新教材高中数学人教版必修第一册：5.1《任意角和弧度制》精品讲义(含解析)

5.1任意角和弧度制思维导图 常见考法考点一基本概念的辨析【例1】（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）下列说法正确的个数是（）①小于的角是锐角；②钝角一定大于第一象限角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角为.A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】对①，小于的角不是锐角，如不是锐角，故①错；对②，角是第一象限的角，大于任何钝角，故②错；对③，第二象限角中的角小于第一象限角中的角，故③错；对④，始边与终边重合的角的度数是，故④错．故选：A．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（  ）A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第四象限角一定是负角D．小于的角都是锐角【答案】B【解析】终边相同的角不一定相等，所以该选项错误；钝角一定是第二象限角，所以该选项正确；第四象限角不一定是负角，如是第四象限的角，但是不是负角，所以该选项错误；小于的角不都是锐角，如.所以该选项错误.故选B2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（）．A．终边与始边重合的角是零角B．90°～180°间的角不一定是钝角C．终边和始边都相同的两个角相等D．第二象限的角大于第一象限的角【答案】B【解析】终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故A错误； 90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确；终边和始边都相同的两个角相差，故C错误；120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误．故选：B3．（2020·陕西大荔·高一期末）下列说法正确的是（）A．第二象限角大于第一象限角B．不相等的角终边可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角D．终边在轴正半轴上的角是零角【答案】B【解析】A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误；B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；C选项，若是第二象限角，则，∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.故选：.考点二角度与弧度的转换【例2】（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.（1）；（2）；（3）1125°；（4）-225°.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】根据弧度制与角度制的互化公式，，可得：（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）把下列角度化成弧度： （1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．2．（2020·甘肃城关·高一期中）___________弧度,弧度=________.【答案】【解析】,,故答案为：；3．（2020·土默特左旗金山学校高一月考（理））下列转化结果错误的是（）A．化成弧度是B．化成度是C．化成弧度是D．化成度是【答案】C【解析】化成弧度是，A正确化成度是，B正确；是，C错误；化成度是，D正确.故选：C.考点三终边相同【例3】（2020·全国高一课时练习）（1）把－1480°写成的形式，其中；（2）在内找出与角终边相同的角.【答案】（1）；（2）72°，432°.【解析】（1）∵，而，且，∴.∴. （2）∵，∴终边与角相同的角为，当时，；当时，.∴在内与角终边相同的角为72°，432°.【一隅三反】1．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））已知角.（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；（2）在区间上找出与角终边相同的角.【答案】（1），是第三象限角；（2）．【解析】（1），是第三象限角，∴是第三象限角．（2）由得，因为，∴，对应角依次为．2．（2020·全国高一课时练习）把下列各角度化为弧度,并写成的角加上的形式.(1);(2);(3)【答案】(1);(2);(3).【解析】(1);(2);(3).3．（2019·陕西榆阳·榆林十二中高一月考）用弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内的角的集合. （1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1），，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为.（2），，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为.考点四象限的判断【例4】（2020·全国高一课时练习）已知下列各角：①②③④，其中第二象限角的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】D【解析】①表示由轴非负半轴绕原点顺时针旋转，落在第三象限；②表示由轴非负半轴绕原点顺时针旋转，落在第二象限；③表示由轴非负半轴绕原点逆时针旋转，落在轴非正半轴；④表示由轴非负半轴绕原点逆时针旋转，且，的终边和的终边相同，所以落在第二象限.故选：D 【一隅三反】1．（2020·周口市中英文学校高一期中）角的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为，角是第一象限角，所以角的终边所在的象限是第一象限．故选A.2．（2020·全国高二）若是第二象限角，则是(  )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】A【解析】为第二象限角，不妨取，则为第一象限角，故选A．3．（2020·全国高一课时练习）在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.（1）－150°；（2）650°；（3）－950°15′.【答案】（1），第三象限的角；（2），第四象限的角；（3），第二象限的角；【解析】（1），是第三象限的角，是第三象限的角；（2），是第四象限的角，是第四象限的角；（3），是第二象限的角，是第二象限的角．考点五扇形【例5】（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则，，， .（2）设扇形弧长为l，则，即，∴扇形面积，∴当时，S有最大值，此时，.因此当时，这个扇形面积最大.1.设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积当周长C为定值时可得面积当面积为定值时可得周长.【一隅三反】1．（2020·赤峰二中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（）A．B．C．D． 【答案】D【解析】设半径为,圆心到弦的距离为,则,所以弦长为,弧田面积为.故选:D.2．（2020·辽宁沈阳·高一期中）一个半径是的扇形，其周长为，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．1B．3C．D．【答案】A【解析】设扇形的弧长为，则，得，则扇形圆心角的弧度数为.故选：A.3．（2020·上海高一课时练习）在扇形中，半径等于r.（1）若弦的长等于半径，求扇形的弧长l；（2）若弦的长等于半径的倍，求扇形的面积S【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图所示：设， 若弦的长等于半径，则所以扇形的弧长（2）如图所示：若弦的长等于半径的倍，则，因为，所以，所以，所以扇形的面积为.