1.2.1几个常见函数的导数

第一章1.21.2.1几个常用函数的导数A级基础巩固一、选择题31．已知物体的运动方程为s＝t2＋t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(D)1917A．4B．41513C．4D．43313[解析]∵s′＝2t－t2，∴s′|t＝2＝4－4＝4，故选D．2．下列结论中不正确的是(B)A．若y＝x4，则y′|x＝2＝3212B．若y＝x，则y′|x＝2＝－215C．若y＝x，则y′|x＝1＝－2－5D．若y＝x，则y′|x＝－1＝－51113[解析]∵(x)′＝(x－2)′＝－2x－22∴y′|x＝2＝－8．故B错误．33．若f(x)＝x，则f′(－1)＝(D)1A．0B．－31C．3D．31[解析]∵f(x)＝x3，12∴f′(x)＝3x－3121∴f′(－1)＝3(－1)－3＝3，∴选D．4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(B)A．1条B．2条C．3条D．不确定[解析]f′(x)＝3x2，3∴3x2＝1，解得x＝±3， 故存在两条切线，选B．5．(2017·武汉期末)若f(x)＝x5，f′(x0)＝20，则x0的值为(B)A．B．±C．－2D．±2[解析]函数的导数f′(x)＝5x4，∵f′(x0)＝20，44∴5x0＝20，得x0＝4，则x0＝±，故选B．16．(2018·长春高二检测)曲线y＝3x3在x＝1处切线的倾斜角为(C)πA．1B．－4π5πC．4D．41[解析]∵y＝3x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，π∵0≤α0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是21．22[解析]∵y′＝2x，∴在点(ak，ak)的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的11交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝2ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21．三、解答题15．已知曲线C：y＝t－x经过点P(2，－1)，求(1)曲线在点P处的切线的斜率．(2)曲线在点P处的切线的方程．(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．1[解析](1)将P(2，－1)代入y＝t－x中得t＝1，1∴y＝1－x．∴y′＝错误!，Δy∴limΔx→0Δx＝错误!，∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝错误!＝1．(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0．(3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，y0111则切线斜率k＝x0＝错误!，由于y0＝1－x0，∴x0＝2，∴切点M(2，2)，切线斜率k＝4，切1线方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x．ax2＋x－16．(2018·全国卷Ⅲ文，21(1))已知函数f(x)＝ex．求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程．[解析]f′(x)＝错误!，f′(0)＝2．因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0．C级能力拔高求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离． 2[解析]解法1：设切点坐标为(x0，x0)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．1∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝2，11∴切点坐标为(2，4)，－2|2∴所求的最短距离d＝2＝8．解法2：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，x－y＋m＝0，由y＝x2得x2－x－m＝0．∵直线l与抛物线y＝x2相切，1∴判别式Δ＝1＋4m＝0，∴m＝－4，1∴直线l的方程为x－y－4＝0，|2由两平行线间的距离公式得所求最短距离d＝2＝8．解法3：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝|x－x2－2||x2－x＋2|22＝2＝2|x2－x＋2|212＝2(x－2)2＋8．122当x＝2时，d有最小值8，即所求的最短距离为8．