新教材高中数学人教版必修第一册：1.5《全称量词与存在量词》精品讲义(含解析)

1.5全称量词与存在量词（精讲）思维导图 常见考法考点一全称命题的判断【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是（)A．某些函数图象不过原点B．实数的平方为正数 C．方程有实数解D．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【答案】C【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（）A．至少有一个x使成立B．对任意的x都有成立C．对任意的x都有不成立D．存在x使成立E.矩形的对角线垂直平分【答案】BCE【解析】A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE考点二特称命题的判断【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. （1）∀x∈N，2x＋1是奇数；（2）存在一个x∈R，使＝0；（3）对任意实数a，|a|＞0；【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】（1）是全称量词命题.因为都是奇数，所以该命题是真命题.（2）是存在量词命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题.（3）是全称量词命题.因为，所以不都成立，因此，该命题是假命题.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B.2．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（）A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意，是奇数D．存在，是奇数【答案】C【解析】A、B、D中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C.考点三全称、特称命题真假的判断【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数图象恒过原点.【答案】见解析【解析】(1)即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题.判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.【一隅三反】1．（2020·高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x>1D．∀x，y∈R，x2＋y2>0【答案】BA、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．故选B．2．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是（)A．是全称量词命题，假命题B．是全称量词命题，真命题C．是存在量词命题，假命题D．是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.3．（2020·全国高一）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；(3)存在整数x，y，使得；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1).真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；(3)假命题；(4)，真命题.【解析】(1)，是真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；(3)假命题,因为必为偶数；(4).真命题,例如.考点四命题的否定【例4】（2020·全国高一课时练习）设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是（)A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A.全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D 【解析】对A，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由得，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A错误；对B，，，故B为假命题，其否定为真命题，故B错误；对C，，故C为假命题，其否定为真命题，故C错误；对D，存在或，使，故D为真命题，从而D的否定是假命题，故D正确.故选：D.2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题，，则命题的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“”的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.考点五全称特称求参数【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为()A．B． C．D．（3）（2019·高三月考（理））已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】（1）B（2）B（3）D【解析】（1），，∴要使恒成立，则恒成立，即，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B符合.故选：B.（2）由题得，原命题的否命题是“，使”，即，解得．选B.（3）由，知当时，由，知当时，由题意得：，即，解得综上，.故选：D1.含参数的一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题，也可以讨论不等式对应的二次函数的最值.2.求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称命题“∀x∈M，a>f(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或a