机械能守恒定律专题一动能定理与功能关系功机械能功的定义：W=Flcosα平均功率：P=w/t=Fvcosα瞬时功率：P=Fvcosα动能：EK=重力势能：EK=mgh弹性势能：动能定理：W合=抛体运动单摆弹簧振子————功能关系：W其它=［知识结构］［知识点拨］1、动能定理：适用范围：适用于物体的直线运动和曲线运动；适用于恒力和变力做功；适用于阶段和全程；适用于各种性质的力。重点提示：①动能定理W＝EK2－EK1中，W指的是合外力所做的功，解决时不要漏掉某个力做的功；要特别注意力F做的功WF=Fl，其中的l是相对地而言的（或相对同一惯性参考系而言）；而Q热=Ff滑l相对，是指滑动摩擦力产生的热量，l相对是相对另一接触面的。②若物体运动过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以把全过程作为一整体考虑。③求各力做功时，要明确哪个力在哪一阶段上所做的功。④求合外力做功，可用W合=F合•l；或用W合=W1+W2+W3+…。思维误区警示：对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动量守恒的条件是系统的合外力为零）。同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。2、功能关系（1）重力做功与重力势能的关系：W=-ΔEp=EP1-Ep2=mgh1-mgh2（2）弹力做功与弹性势能的关系：W=-ΔEp=EP1-Ep2=特别提醒：弹力做功中弹力仅仅适用于弹簧、橡皮筋等等。（3）除重力和弹簧的弹力之外的力对物体做的总功与物体机械能的关系：W/=ΔE=E2-E1特别提醒：系统机械能的变化是由于“除重力和弹簧的弹力之外的力对物体所做的总功”3、各定理、定律对比适用条件表达式研究对象备注*动量守恒定律系统所受的合外力为零P总0=P总t一定是两个物体或两个以上物体组成的系统注意动量守恒和机械能守恒的条件的区别动能定理均适用W合=ΔEk=EK2-EK1W合为所有外力做的功，包括重力，注意会全程应用动能定理。功能关系能量有变化的情况W=ΔE=E2-E14、求各变化量（△Ek、△EP、△E机）的常用方法：常用方法求△EkΔEk=EK2-EK1ΔEk=W合通过求合外力做功求动能的变化量（更常用）11/11
求△EP△EP=EP2-EP1ΔEP=WG=mgΔh通过求重力做功求ΔEP；当WG做正功时，EP减小；当WG做负功时，EP增加(常用）求△E机△E机=E2-E1ΔE机=WG其它通过求除重力以外的其它力做功求机械能的变化量（更常用）5、求力F做功几种方法：备注1、W=FScosα(F为恒力)只能求恒力F做功2、W=Pt(功率P恒定)可求变力做功，也可求恒力做功3、W合=ΔEk=EK2-EK1可求变力做功（最常用），可求恒力做功4、求变力做功的方法1、用动能定理2、转换研究对象6、重力做功的特点：WG=EP1-EP2=mgΔh重力做功与路径无关重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加注意：ΔEP和重力做功与参考平面的选择无关（但重力势能与参考平面的选择有关）7、功率： 1、平均功率：2、瞬时功率：P=Fvcosα机车恒定功率起动问题［专题探究］（一）用动能定理简解多过程问题案例1、2009年是中华人民共和国成立60周年，某学校物理兴趣小组用空心透明塑料管制作了如图所示的竖直“60”造型。两个“0”字型的半径均为R。让一质量为m、直径略小于管径的光滑小球从入口A处射入，依次经过图中的B、C、D三点，最后从E点飞出。已知BC是“0”字型的一条直径，D点是该造型最左侧的一点，当地的重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在整个运动过程中：A.在B、C、D三点中，距A点位移最大的是B点，路程最大的是D点B.若小球在C点对管壁的作用力恰好为零，则在B点小球对管壁的压力大小为6mgC.在B、C、D三点中，瞬时速率最大的是D点，最小的是C点D.小球从E点飞出后将做匀变速运动正确答案：BD变式训练：αmPv0图1变式1、如图1所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为l0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？图2变式2：如图2所示，和为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑圆弧面的两端相切，圆弧所对圆心角为，半径，整个装置处在竖直平面上。一个物体在离弧底的高度处以速率沿斜面向下运动，若物体与斜面间的动摩擦因数，试求物体在斜面（不包括圆弧部分）上能走多长的路程？11/11
（二）用动能定理巧求动摩擦因数ABChx1比1x2α图3案例2、如图3所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。m1m1m1m1图4m1m2m3m4v1v3v2v4变式训练：变式1、已知物体与轨道之间的滑动摩擦因数相同，轨道两端的宽度相等，且轨道两端位于同一水平面上。问质量不同的物体，以相同的初速度沿着如图4所示的不同运行轨道运动时，末速度的大小关系（）A．B．C．D．正确答案：CABCDE图5变式2、如图5所示，在竖直平面内的AC两点间有两点间有三条轨道。一个质量为m的质点从顶点A由静止开始先后沿三条不同的轨道下滑，三条轨道的摩擦因数都是μ，转折点能量损耗不计，由该物体分别沿着AC、AEC、ADC到达C点时的速度大小正确的说法是（）A．物体沿AC轨道下滑到达C点速度最大B．物体沿AEC轨道下滑到达C点速度最大C．物体沿ADC轨道下滑到达C点速度最大D．物体沿三条轨道下滑到达C点速度相同正确答案为CABθh1图6h2变式3、一木块从左侧斜面上A点由静止开始下滑，经过水平面最后上升到右侧的斜面B处。不计接触处的碰撞能量损失，接触面材料相同，如图所示6所示。已知AB与水平面的夹角为θ，求摩擦摩擦因数μ。（三）用动能定理解决变力做功的大小案例3、质量为小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为．．．．正确选项为变式训练：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）Δx=x2-x1=0.41cm11/11
（四）用功能原理求变力做功h1h2图8案例4、两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图8所示，已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功是多少？WG=变式训练：变式1、一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的.在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图10所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径ｒ＝0.100m，井的半径R＝2ｒ，水的密度ρ＝1.00×103kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa.求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g取10m/s2）变式2、如图所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s2）求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值（2）此过程中力F所做的功图12（1）F1=45NF2=258N（2）变式3、如图12所示，物体以100J的初动能从斜面底端向上运动，中途第一次通过斜面上M点时，其动能减少了80J，机械能减少了32J。则当物体沿斜面重新返回底端时，其动能为J。20J（五）用动能定理解决分运动问题BAPmQHH图13例5、一辆汽车通过如图13所示中的细绳提起井中质量为m的物体，开始时，车在A点，绳子已经拉紧且是竖直，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦不计，滑轮尺寸不计。11/11
变式训练：变式1、如图15所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m，物体A 在水平面上。A由静止释放，当B沿竖直方向下落h时，测得A沿水平面运动的速度为v，这时细绳与水平面的夹角为θ，试分析计算B下降h过程中，地面摩擦力对A做的功？（滑轮的质量和摩擦均不计）图15Wf＝mgh－Mv2－mv2cos2θ图17BAr变式2、如图17所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度。（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）（1）vA=vB=（2）Hm=（六）用动能定理解决电场问题OBθEA图19例6、在水平向右的匀强电场中，有一质量为m．带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球在B点静止时细线与竖直方向夹角为θ。现给小球一个垂直悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。试问（1）小球在做圆周运动的过程中，在那一个位置的速度最小？速度最小值是多少？（2）小球在B点的初速度是多大？（1）（2）变式训练：ABE图21半径为r的绝缘光滑圆环，固定在竖直平面内，环上套有一质量为m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图，珠子所受静电力为重力的3/4倍。将珠子从环上的最底位置A点静止释放，则珠子所能获得的最大动能为___________。11/11
（七）用动能定理解决磁场问题例7、如图23所示，光滑斜面固定在水平面上，斜面倾角为θ，磁感强度为B的匀强磁场垂直纸面向里，有一质量为m，带电量为q的滑块，从某一时刻起，在斜面上由静止开始滑下，设斜面足够长。求：θ图23（1）滑块在斜面上运动的最大速度（2）滑块在斜面上运动的最远路程（1）（2）AC设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场如图所示，已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是：A．这离子必带正电荷B．A点和B点位于同一高度C．离子在C点时速度最大D．离子到达B点时，将沿原曲线返回A点B变式训练：设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场如图25所示，已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是：A．这离子必带正电荷B．A点和B点位于同一高度C．离子在C点时速度最大D．离子到达B点时，将沿原曲线返回A点正确答案：ABC（八）用动能定理解决电磁感应问题图26例8、如图26所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动。求：（1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度v2，(2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1，（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q（1）（2），（3）。变式训练：如图27所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。（1）求初始时刻导体棒受到的安培力。（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能力Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q 1分别为多少？（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？图2711/11
（1）安培力方向：水平向左（2）（3）图26PQ误区1：误认为力对物体做功的位移是“相对位移”，忽视功的定义。典型案例1、小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上(如图所示)，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力。A．垂直于接触面，做功为零；B．垂直于接触面，做功不为零；C．不垂直于接触面，做功不为零；D．不垂于接触面，做功不为零。B选项正确。误区二：误认为作用力与反作用力所做功的大小相等，符号相反，忽视做功的条件。ABF典型案例2、如图所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B放在水平地面上，在拉力F的作用下，使物体A做匀加速直线运动．当物体A相对于地面运动了0.1m时，B对A的摩擦力做的功为10J，则A对B的摩擦力做功的大小可能是：A．0B．-10JC．小于10JD．无法确定故选ABC．误区三、误认为任何变力做功，其作用力都能用求解，忽视平均力的研究方法。典型案例3、静置在光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为()A．0B．C．D．正确选项为C、D。误区四、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化，忽视功能关系的概念。典型案例4、如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。W弹簧=-（mgh+）=-125J误区五、误认为功率的变化与速率的变化成正比，忽视功率的瞬时性。典型案例5、起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图9所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图10中的哪一个？B选项正确。误区六、误认为两物体运动速度相等时，系统的机械能最大，忽视功能关系。如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。www.ks5u.com在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有（）A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C．当A、B的速度相等时，系统的机械能最大D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大正确答案：BCD［专题专练］1．某科技创新小组设计制作出一种全自动升降机模型，用电动机通过钢丝绳拉着升降机由静止开始匀加速上升，已知升降机的质量为m，当升降机的速度为v1时，电动机的有用功率达到最大值p，以后电动机保持该功率不变，直到升降机以最大速度v2匀速上升为止，整个过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g。有关此过程下列说法正确的是（）11/11
A．钢丝绳的最大拉力为www.ks5u.comB．升降机的最大速度C．钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功D．升降机速度由v1增大至v2过程中，钢丝绳的拉力不断减小2．物体在水平拉力和恒定摩擦力的作用下，在水平面上沿直线运动的关系如图所示，已知第1秒内合外力对物体做功为W1，摩擦力对物体做功为W2，则（）www.ks5u.comA．从第1秒末到第3秒合外力做功为4W1，摩擦力做功为4W2www.ks5u.comB．从第4秒末到第6秒合外力做功为0，摩擦力做功也为0C．从第5秒末到第7秒合外力做功为W1，摩擦力做功为2W2D．从第3秒末到第4秒合外力做功为-0.75W1,摩擦力做功为1.5W2www.ks5u.com3．物体m从倾角为α的固定的光滑斜面由静止开始下滑，斜面高为h，当物体滑至斜面底端，重力做功的瞬时功率为( )抛www.ks5u.com4．如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中()A．重力先做正功，后做负功B．弹簧弹力没有做正功C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大5.一物块以150J的初动能由地面沿一个很长的斜面往上滑行，当它到达最高点时，重力势能等于120J，而后物块开始沿斜面往下滑行，设物块与斜面的动摩擦因www.ks5u.com数处处相同，则当物块下滑到离地高度等于最高度的三分之一时(取斜面最低点为重力势能为零)，物块的()A．机械能等于110JB．机械能等于100J C．动能等于60JD．动能等于30J6．滑块以速率靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速度变为v2，且v2
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