人教版高中数学选择性必修第二册培优练习第4章《数列》单元检测A（解析版）

数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。一、单选题1．已知数列，，，，…，则是这个数列的（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成，即可判断是第几项.【详解】可将数列改写为，，，，...，由此可归纳该数列的通项公式为，又，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.2．记等差数列的前项和为，若，，则（）A．180B．C．162D．【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前项和公式即可求出.【详解】，，, 解得，，，，.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.3．在数列中，，（，），则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.【详解】，，，可得数列是以3为周期的周期数列，.故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.4．等比数列的前n项和为，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】 根据，利用等比数列的性质得到,结合，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求.【详解】由于在等比数列中，由可得：，又因为，所以有：是方程的二实根，又，所以，故解得：，从而公比那么，故选：D．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题.5．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】在为等差数列中，当，，，时，．所以结合此性质可得：，再根据题意得到答案．【详解】解：在为等差数列中，当，，，时，．所以，又因为， 所以．故选：A．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．6．等比数列中（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.【详解】等比数列中，，当时，可得，及，故B正确；但和不能判断大小（正负不确定），故A错误；当时，则，可得，即，可得，由于不确定，不能确定的大小，故CD错误.故选：B.【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.7．函数的正数零点从小到大构成数列，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可. 【详解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正数零点从小到大构成数列为：故选：B.【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.8．已知函数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.【详解】由题可知：令又于是有因此所以当且仅当时取等号 本题正确选项：【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（）A．可能为等差数列B．可能为等比数列C．中一定存在连续三项构成等差数列D．中一定存在连续三项构成等比数列【答案】AC【解析】【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列，不可能是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．故选：AC【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．10．数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列 C．D．【答案】ABD【解析】【分析】根据的关系，求得，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.【点睛】本题考查利用关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题.11．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A．B． C．D．与均为的最大值【答案】BD【解析】【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.∵，，∴与均为的最大值，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.12．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（）A．m＝3B．C．D．【答案】ACD【解析】【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项， 再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，∴a67＝17×36，∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)（3n﹣1）•n（3n+1）（3n﹣1）故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知数列的通项公式是，那么达到最小值时n为________.【答案】22或23.【解析】【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n即可.【详解】，数列是递增数列.令，解得：，或，则可知达到最小值时n为22或23.故答案为：22或23.【点睛】本题考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题.14． 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405【解析】【详解】【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第次得到数列1，，，…，，4，并记，其中，.则的通项___________.【答案】【解析】【分析】先由，结合题意得到，再设求出，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据，可得， 设，即，可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，故，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.16．如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.【答案】【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，找到与相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于所以梯形的面积为的面积減去的面积，则可得即递推公式为故为等差数列，且公差，故，得 故答案为:【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在最大值，则求出最大值；若问题中的不存在最大值，请说明理由.问题：设是数列的前项和，且，__________，求的通项公式，并判断是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①，求出数列是首项为4，公比为的等比数列，求出通项公式和前项和，通过讨论的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列是首项为4，公差为的等差数列，求出通项公式和前项和，求出其最大值即可；若选③，求出，当时，，故不存在最大值.【详解】解：选①因为，，所以是首项为4.公比为的等比数列，所.当为奇数时，，因为随着的增加而减少，所以此时的最大值为. 当为偶数时，，且综上，存在最大值，且最大值为4.选②因为，.所以是首项为4，公差为的等差数列，所以.由得，所以存在最大值.且最大值为（或），因为，所以的最大值为50.选③因为，所以，所以，，…，则，又，所以.当时，，故不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题18．数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当时，，利用得到通项公式，验证得到答案.(2)根据的正负将和分为两种情况，和，分别计算得到答案.【详解】(1)当时，，当时，.综上所述.(2)当时，，所以，当时，，.综上所述.【点睛】本题考查了利用求通项公式，数列的绝对值和，忽略时的情况是容易犯的错误.19．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由变形得：，可得证明.（2）由（1）知：,∴,用裂项相消可求和,从而可证明.【详解】（1）由变形得：又，故∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.（2）由（1）知：∴∴∴【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题.20．设是公比大于1的等比数列，，且是，的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为 ，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1）设等比数列的公比为.依题意，有，将代入得，得.联立得两式两边相除消去得，解得或（舍去），所以，所以，，（2）因为所以，①②①②，得.所以，数列的前n项和.【点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.21．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式； （2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当时，，当时，，将代入上式验证显然适合，所以.（2）因为，，，，所以，所以.【点睛】本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】 (Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得② 由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.