－2，得y＝±.设直线x＝－2与渐近线y＝±x的交点为A，B，则|AB|＝. ∴直线x＝－2与渐近线y＝±x围成的三角形面积为S＝××2＝.11．(2019·平顶山期末调研)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，右焦点坐标为(2,0)，O为坐标原点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>0，试求实数k的取值范围．解：(1)由题意，＝，即a＝b，又c＝2，∴c2＝4＝3b2＋b2＝4b2，∴b2＝1，a2＝3，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.(2)∵直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点，∴方程组恒有两组不同的实数解，∴方程(1－3k)2x2－6kx－9＝0有两个不同实根，∴∴k20，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2>0，∴(1＋k2)·－＋k·＋2＝>0，可得k2>，∵k20，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则双曲线C的离心率为________．解析：如图，由题意，可设B(x0＞0)，∵F1(－c,0)，F2(c,0)，∴＝，＝.∵·＝0，∴(x0－c)(x0＋c)＋x＝0，∴ (a2＋b2)x＝c2a2，即c2x＝c2a2，∴x＝a2，即x0＝a，∴B(a，b)．又∵＝，∴A为F1B的中点，∴A.又∵A在渐近线y＝－x上，∴＝－·，∴2a＝c，即e＝＝2.答案：2