平面向量问题的类型与解法
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平面向量问题的类型与解法

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时间:2020-04-25

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资料简介
平面向量问题的类型与解法 大家知道,平面向量问题是近几年高考的热点问题之一,每年高考必有一个五分小题,有时 在大题中也会涉及到平面向量的内容。从题型上,以选择题或填空题为主,难度系数为低档 或中档,但近几年有向高档题目发展的趋势。纵观近几年高考试题,归结起来平面向量问题 主要包括:①平面向量几何运算问题;②平面向量坐标运算问题;③平面向量数量积的问题 等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也各不相同。那么在实际解答 平面向量问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地给予解答呢?下面通过 典型例题的详细解析,来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题: 1、在 ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则 =( ) A - B - C + D + 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法;②向量共线的充分必要条件;③三角形 一边上中线的定义与性质。 【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质,结合问题条件求出 向量 关于向量 , 的式子就可得出选项。 A 【详细解答】如图, ABC 中,AD 为 BC 边上的 中线, = - , = - = - E = + , E 为 AD 的中点, B D C = = + , = - = - - = - , A 正确, 选 A。 2、如图,在正方形 ABCD 中,F 是边 CD 上靠近 D 点的三等分点, A D 连接 BF 交 AC 于点 E,若 =m +n (m,n R),则 m+n E F 的值是( ) A - B C - D B C 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法;②向量共线的充分必要条件;③正方形 的定义与性质;④方程组的定义与解法。 【解题思路】运用正方形的性质和向量几何运算的基本方法,结合问题条件把 表示成 , 的式子,与已知式子比较得到关于 m,n 的方程组,求解方程组得出 m,n 的值 就可求出 m+n 的值,从而得出选项。 【详细解答】如图, F 是边 CD 上靠近 D 点的三等分点,ABCD 是正方形, = ∆ EB 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC EB AB AC  ∆ BC AC AB ∴ AD AC DC AC 1 2 BC 1 2 AC 1 2 AB  ∴ AE 1 2 AD 1 4 AC 1 4 AB ⇒ EB AB AE AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AB 1 4 AC ⇒ ∴ BE AB AC ∈ 1 5 1 5 2 5 2 5 BE AB AC  ∴ BC- , = = , = - = - - = - , A,E,C 三点共线, 存在实数 ,使 = , = - = - - =(1- ) - , B,E,F 三点共线, 存在实数 t,使 =t , (1- ) - =t( - ), (1- -t) +( t-1) =0, 1- -t=0, 且 t-1=0, = ,t= , = - , =m +n , m=-1,n= , m+n=-1+ =- , C 正确, 选 C。 3、如图,在 ABC 中,已知 =- ,P 为 AD 上一点,且满足 =m + , 则实数 m 的值为( ) A B C D 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法;②向量共线的充分必要条件;③方程组 的定义与解法。 【解题思路】运用向量几何运算的基本方法,结合问题条件把 表示成 , 的式子, 与已知式子比较得到关于 m,t 的方程组,求解方程组得出 m,t 的值就可求出 m 的值,从 而得出选项。 【详细解答】如图, =- =- , A = - , = - , A,P, P D 三点共线, 存在实数 t,使 =t , B D C - =t( - ), =(1-t) +t = (1-t) + t , =m + , (1-t)= ,且 m=t, t=m= , B 正确, 选 B。 4、已知 P 是 ABC 内一点, =2( + ),记 PBC 的面积为 , ABC 的面积 为 ,则 = ; 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法;②向量共线的充分必要条件;③三角形 面积计算的基本方法;④相似三角形的定义与性质;⑤三角形一边上中线的定义与性质。 AC AB FC 2 3 DC 2 3 AB ⇒ BF BC FC AC AB 2 3 AB AC 5 3 AB  ∴ λ EC λ AC ⇒ BE BC EC AC AB λ AC λ AC AB  ∴ BE BF ⇒ λ AC AB AC 5 3 AB ∴ λ AC 5 3 AB ⇒ λ 5 3 ∴ λ 2 5 3 5 ⇒ BE 3 5 AC AB  BE AB AC ∴ 3 5 ⇒ 3 5 2 5 ⇒ ∴ ∆ BD 1 2 CD CP CA 4 9 CB 2 3 1 3 5 9 1 2 CP CA CB  BD 1 2 CD 1 3 CB ∴ AD CD CA PD CD CP  ∴ PD AD ⇒ CD CP CD CA ∴ CP CD CA 2 3 CB CA  CP CA 4 9 CB ∴ 2 3 4 9 ⇒ 1 3 ⇒ ∴ ∆ . AB PB PC ∆ 1S ∆ 2S 1 2 S S【解题思路】运用向量几何运算的基本方法,结合问题条件可知 + 是 ,得到 + 是连接 AC,BC 中点所在线段的向量,从而推出点 P 是连接 AC,BC 中点所在线 段的中点,利用三角形一边上中线的性质和相似三角形的性质求出 就可得出选项。 【详细解答】如图,分别取 AC,BC 的中点 D,E, A 连接 DE,取 DE 的中点 P,连接 CP,延长 PE 到 F, 使 PE=EF,连接 BF,CF, E 是 BC 的中点, D BE=CE, 四边形 BPCF 是平行四边形, B E P C = + , P 是 DE 的中点,PE=EF, F = = , 点 P 是满足条件的点, = , CDE CAB, = , CP 是 CDE 边 DE 上的中线, = = = ,同理可得 = , = = + = + = , = 。 5、(1)已知 G 为 ABC 的重心,过点 G 的直线与边 AB,AC 分别相交于 P,Q,若 = ,则当 ABC 与 APQ 的面积之比为 时,实数 的值为 ; (2)已知 G 为 ABC 的重心,过点 G 的直线与边 AB,AC 分别相交于 P,Q,若 = ,则 ABC 与 APQ 的面积之比为 。 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法;②向量共线的充分必要条件;③三角形 重心的定义与性质;④三角形面积计算的基本方法。 【解题思路】(1)根据三角形重心的性质,求出 , ,由 P、G、Q 三点共线,求出 的值(用含 的式子表示),利用三角形面积计算的基本方法把 , 表示出来,结 合 = 就可求出 的值;(2)设 =u,根据三角形重心的性质,求出 , ,由 P、G、Q 三点共线求出 u 的值,利用三角形面积计算的基本方法把 , PB PC 1 2 . AB PB PC 1 2 S S  ∴ ⇒ ∴ PF PB PC  ∴ DE PF 1 2 . AB ∴  CD CA 1 2 ∆  ∴ CDE CAB S S ∆ ∆ 1 4  ∆ ∴ CPES∆ 1 2 CDES∆ ⇒ CPES∆ 1 8 CABS∆ 1 8 2S BPES∆ 1 8 2S  1S BPCS∆ BPES∆ CPES∆ 1 8 2S 1 8 2S 1 4 2S ∴ 1 2 S S 1 4 ∆ AP λ AB ∆ ∆ 20 9 λ ∆ AP 3 5 AB ∆ ∆ PQ PG AQ AC   λ ABCS∆ APQS∆ ABC APQ S S ∆ ∆ 20 9 λ AQ AC   PQ PG ABCS∆ APQS∆表示出来,从而求出 的值。 【详细解答】(1)如图,连接 CG 并延长交边 AB 于点 D,连接 BG 并延长交边 AC 于点 E, G 是 ABC 的重心, = + =- + , A = =- + , = - =- D E + +(1- ) =( - ) + ,设 P G Q =t, = + =- +t ,P、G、Q B C 三点共线, 存在实数 u,使 =u - +t =u[( - ) + ], (- + u- u) +(t- u) =0 - +u - u=0, u= , t- u=0, t= , = | || |sin A, = | || |sin A= | || |sin A, = = , 9( )=20 , 20 -27 +9=0, = 或 = ;(2)如图,连接 CG 并延长交边 AB 于点 D,连接 BG 并延长交边 AC 于点 E,设 =u, G 是 ABC 的重心, = + =- + , = = - + , = - =- + + =- + , = = + =- +t , P、G、Q 三点共线, 存在实数 t,使 =t - +t =t(- + ), (- + t) +(u- t) =0 - + t=0,且 u- t=0, t= ,u= , = | || |sin A, = | || |sin A= | || |sin A, = = 。 ABC APQ S S ∆ ∆  ∆ ∴ BE BA AE AB 1 2 AC BG 2 3 BE 2 3 AB 1 3 AC ⇒ PG BG BP 2 3 AB 1 3 AC λ AB 1 3 λ AB 1 3 AC AQ AC    PQ PA AQ λ AB AC ∴ PQ PG ⇒ λ AB AC 1 3 λ AB 1 3 AC ∴ λ λ 1 3 AB 1 3 AC ⇒ λ λ 1 3 ∴ 3 3 1 λ λ − 1 3 3 1 λ λ −  ABCS∆ 1 2 AB AC ∠ APQS∆ 1 2 AP AQ ∠ 1 2 × 2 3 1 λ λ − AB AC ∠ ABC APQ S S ∆ ∆ 2 3 1λ λ − 20 9 ∴ 3 1λ − 2λ ⇒ 2λ λ ∴ λ 3 5 λ 3 4 AQ AC    ∆ ∴ BE BA AE AB 1 2 AC BG 2 3 BE 2 3 AB 1 3 AC ⇒ PG BG BP 2 3 AB 1 3 AC 2 5 AB 4 15 AB 1 3 AC PQ PA AQ 3 5 AB AC  ∴ PQ PG ⇒ 3 5 AB AC 4 15 AB 1 3 AC ∴ 3 5 4 15 AB 1 3 AC ⇒ 3 5 4 15 1 3 ∴ 9 4 3 4  ABCS∆ 1 2 AB AC ∠ APQS∆ 1 2 AP AQ ∠ 1 2 × 3 5 × 3 4 AB AC ∠ ∴ ABC APQ S S ∆ ∆ 5 3 × 4 3 20 9『思考问题 1』 (1)【典例 1】是向量几何运算的问题,解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算 的基本方法,能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则,一般来说,两个向量具有公共的 始点时,选用平行四边形法则;两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时, 选用三角形法则; (2)用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领,在实际解答问题 时,应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去; (3)注意待定系数法和方程思想的运用,在实际解答问题时,经常运用向量共线的充分必 要条件和平面向量基本定理建立方程(或方程组),再通过解方程(或方程组)达到解答问 题的目的。 〔练习 1〕解答下列问题: 1、已知 P 为 ABC 所在平面内一点, + + =0,| |=| |=| |=2,则 PBC 的面积等于( ) A 3 B 2 C D 4 2、设 D 为 ABC 所在平面内一点, =3 ,则( )(2015 全国高考新课标 I 卷) A =- + B = - C = + D = - 3、设 P 是 所在平面内一点, + =2 ,则( ) A + =0 B + =0 C + =0 D + + =0 4、已知点 O、N、P 在 所在的平面内,且| |=| |=| |, + + =0, . = . = . ,则点 O、N、P 依次是 的( ) A 重心、外心、垂心 B 重心、外心、内心 C 外心、重心、垂心 D 外心、重心、内心 5、如图,在平行六面体 ABCD— 中,E 为 B 与 C 的交点,记 = , = , = ,则 =( ) A + + B + + C + + D - - 6、已知正方形 ABCD 的边长为 2,对角线 AC,BD 相交于点 O,动点 P 满足| |=1,若 =m +n ,其中 m,n R,则 的最大值为 ; 7、在 ABC 中,点 M、N 满足 =2 , = ,若 =x +y ,则 x= ,y= 。 ∆ . AB PB PC PB PC . AB ∆ 3 3 3 3 ∆ BC CD AD 1 3 AB 4 3 AC AD 1 3 AB 4 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC ABC∆ BC BA BP PA PB PC PA PB PC PA PB PC ABC∆ OA OB OC NA NB NC PA PB PB PC PC PA ABC∆ 1A 1B 1C 1D 1C 1B AB a AD b 1AA c AE a b 1 2 c a 1 2 b c a 1 2 b 1 2 c a 1 2 b 1 2 c OP AP . AB AD ∈ 2 1 2 2 m n + + ∆ AM MC BN NC MN AB AC【典例 2】解答下列问题: 1、已知平面向量 =(1,2), =(1,-1),则 2 + =( ) A(3,0) B(2,1) C (-3,3)  D  (3,3) 【解析】 【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法;②平面向量坐标的定义与表示方法。 【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法,结合问题条件通过运算就可得出选 项。 【详细解答】 平面向量 =(1,2), =(1,-1), 2 + =(2,4)+(1,-1)= (3,3), D 正确, 选 D。 2、已知向量 =( ,1), =(-3, ),则向量 在向量 方向上的投影为( ) A - B C -1 D 1 【解析】 【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法;②平面向量坐标的定义与表示方法;③ 向量数量积的定义与性质;④向量数量积坐标运算的基本方法。 【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法,结合问题条件通过运算求出两个向 量的数量积与向量 的模,利用向量数量积的性质求出向量 在向量 方向上的投影就可 得出选项。 【详细解答】 向量 =( ,1), =(-3, ), . =-3 +1 =-3 + =-2 ,| |= =2, . =| |.| |cos< , >, | |cos< , >= = =- , A 正确, 选 A。 3、已知平面向量 =(m+1,-2), =(-3,3),若 // ,则实数 m 的值为( ) A 0 B -3 C 1 D -1 【解析】 【知识点】①平面向量平行的定义与性质;②平面向量坐标的定义与表示方法;③方程的定 义与解法。 【解题思路】运用平面向量平行的性质,结合问题条件得到关于实数 m 的方程,求解方程 求出实数 m 的值就可得出选项。 【详细解答】 平面向量 =(m+1,-2), =(-3,3),且 // , = , m =1, C 正确, 选 C。 4、已知向量 =(1,2), =(2,-1), =(1, ),若 //(2 + ),则 = 。 a b a b  a b ∴ a b ⇒ ∴ a 3 b 3 b a 3 3 a b a  a 3 b 3 ∴ a b × 3 × 3 3 3 3 a 3 1+  a b a b a b ∴ b a b . | | a b a   2 3 2 − 3 ⇒ ∴ a b a b  a b a b ∴ 1 3 m + − 2 3 − ⇒ ⇒ ∴ a b c λ c a b λ【解析】 【知识点】①平面向量平行的定义与性质;②平面向量坐标的定义与表示方法;③平面向量 坐标运算的法则和基本方法;④方程的定义与解法。 【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则和基本方法,结合问题条件求出(2 + ),根据 斜率平行的性质得到关于实数 的方程,求解方程就可求出实数 的值。 【详细解答】 =(1,2), =(2,-1), 2 + =(2,4)+(2,-1)=(4,3), =(1, ),且 //(2 + ), = , = 。 『思考问题 2』 (1)【典例 2】是向量坐标运算的问题,解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义,掌握 向量坐标运算的法则和基本方法; (2)向量的坐标运算主要包括:①向量坐标的加法运算;②向量坐标的减法运算,③向量 坐标的数乘运算;这三种运算都可以直接运用运算法则进行,同时注意坐标运算性质和运算 律的灵活运用,对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。 〔练习 2〕解答下列问题: 1、已知点 A(2,-2),B(4,3),向量 =(2k-1,7),若 // ,则 k 的值为( ) A - B C - D 2、已知 , 是两个不共线的向量, = + , = + ( , ∈R),那么 A, B,C 三点共线的充要条件是( ) A + =2 B - =1 C =-1 D =1 3、若向量 =(x+3, -3x-4)与 相等,已知 A(1,2),B(8,2),则 x 的值为( ) A -1 B -1 或 4 C 4 D 1 或-4 4、已知向量 =(2,1), =(3,4), =(k,2),若(3 - )// ,则实数 k 的值为( ) A -8 B -6 C -1 D 6 5、在平面直角坐标系 XOY 中,已知点 P 在曲线 :y= (x 0)上,曲线 与 X 轴相 交于点 B,与 Y 轴相交于点 C,点 D(2,1)和点 E(1,0)满足 = + ( , R),则 + 的最小值为 。 【典例 2】解答下列问题: 1、已知非零向量 , 满足| |=2| |,且( - ) ,则 与 的夹角为( ) A B C D a b λ λ  a b ∴ a b  c λ c a b ∴ 1 4 3 λ ⇒ λ 3 4 a a AB 9 10 9 10 19 10 19 10 a b AB λ a b AC a µ b λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ a 2x AB a b c a b c Γ 2 1 4 x− ≥ Γ OD λ CE µ OP λ µ ∈ λ µ a b a b a b ⊥ b a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质;②平面向量数量积几何运算法则和基本方法。 【解题思路】运用平面向量数量积的性质和运算的基本方法,结合问题条件得到含 与 的 夹角余弦的方程,求解方程得出 与 夹角的余弦值,从而求出 与 的夹角。 【详细解答】 非零向量 , 满足| |=2| |,且( - ) , ( - ). = . - . =| |.| |cos< , >-| | =2| | cos< , >-| | =| | (2 cos< , >-1)=0, | | 0, 2 cos< , >-1=0, cos< , >= , < , >= , B 正确, 选 B。 2、(1)已知 =(2,3), =(3,t),| |=1,则 . =( ) A -3 B -2 C 2 D 3 (2)已知向量 =(2,3), =(3,2),则| - |=( ) A B 2 C 5 D 50 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质;②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法; ③向量坐标运算的法则和基本方法;④向量模的定义与求法。 【解题思路】(1)运用向量坐标运算的法则和基本方法,结合问题条件求出向量 ,从而 求出 t 的值,根据平面向量数量积的性质,平面向量数量积坐标运算法则和基本方法,结合 问题条件通过运算求出 . 就可得出选项;(2)运用向量坐标运算的法则和基本方法, 结合问题条件求出 - ,利用向量模的求法求出| - |就可得出选项。 【详细解答】(1) =(2,3), =(3,t), = - =(3,t)-(2,3) =(1,t-3), | |= =1, =1, t=3, =(1,0), . =2 1+3 0=2, ,C 正确, 选 C;(2) 向量 =(2,3), =(3,2), - =(2,3)-(3,2)=(-1,1), | - |= = , A 正确, 选 A。 3、(1)在平面直角坐标系 XOY 中,已知点 A(0,-2),N(1,0),若动点 M 满足 = ,则 . 的取值范围是( ) A [0,2] B [0,2 ] C [-2,2] D [-2 ,2 ] a b a b a b  a b a b a b ⊥ b ∴ a b b a b b b a b a b b 2 b 2 a b b 2 b 2 a b  b 2 ≠ ∴ a b ⇒ a b 1 2 ∴ a b 3 π ⇒ ∴ AB AC BC AB BC a b a b 2 2 BC AB BC a b a b  AB AC ∴ BC AC AB  BC 21 ( 3)t+ − ∴ 21 ( 3)t+ − ⇒ ∴ BC ⇒ AB BC × × ⇒ ∴  a b ∴ a b ⇒ a b 1 1+ 2 ⇒ ∴ | | | | MA MO 2 OM ON 2 2 2(2)在平面直角坐标系 XOY 中,点 A(1,0),直线 l:y=k(x-1)+2,设点 A 关于直线 l 的 对称点为 B,则 . 的取值范围是 。 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质;②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法; ③向量坐标运算的法则和基本方法;④已知点关于已知直线对称点的定义与求法;⑤基本不 等式及运用。 【解题思路】(1)设 M(x,y),运用向量坐标运算的法则和基本方法,结合问题条件得到 关于 x,y 的等式,从而把 y 表示成关于 x 的式子,根据平面向量数量积坐标运算法则和基 本方法,结合问题条件通过运算求出 . 关于 x 的函数,通过求函数值域的方法求出 . 的取值范围就可得出选项;(2)设 B(x,y),运用已知点关于已知直线对称点 的求法,结合问题条件求出点 B 的坐标,根据向量坐标运算的法则和基本方法,结合问题 条件求出向量 , ,利用面向量数量积坐标运算法则和基本方法得到 . 关于 k 的函数,通过求函数值域的方法就可求出 . 的取值范围。 【详细解答】(1)设 M(x,y), = = , =2 ( ), =- +4y+4, =(x,y), =(1,0), . =x+0=x = = , -2 . 2 , D 正确, 选 D;(2)设 B(x,y), 点 A(1,0),关于直线 l:y=k(x-1)+2 的对称点为 B, =k( -1) +2,且 =- , x= ,y= , B( , ), =(1, 0), =( , ), . = +0= =1+ =1+ , ①若 k>0 , 2 =2 , , 1+ 1+ = ; ② 若 k= ; (2)已知向量 =(2,2), =(-3,6),则 cos< , >= 。 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质;②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法; ③单位向量的定义与性质。 【解题思路】(1)运用单位向量的性质,向量数量积运算的法则和基本方法,结合问题条件 求出 . 的值,利用平面向量数量积几何运算公式,结合问题条件通过运算就可求出 cos< , >的值;(2)运用向量数量积坐标运算的法则和基本方法,结合问题条件求出 . ,| |,| |的值,根据向量数量积几何运算公式,结合问题条件通过运算就可求出 cos< , > 的值。 【详细解答】(1) , 为单位向量, . =0, =2 - , | |=| |=1, . = . ( 2 - ) =2 . - . =2| | -0=2 , | |=|2 - |= = =3, . =| |.| | cos< , >, cos< , >= = = ; (2) 向量 =(2,2), =(-3,6), . =2 (-3)+2 6=-6+12=6, | |= =2 , | |= =3 , . =| |.| | cos< , > , cos< , >= = = 。 5、已知向量 =(-4,3), =(6,m),且 ,则 m= ; 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质;②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法。 【解题思路】运用平面向量数量积的性质,坐标运算的法则和基本方法,结合问题条件得到  ∴ OB ⇒ OA OB ∴ 1 2 ≤ OA OB ≤ 3 2 OA OB 1 2 3 2 a b a b c a 5 b a c a b a b a c a c a b a b a c  a b a b c a 5 b ∴ a b a c a a 5 b a a 5 a b a 2 c a 5 b 2 24 | | 4 5 . 5| |a a b b− +   4 0 5− +  a c a c a c ∴ a c . | |.| | a c a c     2 1 3× 2 3  a b ∴ a b × × a 4 4+ 2 b 9 36+ 5  a b a b a b ∴ a b . | |.| | a b a b   6 2 2 3 5× 10 10 a b a ⊥ b关于实数 m 的方程,求解方程就可得出实数 m 的值。 【 详 细 解 答 】 向 量 = ( -4 , 3 ), = ( 6 , m ), 且 , . =-4 6+3m=-24+3m=0, m=8。 6、已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = -2 , =k + ,若 . =0,则 k 的值为 。 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质;②平面向量数量积几何运算法则和基本方法, ③单位向量的定义与性质。 【解题思路】运用平面向量数量积的性质,几何运算的法则和基本方法,单位向量的性质, 结合问题条件得到关于实数 k 的方程,求解方程就可得出实数 k 的值。 【详细解答】 , 是夹角为 的两个单位向量, = -2 , =k + , . = k . + . -2k . -2 . =k+(1-2k) (- )-2=k- +k-2=2k- =0, k= 。 『思考问题 3』 (1)【典例 3】是向量数量积的问题,解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义,掌握 平面向量数量积的性质,运算的法则和基本方法;平面向量数量积包括:①平面向量数量积 的几何运算;②平面向量数量积的坐标运; (2)平面向量数量积几何运算的基本方法是:①若已知向量的模和夹角,则直接运用公式 . =| || |cos〈 , 〉计算;②运用向量数量积的几何意义求解; (3)已知向量 = , = ,求向量数量积直接运用公式 . = 求解; 已 知 向 量 = , 求 向 量 的 模 一 般 运 用 公 式 . =| | = + , | |= 求解,尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式; (4)求 与 的夹角常用公式 cos = 求解,基本方法是:①求出 . 及| || |或 得出它们之间的关系,②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围)。 〔练习 3〕解答下列问题: 1、已知平面向量 =(1,1), =(t+1,1),若 ⊥ ,则实数 t 的值为( ) A -2 B 0 C 2 D -1 2、已知 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 内一点,则 .( + )的最 小值是( ) A -2 B - C - D -1 3、已知向量 , 满足| |=1, . =-1, .(2 - )=( )  a b a ⊥ b ∴ a b × ⇒ 1e 2e 2 3 π a 1e 2e b 1e 2e a b  1e 2e 2 3 π a 1e 2e b 1e 2e ∴ a b 1e 1e 1e 2e 1e 2e 2e 2e × 1 2 1 2 5 2 ⇒ 5 4 a b a b a b a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y a b 1 2 1 2+x x y y a 1 1( , )x y a a a a 2 2 1x 2 1y ⇒ a 2 2 1 1x y+ a b θ . | || | a b a b   a b a b a b a b ABC∆ ABC∆ PA PB PC 3 2 4 3 a b a a b a a bA 4 B 3 C 2 D 0 4、(1)设 , 均为单位向量,则“| -3 |=| +3 |”是“ ⊥ ”的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 (2)设向量 =(1,0), =(-1,m),若 ⊥(m - ),则 m= 。 5、在平面直角坐标系 XOY 中,已知 =(1,0), =(0,b)(b R),若 = 2 + ,点 M 满足 = ( R),且| |.| |=36,则 . 的最大值 为 ; 6、(1)已知向量 , 的夹角为 ,| |=2,| |=1,则| +2 |= ; (2)已知向量 =(-1,2), =(m,1),若向量 + 与 垂直,则 m= 。 a b a b a b a b a b a a b OA OB ∈ OC OA OB OM λ OC λ ∈ OC OM OM OA a b .60 a b a b a b a b a

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