251平面向量应用举例.ppt

2.5平面向量应用举例 2.5.1平面几何的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算， 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B D C已知：平行四边形ABCD。 求证： 解：设 ，则 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 ∴例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分 别与AC交于R 、 T两点，你能发现 AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ A B CD E F R T 猜想： AR=RT=TC解：设 则 由于 与 共线，故设 又因为 共线， 所以设 因为 所以 A B CD E F R T线， 故AT=RT=TC A B CD E F R T练习、证明直径所对的圆周角 是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量 坐标形式证明？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 小结： 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ：【例2】日常生活中,我们有时要用同样长 的两根绳子挂一个物体(如图).如果绳子的 最大拉力为F,物体受到的重力为G。你能否 用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大 小与两绳之间的夹角θ的关系？