“面积的变化”教学片断与思考

“面积的变化”教学片断与思考“面积的变化”是苏教版六年级下册教材安排的“探索规律”的专题活动，主要引导学生结合具体的实例探索并发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步丰富对图形放大和缩小的理解，感受图形运动内容的趣味性和多样性。考虑到学生在此前学习图形的放大和缩小以及比例尺等内容时，涉及的都是图形对应边长的比，他们对图形之间的面积比关注并不太多，所以教学时一要提醒学生注意长度比与面积比的联系和区别，二要适当指导由长度比推算面积比的基本方法，并在此基础上引导他们发现相关的规律。此外，还应重视规律的抽象和表达过程，以帮助学生进一步积累探索学习的经验，感受数学的基本思想。【片断1】提出问题，弄清研究什么出示下图：六下第48页上方的小长方形和大长方形师：上面的大长方形是将小长方形按比例放大后得到的。量一量、算一算、想一想，可以怎样描述这两个长方形之间的关系？学生按要求测量、计算、思考。生1：长方形放大后与放大前长的比是3:1，宽的比也是3:1。生2：大长方形是把小长方形按3:1的比放大后得到的。师：比较两个长方形，除了比较它们的边长，还可以比什么？生：还可以比周长，比面积。师：算一算，这两个长方形的周长比是多少？面积比呢？学生各自按要求进行计算。生1：大长方形与小长方形的周长比还是3:1。生2：大长方形与小长方形的面积比是9:1。师：面积比不是3:1吗？生：不是。师：你是怎样算出两个长方形面积之比的？生1：小长方形的长是3厘米，宽是1厘米，面积是3平方厘米；大长方形的长是9厘米，宽是3厘米，面积是27平方厘米；大长方形与小长方形的面积比是27:3，化简后就是9:1。生2：也可以将大长方形象下面这样分割成同样大的小长方形，能够直接看出大长方形与小长方形的面积比是9:1。师：有刚才的计算结果，你还能想到些什么？生1：长方形放大后与放大前的面积比和对应边长的比是不一样的。生2：如果把这个长方形按不同的比放大，放大后与放大前的面积比又会怎样变化？这里面是不是存在规律呢？【思考】认知心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的唯一最重要因素,就是学生已经知道了什么,要探明这一点，并应据此进行教学。”上面的教学活动从学生相对熟悉的“放大图形”的情境入手，先引导学生通过测量、计算和思考，从不同角度描述放大前后两个长方形之间的关系；再启发他们由两个长方形对应边长的比，进一步联想到周长比和面积比。由此出发，引导学生基于求出的面积比，发现并提出值得进一步思考的问题，从而引出本节课的探索主题。这样的教学既充分利用了学生已有的知识经验，顺应了他们的学习心理，又有助于培养学生发现和提出问题的意识。此外，教学中还注意引导学生详细说明求两个长方形面积比的思考方法，这能为接下来的探索活动提供必要的支持。【片断2】探索实践，体验怎样研究师：刚才有同学提出，如果把一个长方形按不同的比放大，放大后与放大前的面积比又会怎样变化？这里面是不是存在某种规律？面对这样的问题，我们该怎样做？生：可以先按不同的比将原来的小长方形放大，再通过计算进一步比较得到的数据。师：想法很不错。请大家照这样的思路再画一画，算一算，想一想。学生按要求操作、计算、思考。生1：我将原来的小长方形按2:1的比放大，算出放大后与放大前的面积比是4:1。生2：我将原来的小长方形按4:1的比放大，算出放大后与放大前的面积比是16:1。生3：我将原来的小长方形按6:1的比放大，算出放大后与放大前的面积比是36:1。师：比较得到的这些数据，你觉得这里面有规律吗？沉默片刻之后，有学生举手示意。生1：是有规律的，边长比是2:1，面积比是4:1,4＝2×2；边长比是4:1，面积比是16:1，16＝4×4；边长比是6:1，面积比是36:1，36＝6×6。生2：我知道了，面积比就是长度比的平方！师：其他同学明白他的意思吗？如果将一个长方形按9:1的比放大，那么放大后与放大前的面积比是多少？如果将一个长方形按n:1的比放大，那么放大后与放大前的面积比又是多少？生：按9:1的比放大，面积比就是81:1；按n:1的比放大，面积比就是（n×n）:1。师：n×n还可以写成什么形式？生：n×n还可以写成n2。师：这样，上面发现的规律可以说成——生：将一个长方形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1。……师：再提一个问题，如果放大的图形不是长方形，上面这个规律仍然存在吗？生：我觉得应该是存在的，不过这只是一个猜想，我们应该继续开展研究。师：其他同学同意他的想法吗？打算怎样开展研究？先在小组里讨论研究的方法，再按想好的方法进行研究。学生小组活动，教师巡视，然后组织交流。生1：我们先画了一个三角形，底是4厘米，高是1厘米，按2:1的比放大。放大后与放大前的面积比是4:1，符合上面发现的规律。生2：我们先画了一个平行四边形，底是3厘米，高是2厘米，按3:1的比放大。放大后与放大前的面积比是9:1，也符合上面发现的规律。生3：我们先画了一个梯形，上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米，按2:1的比放大。放大后与放大前的面积比是4:1，符合上面发现的规律。生4：我们先画了一个圆，半径是1厘米，按4:1的比放大。放大后与放大前的面积比是16:1，符合上面发现的规律。……师：联系大家所画的不同的图形，我们最终得到的规律是——生：（齐）将一个图形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1。……【思考】上面的教学没有完全按照教材设计的思路开展活动，而是根据学生在此前提出的“如果把一个长方形按不同的比放大，放大后与放大前的面积比又会怎样变化？这里面是不是存在某种规律”这个问题，引导他们将同一个长方形按不同的比放大，并计算相应的面积比；接着，鼓励学生依据得到的数据进行初步的抽象概括，归纳出“将一个长方形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1”这一结论。在此基础上，启发学生继续研究不同图形放大前后的情况，既验证了猜想，又丰富了对规律的认识。此外，上述教学活动中还十分重视规律的抽象和表达，着力引导学生通过对相互关联的数据的观察和比较，逐步得出更具一般性的结论，并用含有字母的式子表示出来，有助于他们在发现和表达规律的过程中获得更多有意义的感悟。【片断3】回顾反思，引发更多研究师：刚才我们通过不同的例子得到一个相同的结论。仔细想一想，为什么“将一个图形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1”呢？这背后的道理究竟在哪儿？生：我觉得应该和面积的计算方法有关，因为计算面积时其实都要用两个长度相乘。师：大家觉得他的想法有道理吗？我们不妨以长方形为例，进一步思考。放大前长方形的长和宽分别是多少？生：长是3厘米，宽是1厘米。师：把这个长方形按n:1的比放大后，长和宽分别是多少？生：放大后的长是（3×n）厘米，宽是（1×n）厘米。师：放大后的面积用含有字母的式子可以怎样表示？生：（3×n）×（1×n）。师：将这个连乘算式改写成（3×1）×n2，可以吗？生：可以，只要应用乘法运算律就能做到。师：从这个含有字母的式子中，你还能看出什么？生1：把一个图形的边放大到原来的n倍，面积就会放大到原来的n2倍。生2：如果把一个图形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1。……师：从这个结论继续想开去，你还能想到什么？生1：我在想，如果把一个图形按1:n的比缩小，缩小后与缩小前的面积比应该是1: n2。生2：如果把一个长方体的每条棱按n:1的比放大，放大后与放大前的体积比应该是n3:1。……【思考】孔子曰：“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。”在得出本节课所要探究的规律后，上面的教学一方面引导学生结合实例进一步理解和解释规律，感受数学知识内部的本质联系；另一方面，则启发学生基于已有的规律进一步打开思路，发现并提出更多有意义的问题。这样的教学不仅能够引发学生更加全面和深入的思考，使探索规律的教学价值得到更加充分的发挥，而且有助于培养学生主动探究、积极探究的自觉性，帮助他们不断增强问题意识和研究意识，提高自主学习的能力。