高中数学课件 椭圆的标准方程

椭圆及其标准方程(一) 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．1.椭圆的定义F1F2M 椭圆的定义应该包含几个要素？（1）在平面内（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a（3）定长2a﹥|F1F2|注：所成曲线是椭圆所成曲线是线段没有图形F1F2M 2.方程的推导以两定点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)。设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2的距离和为2a.yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)由椭圆的定义,可知：|MF1|+|MF2|=2a 由两点间的距离公式，可知：XYOF1F2(c,0)M(-c,0)(x,y)即：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式,可得：yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)两边同时除以a2(a2-c2)得：这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 3．椭圆标准方程分析我们把方程叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2－b2．如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2．方程是怎样呢？yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y) 由两点间的距离公式，可知：xy设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，又由椭圆的定义可得：|MF1|+|MF2|=2a yM4．椭圆标准方程分析xy只须将(1)方程的x、y互换即可得到这个也是椭圆的标准的方程x OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。 例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题精析543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a (2)已知椭圆的方程为：,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：__________，焦距等于_________;若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则∆F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2PF1F2|PF1|+|PF2|=2a 例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。 .例2.圆上任取一点P,过点p作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？点击此处观看动画演示yOPxDM 例3.如下图，设点A,B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。yOMxBA 图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2︱MF1︱+︱MF2︱=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.小结