人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)4.2.1《等差数列的概念》（解析版）

4.2.1等差数列的概念思维导图 常见考法考点一判断是否为等差数列【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（）A．1，4，7，10B． C．D．10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；B中，（常数），所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足（常数），所以是等差数列.故选：C.根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可【一隅三反】1．（2019·山西期末（理））若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:==与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（）①4，5，6，7，8，…②3，0，-3，0，-6，…③0，0，0，0，…④…A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】第一个数列是公差为的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为的等差数列.第四个是公差为的等差数列.故有个等差数列，所以选C.3．（2020·全国课时练习）已知数列，c为常数，那么下列说法正确的是（） A．若是等差数列时，不一定是等差数列B．若不是等差数列时，一定不是等差数列C．若是等差数列时，一定是等差数列D．若不是等差数列时，一定不是等差数列【答案】D【解析】当是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；对于数列：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；当c为0时，0，0，0，0是等差数列，但不是等差数列，C错．故选D．考点二求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（）A．9B．10C．11D．12（2）（2020·广西开学考试）在单调递增的等差数列中，若，，则（）A．B．C．0D．【答案】（1）A（2）C【解析】（1）因为，，所以，所以，解得故选：A（2）因为是等差数列，所以，，解得：，故选：C【一隅三反】1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列中，，，则（）A．2B．5C．11D．13【答案】A 【解析】因为，得①，又，得②，由①②得：，故.故选：A.2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列中，=2，，则的值为（）A．96B．98C．100D．102【答案】D【解析】因为=2，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：D3．（2020·广西开学考试）数列中，，，那么这个数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则.故选：B考点三等差中项【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知，则a,b的等差中项为（）A．B．C．D．（2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】（1）A（2）16【解析】（1），，的等差中项为，故选A. （2）由题可得：，故【一隅三反】1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列中，若，则___________．【答案】60；【解析】在等差数列中，，，解得，．故答案为：602．（2020·全国其他（理））已知数列为等差数列，若，且与的等差中项为6，则（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】设的公差为.数列为等差数列，，且与的等差中项为6，，解得，，．故选：D．3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=______．【答案】【解析】依题意可得，解得，故等差数列的前三项为，所以故答案为：考点四证明数列为等差数列【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【答案】(1)见证明；(2)a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【解析】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知，在数列中，，。（1）证明：是等差数列。（2）求的值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：当时，因为，所以，即。易知，所以，即。所以是首项为，公差为的等差数列。（2）由（1）知，所以，所以。2．（2019·全国课时练习）已知数列中，，数列满足 ．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项．【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且．【解析】（1）因为，，所以又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知，则．设，则在区间和上为减函数．所以当时，取得最小值为－1，当时，取得最大值为3．故数列中的最小项为且，最大项为且．3．（2020·全国高一课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)见证明；(2)an＝.【解析】(1)证明：，∴，即bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．(2)∵b1＝1，∴∴an＝. 考点五等差数列的单调性【例5】（2020·黑龙江道里·高二期末（理））设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在是等差数列，若，可得，所以数列是递增数列，即充分性成立；若数列是递增数列，则必有，即必要性成立，所以“”是“数列是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A．d>3B．dC．3≤dD．3