高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章　2.1 曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程课时跟踪检测一、选择题1．“点M在曲线x2＋y2＝1上”是“点M满足方程y＝－”的(  )A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵点M满足y＝－⇒M在x2＋y2＝1上，但M在x2＋y2＝1上y＝－.∴“点M在x2＋y2＝1上”是“点M满足y＝－”的必要不充分条件．答案：B2．方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是(  )A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线解析：方程(x2＋y2－2x)＝0等价于x＋y－3＝0 ①，或 ②，注意到②中圆x2＋y2－2x＝0在直线x＋y－3＝0的左下方，不满足x＋y＋3≥0，故②不表示任何图形．答案：D3．已知A(－1,0)，B(3,0)，△ABC的面积为4，则点C的轨迹是(  )A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线解析：∵|AB|＝4，S△ABC＝4，∴点C到直线AB的距离为2，∴点C的轨迹为平行于AB且到AB的距离为2的两条直线，∴点C的轨迹为两条直线．答案：D4．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(  ) 解析：f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项A；又f(1)＝e－>2，可排除选项C、D，故选B.答案：B5．已知lg(x－2)，lg|2y|，lg16x成等差数列，则动点P(x，y)的轨迹方程为(  )A．y2＝4x2－8x(x＞2)B．y2＝4x2＋8x(x＞2)C．y＝(x＞2)D．y＝－(x＞2)解析：∵lg(x－2)，lg|2y|，lg16x成等差数列，∴2lg|2y|＝lg(x－2)＋lg16x，∴4y2＝(x－2)·16x，得y2＝4x2－8x(x＞2)．答案：A6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是(  )A．x＋y＝4B．2x＋y＝4 C．x＋2y＝4D．x＋2y＝1解析：由＝(x，y)，＝(1,2)，得·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，即x＋2y＝4为所求的轨迹方程．答案：C二、填空题7．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．解析：在y＝|x|－1中，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝±1，∴曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为S＝×|1－(－1)|×|－1|＝1.答案：18．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，则实数k的取值范围是________．解析：由题意，得a2＋a2＋2a＋k＝0，即k＝－22＋≤.答案：9．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)到直线x－y－1＝0的距离d＝＝r.①又圆C过点A(4,1)，B(2,1)，∴(4－a)2＋(1－b)2＝r2，②(2－a)2＋(1－b)2＝r2.③由①②③得，a＝3，b＝0，r2＝2.∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝2三、解答题 10．已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2≠10，∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴2＋(－m－1)2＝10，即5m2＋8m－36＝0，解得m＝2或m＝－.∴m的值为2或－.11．在平面直角坐标系中，已知点F(，)及直线l：x＋y－＝0，曲线C1是满足下列两个条件的动点P(x，y)的轨迹：①|PF|＝d，其中d是P到直线l的距离；②求曲线C1的方程．解：∵|PF|＝＝，d＝，∴由①|PF|＝d，得x2＋y2－2(x＋y)＋4＝x2＋y2＋2xy－2(x＋y)＋2，即xy＝1.将xy＝1代入②，得x＞0，＞0，x＋＜，解得＜x＜2.所以曲线C1的方程为y＝.12．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程． 解：解法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以x2＋2＝(x≠0)．解法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(x≠0)．解法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得即又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，即x2＋2＝(x≠0)．13．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(  ) 解析：易知函数y＝－x4＋x2＋2是偶函数，且y＝－2＋≤，可排除A，B；又当x＝0时，y＝2，且当x＝±时，y取最大值，可排除C，故选D.答案：D