高一数学 2.1.3空间中直线与直线之间的位置关系教案

高一数学教案：2.1.3空间中直线与直线之间的位置关系一、素质教育目标（一）知识教学点1．公理4，即平行公理．2．等角定理及推论．（二）能力训练点1．利用联想的方法，掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理．2．充分利用构造的方法证明等角定理，为下一节两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性．3．通过本节课的学习，让学生认识到在平面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证明．二、教学重点、难点、疑点及解决方法三、课时安排1课时．四、教与学的过程设计（一）复习两条直线的位置关系（幻灯显示）师：空间中两条直线的位置关系有哪几种？生：三种：相交、平行、异面．异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．相交直线和平行直线也称为共面直线．师：异面直线的画法常用的有哪几种？ 生：三种．如图1－38，a与b都是异面直线．师：如何判定两条直线是异面直线？生：（1）间接证法：根据定义，一般用反证法．（2）直接证法：根据例题结论：过平面外一点与平面内一点的（二）平行公理师：在平面几何中，如图1－40，若a∥b，c∥b，则a与c平行吗？生：平行．师：也就是说，在平面中，若两条直线a、c都和第三条直线b平行，则a∥c．这个命题在空间中是否成立呢？ 师：实际上，在空间中，若a∥b，c∥b，则a∥c也成立．我们把这个结论作为一个公理，不必证明，可直接应用．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．如图1－41，三棱镜的三条棱，若AA′∥BB′，CC′∥BB′，则有AA′∥CC′．下面请同学们完成下列的例题，巩固应用平行公理．例已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的图1-41四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD师分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，另一组对边不平行；或证明一组对边平行且不相等．具体用哪一种方法，我们来分析一下题意：E、H分别是边AB、AD的中证明：如图1－42，连结BD．∵EH是△ABD的中位线， 根据公理4，EH∥FG，又∵FG＞EH，∴四边形EFGH是梯形．（三）等角定理师：平行公理不仅是今后论证平行问题的主要依据，也是证明等角定理的基础．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同．求证：∠BAC＝∠B′A′C′．师分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．证明：对于∠BAC和∠B′A′C′都在同一平面内的情况，在平面几何中已经证明．下面我们证明两个角不在同一平面内的情况．如图1－43，在AB、A′B′，AC、A′C′上分别取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结AA′、DD′、EE′，DE、D′E′．∵AB∥A′B′，AD＝A′D′，∴AA′DD′是平行四边形． 根据公理4，得：DD′∥EE′．又可得：DD′＝EE′∴四边形EE′D′D是平行四边形．∴ED＝E′D′，可得：△ADE≌△A′D′E′．∴∠BAC＝∠B′A′C′．师：若把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．从上面定理的证明可以知道：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用．下面请同学们完成练习．（四）练习（P．14练习1、2．）1．把一张长方形的纸对折两次，打开后如图1－44那样，说明为什么这些折痕是互相平行的？答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的．△ABC≌△A′B′C′． ∴四边形BB′C′C是平行四边形．∴BC＝B′C′．同理可证：AC＝A′C′，AB＝A′B′．∴△ABC≌△A′B′C′．（五）总结这节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论．平行公理是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础．等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了基础．这节课我们还明确了在平面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证后用．五、作业教材P．17习题二4、5、6、7、8．