对数及对数运算

2.2.1对数与对数运算第一课时对数 1.庄子:一尺之棰，日取其半，万世不竭，问4天还有多少尺？取多少次还有0.03125尺？设取x次还有0.03125尺问题提出()x＝0.03125，求x=? 2.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么过几年人口数将达到18亿？13×(1＋1％)x＝18，求x=?即1.01x＝，求x=?设过x年人口数将达到18亿 已知底数和幂的值，求指数.3.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？1.01x＝，求x=?()x＝0.03125，求x=? 对数 知识探究（一）：对数的概念思考1:24＝2－2＝思考2:若2x＝16，则x＝若2x＝,则x＝若4x＝8，则x＝若2x＝3，则x＝164-2 若2x＝3，则x＝苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。 满足2x＝3的x的值，我们用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数”.思考3:若2x＝16，则x＝若2x＝,则x＝若4x＝8，则x＝若2x＝3，则x＝log23log216log2log48 思考5:满足,，（其中e=2.71828…）的x的值可分别怎样表示？X=log10NX=logeN x=log1.01思考4:前面问题中，,中的x的值可分别怎样表示？（）x＝0.03125x=log0.03125 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学三大成就。但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。 思考1:指数与对数有什么关系？知识探究（二）：对数与指数的关系指数与对数是可以等价且相互转化ax＝Nx＝logaN当a>0，且a≠1时 思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2），loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？设loga(-2)=x,则ax=-2而当a>0，且a≠1时,恒有ax>0设loga0=x,则ax=0 aNx指数式ax＝N指数的底数幂幂指数对数式x＝logaN对数的底数真数对数思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？ 思考4:根据对数定义，logal和logaa和logaan（a>0，a≠1）的值分别是多少？设loga1=x,则ax=1,所以x=0,得loga1=0设logaa=x,则ax=a,所以x=1,得logaa=1设logaan=x,则ax=an,所以x=n,得logaan=n 理论迁移例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)54＝625;(2)2－6＝;(3)()m＝5.73;(4)＝－４;(5)lg0.01=－２;(6)ln10＝2.303. 例2.求下列各式中ｘ的值：(1)log64x＝;(2)logx8＝6;(3)lg100=x;(4)－lne2＝ｘ. 例3计算（1）log81(2)log0.30.09 例4:（1）已知a>0，且a≠1时,N>0,证明alogaN=N 练习：(1)计算2log25=_____ (2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求实数x的值。 (3)已知loga3=m,logan=5,则a2m+n=_____ 第二课时对数的运算2.2.1对数与对数运算 问题提出1.对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？ 对数的运算 知识探究（一）：积与商的对数思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？思考1:求下列三个对数的值：log232，log24，log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？ 思考4:将log232－log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…，Mn均大于0，则loga(M1M2M3…Mn）＝？ 知识探究（二）:幂的对数思考1:log23与log281有什么关系？思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立吗？ 思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则等于什么？①两数积的对数，等于各数的对数的和；②两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数． 理论迁移例1用logax，logay，logaz表示下列各式：;(2). 例2求下列各式的值：(1)log2（47×25）；(2)lg；(3)log318-log32；(4). 例3计算： 小结作业:性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是—个降级运算.性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算.性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值. 作业：P68练习：1,2，3.P74习题2.2A组：3,4,5. 2.2.1对数与对数运算第三课时换底公式及对数运算的应用 问题提出.（1）（2）（3）（1）;（2）;（3）.1.对数运算有哪三条基本性质？2.对数运算有哪三个常用结论？ 3.同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？4.由得，但这只是一种表示，如何求得x的值？ 换底公式及对数运算的应用 知识探究（一）：对数的换底公式思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？思考1:假设，则，从而有.进一步可得到什么结论？ 思考4:我们把（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）叫做对数换底公式，该公式有什么特征？思考3:一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，那么与哪个对数相等？如何证明这个结论？ 思考6:换底公式在对数运算中有什么意义和作用？思考5:通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求的值？ 知识探究（二）：换底公式的变式思考1:与有什么关系？思考2:与有什么关系？思考3:可变形为什么？ 理论迁移例1计算：(1);(2)（log2125＋log425＋log85)·（log52＋log254＋log1258） 作业：P68练习：4.P74习题2.2A组：6，11，12. 2.2.1对数与对数运算第四课时对数运算习题课 知识回顾.1.指数与对数的换算:2.对数运算的三个常用结论: 3.对数运算的三条基本性质:4.对数换底公式: 理论迁移例1求下列各式的值:2-21 例2已知，求的值.例3设，已知,求的值. 例420世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；4.3 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.398 例5生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代.2193思考题:设函数已知且对一切恒成立，求的最小值. 2.2.2对数函数及其性质第一课时对数函数的概念与图象 问题提出1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式.2.（x>0）是函数吗？若是，这是什么类型的函数？ 对数函数的概念与图象 知识探究（一）：对数函数的概念思考1:在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的，则要漂洗几次？思考2:在关系式中，取对应的y的值存在吗？怎样计算？思考3:函数称为对数函数，一般地，什么叫对数函数？ 思考4:为什么在对数函数中要求a＞0，且a≠l？思考5:对数函数的定义域、值域分别是什么？思考6:函数与相同吗？为什么？ 思考1:研究对数函数的基本特性应先研究其图象.你有什么方法作对数函数的图象？知识探究（二）：对数函数的图象思考2:设点P(m，n)为对数函数图象上任意一点，则，从而有.由此可知点Q（n，m）在哪个函数的图象上？ 思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的位置关系？由此说明对数函数的图象与指数函数的图象有怎样的位置关系？PQxyo 思考4:一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致形状如何？yx011xy011思考5:函数与的图象分别如何？a>101时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？ y=ax(a>1)y=logax(a>1)图象定义域值域性质yx01yx01RR当x>0时y>1；当x