混淆“轨迹”与“轨迹方程”
如图，已知点 ，直线 ，P 为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且
，求动点 P 的轨迹．
【错解】设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，
由 ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得 y2＝4x．
【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．
【试题解析】设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，
由 ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得 y2＝4x．
故动点 P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
【参考答案】动点 P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线
为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:
（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的
等价性．
（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定
义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点 却随另一动点
的运动而有规律地运动，而且动点 Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将 ， 表示
成关于 x，y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程整理化简即得动点 P 的轨迹方程．
（4）参数法：若动点 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点 的轨迹，也没有
明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点
0(1 )F ， : 1l x = −
QP QF FP FQ⋅ = ⋅
QP QF FP FQ⋅ = ⋅
QP QF FP FQ⋅ = ⋅
,( )P x y
( ),Q x y′ ′ x′ y′
,( )P x y ,( )P x y中的 x，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这
种求轨迹方程的方法叫做参数法.
2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什
么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
1．已知定点 及直线 ,动点 到直线 的距离为 ,若 .
（1）求动点 的轨迹 C 方程；
（2）设 是 上位于 轴上方的两点， 坐标为 ,且 , 的延长线与 轴交于点
,求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 ，则由 ，知 ，
又 ，∴ ，
由题意知： ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的轨迹方程为 .
（2）设 ，
∵ ，
∴ 为 中点，
∵ ，
∴ ，
,( )P x y
( 1,0)A − : 2l x = − P l d | | 2
2
PA
d
=
P
,M N C x B (1,0) AM BN∥ MN x
(3,0)D AM
2
2 12
x y+ = 14 ( 1)2y x= +
( , )P x y ( 1,0)A − 2 2| | ( 1)PA x y= + +
: 2l x = − | 2 |d x= +
2 2( 1) 2
| 2 | 2
x y
x
+ + =+
2 2 21( 1) ( 2)2x y x+ + = +
2 22 2x y+ =
P
2
2 12
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ( )1 20, 0y y> >
( 1,0) (1,0), (3,0)A B D− ，
B AD
/ /AM BN
1 2 1 2,3 2 2x x y y+ = =∴ ，
又 ，∴ ，
又 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴直线 的方程为 .
【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有
定义法、相关点法、参数法、交轨法等．
求轨迹方程时忽略变量的取值范围
已知曲线 C：y＝ x2－2x＋2和直线 l：y＝kx(k≠0)，若 C 与 l 有两个交点 A 和 B，求线段 AB 中点
的轨迹方程.
【错解】依题意，由Error!
分别消去 x、y 得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
设 AB 的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有 ，
故线段 AB 中点的轨迹方程为 .
【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量 y 的允许范围，故应对 x，y 加以限制．
【试题解析】依题意，由Error!，
分别消去 x、y 得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
设 AB 的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有Error!
1 22 3x x= −
2
21
1 12
x y+ = ( )2
2 2
2
2 3 4 12
x y
− + =
2
22
2 12
x y+ = 2 1
5 1,4 2x x= = −
0y >
1
14
4y =
1
1 14
1 2AM
yk x
= =+
AM 14 ( 1)2y x= +
1 2
2
1 2
2
1
2 1
2 1
x xx k
y y ky k
+ = = − + = = −
2 2 0x y x− − =又对②应满足 ，解得
2
2 2.
所以所求轨迹方程是 x2－y2－x＝0(x>2，y> 2)．
【参考答案】轨迹方程是 x2－y2－x＝0(x>2，y> 2).
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二
元方程 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完
备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明 x,y 的取值
范围.
2．已知圆 和圆 ，动圆 同时与圆 及圆 相外切，则动圆圆心
的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设动圆的圆心 M 的坐标为 ，半径为 ，
则由题意可得 ，
相减可得 ，所以点 M 的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支，
由题意可得 ，所以 ，
2
2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
1 0
4 4 ( 2 ) ( 1) 0
2 01
2 01
k
k k k
ky y k
ky y k
∆
− ≠
= − × − × − >
+ = >−
= >−
( , ) 0f x y =
2 2
1 :( 3) 1C x y+ + = 2 2
2 :( 3) 9C x y− + = M 1C 2C M
2
2 18
yx − =
2
2 1( 1)8
yx x− = ≤ −
2
2 18
x y+ =
2
2 1( 1)8
yx x− = ≥
( , )x y r
1 21, 3MC r MC r= + = +
2 1 1 22MC MC C C− = < 1 2,C C
2 2, 3a c= = 2 2 2 2b c a= − =故点 M 的轨迹方程为 ，故选 B.
【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解
答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支是解
答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
忽略椭圆定义中的限制条件
若方程 表示椭圆，则实数 k 的取值范围为________________．
【错解】由 ，可得 ，所以实数 k 的取值范围为(6，8)．
【错因分析】忽略了椭圆标准方程中 a＞b＞0 这一限制条件，当 a＝b＞0 时表示的是圆的方程．
【试题解析】由 ，可得 且 ，所以实数 k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．
【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证
解题的正确性．
【参考答案】(6，7)∪(7，8)．
平面上到两定点 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫
做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 .
定义式： .
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
3．已知 F1，F2 为两定点，|F1F2|＝8，动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点 M 的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
【答案】D
2
2 1( 1)8
yx x− = ≤ −
1 2,C C
2 2
18 6
x y
k k
+ =− −
8 0
6 0
k
k
− >
− > 6 8k< <
8 0
6 0
8 6
k
k
k k
− >
− >
− ≠ −
6 8k< < 7k ≠
1 2,F F P
1 2 2F F c=
1 2 1 22 (2 )PF PF a a F F+ = >【解析】虽然动点 M 到两个定点 F1，F2 的距离为常数 8，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点 M 的轨迹
是线段 F1F2，故选 D．
平面上到两定点 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 的轨迹是椭圆.若忽略了椭
圆定义中|F1F2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点 M 的轨迹是椭圆.
忽略对椭圆焦点位置的讨论
已知椭圆的标准方程为 ，并且焦距为 8，则实数 k 的值为_____________．
【错解 1】因为 2c＝8，所以 c＝4，由椭圆的标准方程知 a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
所以 36＝k2＋42，即 k2＝20，又 k＞0，故 ．
【错解 2】因为 2c＝8，所以 c＝4，由椭圆的标准方程知 a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，
所以 k2＝36＋42，即 k2＝52，又 k＞0，故 ．
【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆
的焦点位置的讨论，从而导致错误．
【试题解析】因为 2c＝8，所以 c＝4，
①当焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
所以 36＝k2＋42，即 k2＝20，又 k＞0，故 ；
②当焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，
所以 k2＝36＋42，即 k2＝52，又 k＞0，故 ．
综上， 或 ．
【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不
能顺着思维定式，想当然地认为焦点在 x 轴上或 y 轴上去求解．
【参考答案】 或 ．
1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
1 2,F F P
2 2
2 1( 0)36
x y kk
+ = >
2 5k =
2 13k =
2 5k =
2 13k =
2 5k = 2 13
2 5k = 2 13对于方程 ，
①表示焦点在 x 轴上的椭圆 且 ；
②表示焦点在 y 轴上的椭圆 且 ；
③表示椭圆 且 ．
对于形如：Ax2＋By2＝1(其中 A＞0，B＞0，A≠B)的椭圆的方程，其包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情
况，当 B＞A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 B＜A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
2．求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a2,b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需
要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为 或 .
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 ）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上
和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(其中 A＞0，B＞0，A≠B).
求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也
可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
4．关于曲线 ： 性质的叙述，正确的是
A．一定是椭圆 B．可能为抛物线
C．离心率为定值 D．焦点为定点
【答案】D
2 2
1x y
m n
+ =
⇔ 0, 0m n> > m n>
⇔ 0, 0m n> > m n<
⇔ 0, 0m n> > m n≠
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > >
, ,a b c 2 2 2c a b= －
C
2 2
2 2 14
x y
a a
+ =−【解析】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故 B 错误；
因为 可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则 ，∴
， ，离心率不是定值，焦点 ， ，为定点.
若曲线为双曲线，方程为 ，则 ，∴ ， ，离心率不是
定值，焦点 ， 为定点，故选 D.
【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.
忽略椭圆的范围
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 ，已知点 到椭圆的最远距离为
，求椭圆的标准方程．
【错解】由题意可设椭圆的标准方程为 ，
则 ，故 ，即 ．
设椭圆上的点 到点 P 的距离为 d，
则 ，
所以当 时， 取得最大值，从而 d 取得最大值，
所以 ，解得 ， ．
故所求椭圆的标准方程为 ．
【错因分析】错解中“当 时， 取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中 y 的
取值范围，事实上，由于点 在椭圆上，所以 ，因此在求 的最大值时，应分类讨论．
2 4a − ( )2 2 2 4 4c a a= − − =
2c = 2e a
= ( )2,0 ( )2,0−
2 2
2 2 14
x y
a a
− =−
( )2 2 24 4c a a= + − = 2c = 2e a
=
( )2,0 ( )2,0−
3
2e = 3(0, )2P
7
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2 2 2
2
2 2 2
31 4
c a b be a a a
−= = = − =
2
2
1
4
b
a
= 2a b=
( , )x y
2
2 2 2 2 2 2 2
2
3 3 1( ) (1 ) ( ) 3( ) 4 32 2 2
yd x y a y y bb
= + − = − + − = − + + +
1
2y = − 2d
2 24 3 ( 7)b + = 2 1b = 2 4a =
2
2 14
x y+ =
1
2y = − 2d
( , )x y b y b− ≤ ≤ 2d【试题解析】由题意可设椭圆的标准方程为 ，
则 ，故 ，即 ．
设椭圆上的点 到点 P 的距离为 d，
则 ，
若 ，则当 时， 取得最大值，从而 d 取得最大值，
于是 ，解得 ，与 矛盾，故 ，
所以当 时， 取得最大值，从而 d 取得最大值，
所以 ，解得 ， ．
故所求椭圆的标准方程为 ．
【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样
才能避免出错．
【参考答案】 .
1．椭圆 的范围就是方程中变量 x,y 的范围，由 得 ，则
； ，则 .故椭圆落在直线 x=±a，y=±b 围成的矩形内，因此用描点法画椭
圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意 x，y
的取值范围.
2．设椭圆 上任意一点 ，则当 时， 有最小值 b，P 点在短轴端点处；
当 时， 有最大值 a，P 点在长轴端点处．
3．（1）解决椭圆
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)中的范围问题常用的关系有：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2 2 2
2
2 2 2
31 4
c a b be a a a
−= = = − =
2
2
1
4
b
a
= 2a b=
( , )x y
2
2 2 2 2 2 2 2
2
3 3 1( ) (1 ) ( ) 3( ) 4 32 2 2
yd x y a y y bb
= + − = − + − = − + + +
1
2b < y b= − 2d
2 23( 7) ( )2b= − − 3 17 2 2b = − > 1
2b < 1
2b ≥
1
2y = − 2d
2 24 3 ( 7)b + = 2 1b = 2 4a =
2
2 14
x y+ =
2
2 14
x y+ =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 21 1x y
a b
= − ≤
| |x a≤
2 2
2 21 1y x
b a
= − ≤ | |y b≤
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ,( )P x y 0x＝ | |OP
x a= ± | |OP①－a≤x≤a，－b≤y≤b；
②离心率 0 (0,1)B 2( 2, )2P
C
k l C ,M N ,OM ON
MON△
2
2 14
x y+ = 3
2e =
1b =
2( 2, )2P C
2
2
2
( 2) 2( ) 12a
+ = 2a =
C
2
2 14
x y+ =
2 2 3c a b= − = C 3
2
ce a
= =
l ( )0y kx m m= + ≠
2
2
,
14
y kx m
x y
= + + =
y ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
2 2 2 2 2(8 ) 4(4 1)(4 4) 64 16 16 0km k m k m∆ = − + − = − + >设 ，则 ．
，
由题意， 为定值，所以 ，即 ，解得 ．
此时
，
点 到直线 的距离 ．
．
显然，当 （此时 ， 满足 ），即 时， 取得最大值，
最大值为 ．
忽略双曲线定义中的限制条件
已知 F1(－5，0)，F2(5，0)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，当 a 为 3 和 5 时，点 P 的轨迹分别为
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
【错解】依题意得 ，当 时， ，故点 P 的轨迹为双曲线；当 时，
，故点 P 的轨迹为一条射线．故选 B．
【错因分析】错解中忽略了双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而导致错误．
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2
1 2 1 22 2
8 4 4,4 1 4 1
km mx x x xk k
− −+ = =+ +
( )( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
OM ON
kx m kx m k x x km x x my yk k x x x x x x
+ + + + += = =
2
2 2
2 2
2
2
4 4 8
4 1 4 1
4 4
4 1
m kmk km mk k
m
k
− −× + × ++ += −
+
2 2
2
4
4 4
m k
m
−= −
OM ONk k
21 4
4 4
k−= −
2 1
4k = 1
2k = ±
( ) ( )22
1 2 1 2= 1 4MN k x x x x + + −
2
21 8 4 4( 1)[( ) 4 ]1 14 4 1 4 14 4
km m− −= + − ×
× + × +
( )2 2 25 16 8 84 k m m= + − 210 5m= −
O y kx m= +
2
2 5 | |= 51
m md
k
=
+
21 1 2 510 5 | |2 2 5MONS MN d m m= = × − ×△
2 45 10 55 m m= − 2 2( 1) 1m= − − +
2 1m = 2 1
4k = 2 1m = 2 264 16 16 0k m∆ = − + > 1m=± S
1
1 2 10F F = 3a = 1 22 6a F F= < 5a =
1 22 10a F F= =【试题解析】依题意得 ，当 时， ，且 ，点 P 的轨迹为
双曲线的右支；当 时， ，故点 P 的轨迹为一条射线．故选 D．
【参考答案】D．
在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．
当||MF1|－|MF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|MF1|－|MF2|＝±2a，0＜2a＜|F1F2|时，点 M 的轨迹是双曲线，
其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；
当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|(a＞0)时，点 M 的轨迹是以点 F1，F2 为端点的两条射线；
当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|(a＞0)时，点 M 的轨迹不存在．
6．如图，在 中，已知 ，且三内角 A，B，C 满足 ，以 AB 边所在
的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
【答案】 ．
【解析】由题意可得 ， ．
因为 ，由正弦定理可得 ，
故 ，
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为 ，
因为 ， ，所以 ，故所求轨迹方程为 ．
【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检
验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
1 2 10F F = 3a = 1 22 6a F F= < 1 2 6 0PF PF = >−
5a = 1 22 10a F F= =
ABC△ | | 4 2AB = 2sin sin 2sinA C B+ =
2 2
1( 2)2 6
x y x− = >
( 2 2 0)A − ， (2 2 0)B ，
2sin sin 2sinA C B+ = | | | | | |2 2BC AB AC+ =
| | | | |1
2 | 2 2 | |AC BC AB AB− =
2a = 2 2c = 2 2 2 6b c a= − =
2 2
1( 2)2 6
x y x− = >忽略双曲线中的隐含条件
已知 M 是双曲线 上一点，F1，F2 是双曲线的左、右焦点，且 ，则
_____________．
【错解】由双曲线的定义可知， ，因为 ，所以 或 ．
【错因分析】错解忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于 c－a，
从而两解中要舍去不满足要求的那个．
【试题解析】由双曲线方程 可得 ， ， ，
由双曲线的图形可得点 M 到右焦点 F2 的距离 ．
因为 ， ，所以 (舍去)或 ．
【参考答案】33
1．在求解双曲线上的点到焦点的距离 d 时，一定要注意 这一隐含条件．
2．双曲线方程中 的大小关系是不确定的，但必有 .
3．由 ,知푥2
푎2≥1,所以 x≤-a 或 x≥a,因此双曲线位于不等式 x≥a 和 x≤-a 所表示
的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.
关于双曲线内线段最长或最短（距离最远或最近）问题，有以下结论：
（1）双曲线的左、右顶点距离相应焦点最近；
（2）双曲线上一点与某焦点的距离的值最小为 c-a；
（3）对于已知双曲线内（或外）一定点 M，求双曲线上一点 P，使得点 P 与相应焦点的距离与 的和最
小的问题，当涉及的三点共线时取得最值.
7．过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 , 是另一焦点,若 ,则双曲线
的离心率 等于
2 2
164 36
x y− = 1| | 17MF = 2MF =
1 2|| | | 2 16||MF MF a= =− 1| | 17MF = 2| | 1MF = 33
2 2
164 36
x y− = 8a = 6b = 10c =
2d c a≥ − =
1 2|| | | 2 16||MF MF a= =− 1| | 17MF = 2| | 1MF = 2| | 33MF =
d c a≥ −
,a b 0, 0c a c b> > > >
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
PM
2F ,P Q 1F 1 = 3PFQ
π∠
eA． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线的对称性可知， 是以点 为直角顶点，且 ，则 ，
由双曲线的定义可得 ，
在 中， ， ，故选 B.
【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利
用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题.
忽略双曲线的焦点所在位置的讨论
已知双曲线的渐近线方程是 ，焦距为 ，求双曲线的标准方程．
【错解】由题意知 ，且 ，两式联立解得 ， ，所以所求双曲线的标准
方程为 ．
【错因分析】错解的原因是未审清题目条件，而误认为焦点一定在 x 轴上，从而导致漏解．
【试题解析】当双曲线的焦点在 x 轴上时，由 且 ，两式联立解得 ，
，所以所求双曲线的标准方程为 ；
当双曲线的焦点在 y 轴上时，由 且 ，
两式联立解得 ， ，
所以所求双曲线的标准方程为 ．
综上，所求双曲线的标准方程为 或 ．
【参考答案】 或 ．
2 1− 3
2 1+ 2 2+
1 2PF F△ 2F 1 2 6PF F
π∠ = 1 22PF PF=
1 2 2 2PF PF PF a− = =
1 2Rt PF F△ 2
1 2
1 2
2 3tan 2 3
PF aPF F F F c
∠ = = = 3ce a
∴ = =
2
3y x= ± 2 26
2
3
b
a
= 2 2 2 26c a b= + = 2 18a = 2 8b =
2 2
118 8
x y− =
2
3
b
a
= 2 2 2 26c a b= + = 2 18a =
2 8b =
2 2
118 8
x y− =
2
3
a
b
= 2 2 2 26c a b= + =
2 8a = 2 18b =
2 2
18 18
y x− =
2 2
118 8
x y− =
2 2
18 18
y x− =
2 2
118 8
x y− =
2 2
18 18
y x− =1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还
是 y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的 的值，最后写出
双曲线的标准方程.
表示焦点在 x 轴上的双曲线
表示焦点在 y 轴上的双曲线
对于方程
表示双曲线
对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：
（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定 a,b 的关系，结合已知条件可解.
注意：焦点在 x 轴上，渐近线方程为 ；焦点在 y 轴上，渐近线方程为 ．
2 ． 在 求 双 曲 线 的 方 程 时 ， 若 不 知 道 焦 点 的 位 置 ， 则 进 行 讨 论 ， 或 可 直 接 设 双 曲 线 的 方 程 为
.
已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设
双曲线方程为 ．
因此，与双曲线 (a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为 ；与双曲线
(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为 ．
8．已知双曲线的一条渐近线方程为 ，且过点 ，则该双曲线的标准方程为
__________．
【答案】
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为 ，可设双曲线方程为 ，
2 2,a b
⇔ 0, 0m n> <
⇔ 0, 0m n< >
2 2
1x y
m n
+ =
( 0)mn ≠ ⇔ 0mn <
by xa
= ± ay xb
= ±
2 2 1( 0)Ax By AB+ = <
2 2
2 2 ( 0)x y
a b
λ λ− = ≠
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2 ( 0)x y
a b
λ λ− = ≠
2 2
2 2 1y x
a b
− =
2 2
2 2 ( 0)y x
a b
λ λ− = ≠
0x y± = ( )1 2P ，− −
2 2
13 3
y x− =
0x y± = ( )2 2 0x y λ λ− = ≠∵双曲线过点 ，
∴ ，即 ．
∴所求双曲线方程为 ，
故答案为 ．
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲
线的标准方程．
忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况
若过点 且斜率为 k 的直线 与双曲线 只有一个公共点，则 ___________．
【错解】由题意可得 ，代入双曲线方程得 ．
由题意可知 ，解得 ．
【错因分析】错解中忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．
【 试 题 解 析 】 由 题 意 可 得 ， 代 入 双 曲 线 方 程 得
．
当 ，即 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当 时， ，解得 ．
综上，当 或 时，直线与双曲线只有一个公共点．
【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的
方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为 0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐
近线平行的情况．
【参考答案】 或 .
1． 直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．
( )1 2P ，− −
1 4 λ− = 3λ = −
2 2
13 3
y x− =
2 2
13 3
y x− =
(1,1)P l
2
2 14
yx − = k =
: ( 1) 1l y k x= − + 2 2 2 2(4 ) 2( ) 2 5 0k x k k x k k− − − − + − =
2 2 2 24( ) 4(4 )( 2 5) 0k k k k k∆ = − − − − + − = 5
2k =
: ( 1) 1l y k x= − +
2 2 2 2(4 ) 2( ) 2 5 0k x k k x k k− − − − + − =
24 0k− = 2k = ±
24 0k− ≠ 2 2 2 24( ) 4(4 )( 2 5) 0k k k k k∆ = − − − − + − = 5
2k =
5
2k = 2k = ±
5
2k = 2k = ±（2）有一个公共点，分两种情况：
①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；
②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．
（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．
2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依
据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为 0，
则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为 0，则进一步研究二次方程的根的判别式 ，
得到直线与双曲线的交点个数．
9．已知直线 与双曲线 ．当 k 为何值时，直线与双曲线：
（1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．
【答案】见解析．
【解析】由 消去 y 得 ①，当 ，即 时，方程①无解；
当 时， ，
当 ，即 时，方程①有两解；
当 ，即 或 时，方程①无解；
当 ，且 时，这样的 k 值不存在．
综上所述，（1）当 时，直线与双曲线有两个公共点；
（2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的 k 值；
（3）当 或 时，直线与双曲线没有公共点．
【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元
二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二
次项系数为 0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为 0，则进一步研究二次方程的根
的判别式 ，得到直线与双曲线的交点个数．
忽略抛物线定义中的限制条件
已知点 P 到 F(4，0)的距离与到直线 的距离相等，求点 P 的轨迹方程．
∆
y kx= 2 24 16x y− =
2 24 16x y
y kx
− =
=
2 2(4 ) 16 0k x− − = 24 0k− = 2k = ±
24 0k− ≠ 2 20 4(4 )( 16) 64(4 )k k∆ = − − − = −
0∆ > 2 2k− < <
0∆ < 2k < − 2k >
0∆ = 24 0k− ≠
2 2k− < <
2k ≤ − 2k ≥
∆
5x = −【错解】由抛物线的定义，可知点 P 的轨迹是抛物线．
因为焦点在 x 轴上，开口向右，焦点到准线的距离 ，所以抛物线的方程为 ．
【错因分析】点 P 到 F(4，0)的距离与到直线 的距离相等，满足抛物线的定义，但 ，故此
抛物线的方程不是标准方程．
【试题解析】设点 P(x，y)，则由题意，得 ，
化简整理得 ，此即所求的轨迹方程．
【参考答案】 .
1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否
为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．
2．抛物线定义中要求直线 l 不经过点 F，若 l 经过 F 点，则轨迹为过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线．因
此当动点 P 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．
10．已知圆 C 的方程 ，求与 y 轴相切且与圆 C 外切的动圆圆心 P 的轨迹方程．
【答案】 或 ．
【解析】设 P 点坐标为(x，y)，动圆的半径为 R，∵动圆 P 与 y 轴相切，∴ ，
∵动圆与定圆 C： 外切，∴ ，∴ ．
当点 P 在 y 轴右侧，即 x＞0 时， ，点 P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心 P 的
轨迹方程为 ；
当 点 P 在 y 轴 左 侧 ， 即 x＜ 0 时 ， ， 此 时 点 P 的 轨 迹 是 x 轴 的 负 半 轴 ， 即 方 程
．
故点 P 的轨迹方程为 或 ．
【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，
利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件
9p = 2 18y x=
5x = − 4 5≠ −
2 2( 4) | 5|x y x− + = +
2 18 9y x= +
2 18 9y x= +
2 2 10 0x y x+ − =
2 20 ( 0)y x x= > )0 0(y x= <
R x=
2 25 2) 5(x y− + = 5PC R= + 5PC x= +
5PC x= +
2 20 ( 0)y x x= >
5PC x= − +
)0 0(y x= <
2 20 ( 0)y x x= > )0 0(y x= 0 或 m0 时，准线方程为 x＝－
m
4，
由条件知 1－(－
m
4)＝3，所以 m＝8.
此时抛物线方程为 y2＝8x；
当 m 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p= − >
( ,0)2
p ( ,0)2
p− (0, )2
p (0, )2
p−
2
px = −
2
px =
2
py = −
2
py =
p
( 1,1)−
2y x= − 2x y=
2y x= − 2x y= 2y x= 2x y= −【解析】当焦点在 轴上时，设方程为 ，将 代入得 ， ；当焦点在 轴
上时，设方程为 ，将 代入得 ， ．故选 C．
本题若只考虑焦点在 x 轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在 y 轴的正半轴上的情况，则会出
现漏解．
忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况
求过定点 ，且与抛物线 只有一个公共点的直线 l 的方程．
【错解】当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，
由 消去 x，得 ，
则 ，解得 ．
故所求直线 l 的方程为 或 ．
【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏解．
【试题解析】当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线 l 的斜率存在时，设 l： ，
当 时，直线 l 的方程为 ，此时直线 l 与抛物线只有一个公共点．
当 时，与抛物线方程联立消去 x，得 ，
则 ，解得 ，
此时直线 l 的方程为 或 ．
综上，直线 l 的方程为 或 或 ．
【参考答案】直线 l 的方程为 或 或 ．
x 2y ax= ( 1,1)− 1a = − 2y x∴ = − y
2x ay= ( 1,1)− 1a = 2x y∴ =
( 11)P − , 2 2y x=
1 )1 ( )( 0y k x k− = + ≠
2
( )1
2
1
y
y k x
x
=
− = +
2 2 2 2 0ky y k− + + =
4 4 2 2 0( )k k∆ = + =－ 1 3
2k
− ±=
( 3 1) 2 3 1 0x y− − + + = ( 3 1) 2 3 1 0x y+ + + − =
(1 1)y k x− = +
0k = 1y =
0k ≠ 2 2 2 2 0ky y k− + + =
4 4 2 2 0( )k k∆ = + =－ 1 3
2k
− ±=
( 3 1) 2 3 1 0x y− − + + = ( 3 1) 2 3 1 0x y+ + + − =
1y = ( 3 1) 2 3 1 0x y− − + + = ( 3 1) 2 3 1 0x y+ + + − =
1y = ( 3 1) 2 3 1 0x y− − + + = ( 3 1) 2 3 1 0x y+ + + − =直线 与抛物线 公共点的个数等价于方程组 的解的个数．
（1）若 ，则当 时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当 时，直线和抛物线相切，有一
个公共点；当 时，直线和抛物线相离，无公共点．
（2）若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点．特别地，当直线 l 的斜率不
存在时，设 ，则当 时，直线 l 与抛物线相交，有两个公共点；当 时，直线 l 与抛物线相
切，有一个公共点；当 时，直线 l 与抛物线相离，无公共点．
12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”
时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共
点”的充分不必要条件．故选 A．
本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉 k=0.
一、曲线与方程
1．求曲线方程的步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；
（2）写出适合条件 p 的点 M 的集合 ；
（3）用坐标表示条件 p(M)，列出方程 ；
（4）化方程 为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
l y kx b= +： 2 2 ( 0)y px p= > 2 2y
x
p
b
x
y k
=
= +
0k ≠ 0∆ > 0∆＝
0∆ <
0k = y b= 2 2 ( 0)y px p= >
x m= 0m > 0m =
0m <
{ | ( )}P M p M=
( , ) 0f x y =
( , ) 0f x y =一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲
线上时，可通过限制方程中 x，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出
曲线方程．
2．两曲线的交点
（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成
的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有
交点．
（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就
是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
二、椭圆
1．椭圆的定义
平面上到两定点 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 的轨迹是椭圆. 这两个定点
叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 .
定义式： .
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
2．椭圆的标准方程
焦点在 轴上， ；
焦点在 轴上， .
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道 之间的大小关系和等量关系：
.
3．椭圆的几何性质
标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0)
1 2,F F P
1 2 2F F c=
1 2 1 22 (2 )PF PF a a F F+ = >
x
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
y
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > >
, ,a b c
2 2 2 , 0, 0a c b a b a c− = > > > >
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2 1y x
a b
+ =图形
范围 ， ，
对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点 左焦点 F1 (－c，0)，右焦点 F2 (c，0) 下焦点 F1 (0，－c)，上焦点 F2 (0，c)
顶点
轴
线段 A1A2，B1B2 分别是椭圆的长轴和短轴；
长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，长半轴长为 a，短半轴长为 b
离心率 e
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出 a,c，代入公式 .
（2）只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 a,c 的齐次式，然后等式
（不等式）两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（e 的取值
范围）.
三、双曲线
1． 双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫
做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
a x a− ≤ ≤ b y b− ≤ ≤ b x b− ≤ ≤ a y a− ≤ ≤
1 2 1 2( ,0), ( ,0), (0, ), (0, )A a A a B b B b− − 1 2 1 2(0, ), (0, ), ( ,0), ( ,0)A a A a B b B b− −
2
2
c ce a a
= = (0 1)e< <
ce a
=
, ,a b c 2 2 2b a c= －（2）符号语言： .
（3）当 时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支；
当 时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支；
当 时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条射线；
当 时，动点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
（1）焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，
0)，焦距为 2c，且 .
（2）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(0，－c)，F2(0，
c)，焦距为 2c，且 ．
3．双曲线的几何性质
标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
图形
范围 ， ，
对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点 左焦点 F1(－c，0)，右焦点 F2(c，0) 下焦点 F1(0，－c)，上焦点 F2(0，c)
顶点
1 2 1 22 0 2，MF MF a a F F=
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2 2c a b= +
2 2
2 2 1y x
a b
− =
2 2 2c a b= +
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2 1y x
a b
− =
| |x a≥ y∈R | |y a≥ x∈R
1 2( ,0), ( ,0)A a A a− 1 2(0, ), (0, )A a A a−轴
线段 A1A2 是双曲线的实轴，线段 B1B2 是双曲线的虚轴；
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
离心率 e
在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件 的应用；其
次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
4．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为 ；
（2）渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于 ，离心率 ．
1．求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 的关系 将双曲线的
离心率公式变形，即 .
（2）根据条件列含 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式 转化为含 或 的方程，求解可得，
注意根据双曲线离心率的范围 对解进行取舍.
2．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合 和 ，得到关于 的不等式，
求解即得.注意区分双曲线离心率的范围 ，椭圆离心率的范围 .另外，在建立关于 的
不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
四、抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
by xa
= ± ay xb
= ±
2
2
c ce a a
= = ( 1)e >
1 2|| | | || 2PF PF a− =
2 2 ( 0)x y λ λ− = ≠
y x= ±
2a e = 2
,a c a b c， ， 2 2 2c a b= +
2
2 2
2
11
1
c be a a b
c
= = + =
−
,a c ce a
= e 2e
1( )e∈ + ∞,
2 2 2c a b= + ce a
= e
1( )e∈ + ∞, )1(0e∈ ， e点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F 与准线垂直的直线对称，这条
直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线 l 不经过点 F，若 l 经过 F 点，则轨迹为过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（2）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（3）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（4）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .
注意：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永远大于 0，当
抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0 的错误.
3．抛物线的几何性质
标准方程
图 形
范 围
对称性 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称
焦点
准线方程
顶 点 坐标原点(0，0)
几
何
性
质
离心率
4．抛物线的焦半径
2 2 ( 0)y px p= >
2 2 ( 0)y px p= − >
2 2 ( 0)x py p= >
2 2 ( 0)x py p= − >
2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p= − >
0,x y≥ ∈R 0,x y≤ ∈R 0,y x≥ ∈R 0,y x≤ ∈R
( ,0)2
pF ( ,0)2
pF − (0, )2
pF (0, )2
pF −
2
px = −
2
px =
2
py = −
2
py =
1e =抛物线上任意一点 与抛物线焦点 F 的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程
焦半径公式
5．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，
再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， ， ，则
抛物线方程
焦点弦公式
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物线的通径．
对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 2p．
1．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦
半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即
或 ，使问题简化．
2．有关抛物线上一点 M 到抛物线焦点 F 和到已知点 E（E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可
依据抛物线的图形，过点 E 作准线 l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 E 的距离之
和是最小值.
五、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 ，已知它们的方程为 ，
求曲线 的交点坐标，即求方程组 的实数解.
0 0( ),P x y
2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p= − >
0| | 2
pPF x= + 0| | 2
pPF x= − 0| | 2
pPF y= + 0| | 2
pPF y= −
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p= − >
1 2| | ( )AB p x x= + + 1 2| | ( )AB p x x= − + 1 2| | ( )AB p y y= + + 1 2| | ( )AB p y y= − +
2 2 ( 0)y px p= > ( , )2
pA p ( , )2
pB p− | | 2AB p=
2PF px= +
2PF py= +
1 2,C C 1 2: ( , ) 0, : ( , ) 0C f x y C g x y= =
1 2,C C ( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=
=方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点 相交；直线与椭圆有一个交点 相切；直线与椭圆没有交点 相离.
（2）直线与双曲线有两个交点 相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直
线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点 相离.
（3）直线与抛物线有两个交点 相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直
线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点 相离.
3．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 两个不同的点，
则弦长 .
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
4．中点弦问题
（1）AB 为椭圆 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直线
的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值 .
（2）AB 为双曲线 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在
直线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和双曲线中心 O 的连线的斜率之积为定值 .
（3）在抛物线 中，以 M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率 .
⇔ ⇔ ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 22
1( ) ( ) 1 | | 1 | | ( 0)＝AB x x y y k x x y y kk
− + − = + − = + − ≠
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2
0
2
0
b xk a y
= −
2
2
b
a
−
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2
0
2
0
b xk a y
=
2
2
b
a
2 2 ( 0)y px p= >
0
pk y
=1．渐近线方程为 x±y=0 的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，则 ，所以双曲线的离
心率 .故选 C.
【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双
曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出
现理解性错误.
2．设 F 为双曲线 C： （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交
于 P，Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，
又 ， 为以 为直径的圆的半径，
∴ ， ，
又 点在圆 上， ，即 ．
，故选 A．
2
2
2
0x y± = a b= 2 2 2c a b a= + =
2ce a
= =
a b=
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 3
5
PQ x A PQ x⊥
| |PQ OF c= = | | ,2
cPA PA∴ = ∴ OF
| | 2
cOA = ,2 2
c cP ∴
P 2 2 2x y a+ =
2 2
2
4 4
c c a∴ + =
2 2
2 2
2, 22
c ca e a
= ∴ = =
2e∴ =【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，
避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强
化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出 P
点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 的关系，可求双曲线的离心率．
3．已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 ，
，则 C 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，
由椭圆的定义有 ．
在 中，由余弦定理推论得 ．
在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选 B．
1 21,0 1,0F F−( ) ， ( ) 2 2| | 2 | |AF F B=
1| | | |AB BF=
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − =
1AF B△
2 2 2
1
4 9 9 1cos 2 2 3 3
n n nF AB n n
+ −∠ = =⋅ ⋅
1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3
2n =
2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =法二：由已知可设 ，则 ，
由椭圆的定义有 ．
在 和 中，由余弦定理得 ，
又 互补， ，两式消去 ，得
，解得 ． 所求椭圆
方程为 ，故选 B．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地
落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
4．“푚 > 3”是“曲线푚푥2 ― (푚 ― 2)푦2=1为双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当푚 > 3时,푚 ― 2 > 0,푚푥2 ― (푚 ― 2)푦2=1⟹
푥2
1
푚
―
푦2
1
푚 ― 2
= 1,故方程是双曲线方程.
当原方程为双曲线方程时,有푚 ― 2 > 0,푚 > 0⟹푚 > 2,
由以上说明可知“푚 > 3”是“曲线푚푥2 ― (푚 ― 2)푦2=1为双曲线”的充分而不必要条件,故选 A．
5．顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点( ― 2,3)的抛物线方程是
A．푦2 = 9
4푥 B．푥2 = 4
3푦
C．푦2 = ― 9
4푥或푥2 = ― 4
3푦 D．푦2 = ― 9
2푥或푥2 = 4
3푦
【答案】D
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − =
1 2AF F△ 1 2BF F△
2 2
2 1
2 2
2 1
4 4 2 2 2 cos 4
4 2 2 cos 9
n n AF F n
n n BF F n
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠,
2 23 6 11n n+ = 3
2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =【解析】(1)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是 x 轴,并且经过点(−2,3),
设它的标准方程为 y2=−2px(p>0)，∴9=4p,解得 p=9
4,
∴푦2 = ― 9
2푥.
(2)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是 y 轴,并且经过点(−2,3),
设它的标准方程为 x2=2py(p>0)，∴4=6p,解得 p=2
3.
∴푥2 = 4
3푦.
∴抛物线方程是푦2 = ― 9
2푥或푥2 = 4
3푦.故选 D．
6．已知点푀(0, 15)及抛物线푦2 = 4푥上一动点푁(푥,푦),则푥 +|푀푁|的最小值为
A． 5 B．2 3
C．3 D．4
【答案】C
【解析】抛物线푦2 = 4푥的焦点坐标为퐹(1,0),准线方程为푥 = ―1,
设푁到准线的距离为푑,则푥 + |푀푁|=푑 ― 1 + |푀푁|=|푁퐹| + |푀푁| ― 1 ≥ |푀퐹| ― 1= ( 15)2 + 1 ― 1=3，
当푀,푁,퐹三点共线时，取得最小值，为3.
7．已知双曲线푥2
푎2 ― 푦2
푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左、右焦点分别为퐹1,퐹2,以|퐹1퐹2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个
交点为(1,2),则此双曲线方程为
A．푥2
4 ― 푦2 = 1 B．푥2 ― 푦2
4 = 1
C．푥2
2 ― 푦2 = 1 D．푥2 ― 푦2
2 = 1
【答案】B
【解析】∵双曲线푥2
푎2 ― 푦2
푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左、右焦点分别为퐹1,퐹2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线
的一个交点为(1,2),∴c= 1 + 4= 5,∴a2+b2=5,①
又点(1,2)在 y=푏
푎x 上,∴푏
푎 = 2,②
由①②解得 a=1,b=2,
∴双曲线的方程为푥2 ― 푦2
4 = 1．故选 B．8．椭圆 的左，右焦点分别为 ，弦 过 ，若△ 的内切圆周长为 ， 两点
的坐标分别为 ，则 值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程可得 ，因为 的内切圆周长为 ，所以 的
内切圆的半径为 ，而三角形内切圆半径 和周长 与三角形的面积 的关系为 ，所以
的面积为 ，而 的面积又等于 和 的面积之和，即
，所以 ，故选A．
9．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，
解得 ，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛
物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，从而解出 ，或者利用检验排除的方法，如 时，
抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除 A，同样可排除 B，C，从而得到选 D．
10．双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为
A．2sin40° B．2cos40°
2 2
125 16
x y+ = 1 2,F F AB 1F 2ABF π ,A B
1 1 2 2( , ),( , )x y x y 1 2y y−
5
3
10
3
20
3
5
3
5, 4, 3a b c= = = 2ABF△ π 2ABF△
1
2 R L S 1
2S LR=
2ABF△ 1 14 5 52 2
× × × = 2ABF△ 1 2AF F△ 1 2BF F△
1 2 1 2 1 2
1 6
2 2y y F F y y− ⋅ = − 1 2 1 2
53 5, 3y y y y− = − =
2 2
13
x y
p p
+ =
2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2
p 2 2
3
1x y
p p
+ = 23 ( )2
pp p− =
8p =
p p 2p =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得 ，
，
故选 D．
【名师点睛】对于双曲线： ，有 ；
对于椭圆 ，有 ，防止记混．
11 ．【 2019 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 F ， 准 线 为 l. 若 l 与 双 曲 线
的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且 （O 为原点），则双曲
线的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【解析】抛物线 的准线 的方程为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
则有 ，
∴ ， ， ，
∴ .
故选 D.
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出 AB 的长度.解答时，
只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.
1
sin50°
1
cos50°
tan130 , tan50b b
a a
− = ° ∴ = °
2 2 2 2
2
2 2
sin 50 sin 50 cos 50 11 1 tan 50 1 cos 50 cos 50 cos50
c be a a
° °+ ° ∴ = = + = + ° = + = = ° ° °
( )2 2
2 2 1 0 , 0x y a ba b
− = > >
2
1c be a a
= = +
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2
1c be a a
= = −
2 4y x=
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > | | 4 | |AB OF=
2 3
5
2 4y x= l 1x = −
by xa
= ±
( 1, ), ( 1, )b bA Ba a
− − −
2bAB a
= 2 4b
a
= 2b a=
2 2
5c a be a a
+= = =
4AB OF= , ,a b c12．已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点
分别为 ， ．若 为直角三角形，则
A． B．3
C． D．4
【答案】B
【解析】由题可知双曲线 的渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，从而可得 ，
所以直线 的倾斜角为 或 ，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线
的 方 程 为 ， 分 别 与 两 条 渐 近 线 和 联 立 ， 求 得 ，
，所以 ，故选 B．
13．设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点．过 作 的一条渐
近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知 ， ， ，在 中， ，
在 中 ， ， ， 即
， ，故选 C．
14．已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ，
两点．设 ， 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为
A． B．
2
2: 13
xC y− = O F C F C
M N OMN△ | |MN =
3
2
2 3
C 3
3
± (2,0)F 30FON∠ = °
MN 60° 120° 60° MN
3( 2)y x= − 3
3y x= 3
3y x= − (3, 3)M
3 3( , )2 2N − 2 23 3| | (3 ) ( 3 ) 32 2MN = − + + =
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > O 2F C
P 1| 6 || |PF OP= C
5 2
3 2
2PF b= 2OF c= PO a∴ = 2Rt POF△ 2
2
2
cos PF bPF O OF c
∠ = =
1 2Rt PF F△
2 2 2
2 1 2 1
2
2 1 2
cos 2
PF F F PF bPF O PF F F c
∠ + −= = 2 2 24 ( 6 )
2 2
b c a b
b c c
+ −∴ =⋅
2 23c a= 3e∴ =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 x A
B A B 1d 2d 1 2 6d d+ =
2 2
14 12
x y− =
2 2
112 4
x y− =C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为 ，则 ，由 可得 ，不
妨设 ， ，双曲线的一条渐近线方程为 ，据此可得
， ，则 ，则 ， ，双曲线的离心率
，据此可得 ，则双曲线的方程为 ．故选 C．
15．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为
的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ，
由 的斜率为 可得 ，
所以 ， ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ， ，故选 D．
2 2
13 9
x y− =
2 2
19 3
x y− =
( ,0)( 0)F c c > A Bx x c= = 2 2
2 2 1c y
a b
− =
2by a
= ±
2
( , )bA c a
2
( ), bB c a
− 0bx ay− =
2
1 2 2
|| bc bd
a b
−= =
+
2bc b
c
− 2 2
2 2 2
|| bc b bc bd ca b
+ += =
+ 1 2
2 2 6bcd d bc
+ = = = 3b = 2 9b =
2
2 2
91 1 2c be a a a
= = + = + = 2 3a =
2 2
13 9
x y− =
1F 2F
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >： A C P A
3
6 1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ = ° C
2
3
1
2
1
3
1
4
1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ = ° 2 1 2 2PF F F c= =
AP 3
6 2
3tan 6PAF∠ =
2
1sin
13
PAF∠ =
2
12cos
13
PAF∠ =
2 2
2 2
sin
sin
PF PAF
AF APF
∠= ∠
2
1 1
2 213 13=π 53 12 1 1sin( )3 2 213 13
c
a c PAF
= =+ − ∠ × − ×
4a c= 1
4e =【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于푎,푏,푐的方程或不等式，再
根据푎,푏,푐的关系消掉푏得到푎,푐的关系式，而建立关于푎,푏,푐的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、
点的坐标的范围等.
16．已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线
相切，则 C 的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】以线段 为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为 ，
直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，整理可得
，即 即 ，
从而 ，则椭圆的离心率 ，故选 A．
17．已知 F 为抛物线 C： 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，
直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14
C．12 D．10
【答案】A
【 解 析 】 设 ， 直 线 的 方 程 为 ， 联 立 方 程
，得 ，∴ ，
同理直线 与抛物线的交点满足 ，
2 2
2 2 0)1(x y
a b a b+ = > >
2 0bx ay ab− + =
6
3
3
3
2
3
1
3
1 2A A (0,0) r a= 2 2 2x y a+ =
2 0bx ay ab− + =
2 2
2abd a
a b
= =
+
2 23a b= 2 2 23( )a a c= − 2 22 3a c=
2
2
2
2
3
ce a
= = 2 6
3 3
ce a
= = =
2 4y x=
1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y D x y E x y 1l 1( 1)y k x= −
2
1
4
( 1)
y x
y k x
=
= −
2 2 2 2
1 1 12 4 0k x k x x k− − + =
2
1
1 2 2
1
2 4kx x k
− −+ = −
2
1
2
1
2 4k
k
+=
2l
2
2
3 4 2
2
2 4kx x k
++ =由 抛 物 线 定 义 可 知
，当且仅当 （或 ）时，取等号．故选 A．
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直
线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用
函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ，则
，则 ，所以
．
18．椭圆푥2
6 + 푦2
2 =1和双曲线푥2
3 ― 푦2
1 =1的公共焦点为퐹1,퐹2,푃是两曲线的一个交点,那么cos∠퐹1푃퐹2的值是
________________．
【答案】1
3
【解析】不妨设点 P 是第一象限的点,
由题意可得|퐹1푃| + |퐹2푃| = 2 6, |퐹1푃| ― |퐹2푃|=2 3,| 퐹1퐹2|=4,
所以|퐹1푃| = 6 + 3,|퐹2푃| = 6 ― 3,
则cos∠퐹1푃퐹2= .
19．在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是
▲ .
【答案】
【解析】由已知得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 .
【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得
2 2
1 2
1 2 3 4 2 2 2 2
1 2 1 2
2 4 2 4 4 4| | | | 2 4 8k kAB DE x x x x p k k k k
+ ++ = + + + + = + + = + +
2 2
1 2
162 8 16k k
≥ + = 1 2 1k k= − = 1−
α
2
2| | sin
pAB α=
2
2
2 2| | π cossin ( + )2
p pDE αα
= = 2 2 2
2 2 1| | | | 4(cos sin cos
p pAB DE α α α+ = + = +
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 sin cos) 4( )(cos sin ) 4(2 ) 4 (2 2) 16sin cos sin cos sin
α αα αα α α α α= + + = + + ≥ × + =
2 2 2
1 2 1 2
1 2
1
2 3
F P F P F F
F P F P
+ − =
xOy
2
2
2 1( 0)yx bb
− = >
2y x= ±
2
2
2
43 1b
− = 2b = 2b = −
0b > 2b =
1a = 2y x= ±分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 密切相关，事实上，标准方程中化 1 为 0，即得渐近线
方程.
20．已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线
分别交于 A，B 两点．若 ， ，则 C 的离心率为____________．
【答案】2
【解析】如图，
由 得 又 得 OA 是三角形 的中位线，即
由 ，得 ∴ ， ，
又 OA 与 OB 都是渐近线，∴
又 ，∴
又渐近线 OB 的斜率为 ，∴该双曲线的离心率为
．
【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算
素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到 和 ，
从 而 可 以 得 到 ， 再 结 合 双 曲 线 的 渐 近 线 可 得 进 而 得 到
从而由 可求离心率.
21．设 为椭圆 C: 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，
则 M 的坐标为___________.
,a b
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1F A AB=
1 2 0F B F B⋅ =
1 ,F A AB=
1 .F A AB= 1 2 ,OF OF= 1 2F F B 2 2, 2 .BF OA BF OA=∥
1 2 0F B F B⋅ =
1 2 1, ,F B F B OA F A⊥ ∴ ⊥ 1OB OF= 1AOB AOF∠ = ∠
2 1,BOF AOF∠ = ∠
2 1 πBOF AOB AOF∠ + ∠ + ∠ = 2 1 60 ,BOF AOF BOA∠ = ∠ = ∠ =
tan 60 3b
a
= ° =
2 21 ( ) 1 ( 3) 2c be a a
= = + = + =
1F A AB= 1OA F A⊥
1AOB AOF∠ = ∠ 2 1,BOF AOF∠ = ∠
2 1 60 ,BOF AOF BOA∠ = ∠ = ∠ = tan 60 3b
a
= ° =
1 2F F，
2 2
+ 136 20
x y = 1 2MF F△【答案】
【解析】由已知可得 ，
，∴ ．
设点 的坐标为 ，则 ，
又 ，解得 ，
，解得 （ 舍去），
的坐标为 ．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落
实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出 ，设出 的
坐标，结合三角形面积可求出 的坐标.
22．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为
圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法 1：如图，设 F1 为椭圆右焦点.由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，设 ，可得 ，
与方程 联立，可解得 （舍），
又点 在椭圆上且在 轴的上方，求得 ，所以 .
( )3, 15
2 2 2 2 236 , 20 , 16 , 4a b c a b c= = ∴ = − = ∴ =
1 1 2 2 8MF F F c∴ = = = 2 4MF =
M ( )( )0 0 0 0, 0 , 0x y x y> >
1 2 1 2 0 0
1 42MF FS F F y y= ⋅ ⋅ =△
1 2
2 2
0
1 4 8 2 4 15 , 4 4 152MF FS y= × × − = ∴ =△ 0 15y =
( )2
2
0
15
136 20
x∴ + = 0 3x = 0 3x = −
M\ ( )3, 15
1 2MF MF、 M
M
2 2
19 5
x y+ = F P x PF O
OF PF
15
| |=| 2OF OM |= c=
1 2 | | 4PF OM= = ( , )P x y 2 2( 2) 16x y− + =
2 2
19 5
x y+ = 3 21,2 2x x= − =
P x 3 15,2 2P
−
15
2 151
2
PFk = =方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，即 ，
从而可求得 ，所以 .
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结
合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用
圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.
23 ． 已 知 A,B 是 直 线 y=-2 上 的 两 动 点 , ∠ AOB=π
4(O 为 坐 标 原 点 ), 则 外 心 M 的 轨 迹 方 程 为
________________．
【答案】(y+4)2-x2=8(y≥2 2-4)
【解析】设 M(x,y),过 M 作 MN⊥AB,交 AB 于点 N,由外心的性质得∠AMN=π
4,cosπ
4 = 푀푁
퐴푀 = 푀푁
푀푂 =
|푦 + 2|
푥2 + 푦2,整
理得(y+4)2-x2=8(y≥2 2-4).故 外心 M 的轨迹方程为(y+4)2-x2=8(y≥2 2-4).
24．已知抛物线 C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是抛物线上的点.若存在斜率为-2 的直线 l 与抛物线 C 有公共点,且
点 A 到直线 l 的距离等于 5
5 ,则直线 l 的方程是________________．
【答案】2x+y-1=0
【解析】根据题意,得 4=2p,得 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.设直线 l 的方程为 y=-2x+t,由
{푦 = ―2푥 + 푡,
푦2 = 4푥 得 y2+2y-2t=0,因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥-1
2.由点 A 到直
线 l 的距离 d= 5
5 ,可得| ― 푡|
5 = 5
5 ,解得 t=±1.因为 t≥-1
2,所以 t=1,所以直线 l 的方程为 2x+y-1=0.
| 2OF |=|OM |= c=
1 2 | | 4PF OM= = 34 2p pa ex x− = ⇒ = −
3 15,2 2P
−
15
2 151
2
PFk = =
AOB△
AOB△25．已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点 A，B 满足 =2 ，则当 m=___________时，点 B 横坐
标的绝对值最大．
【答案】
【解析】设 ， ，
由 得 ， ，
所以 ，
因为 ， 在椭圆上，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
与 对应相减得 ， ，
当且仅当 时取最大值．
【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一
般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，
然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
26．在平面直角坐标系 中， ， ， 为不在 轴上的动点，直线 、 的斜率满
足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若 ， 是轨迹 上两点， ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 为轨迹 上任意一点，
依题意， ，
整理化简得： .
（2）设
2
4
x AP PB
5
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2AP PB= 1 22x x− = 1 21 2( 1)y y− = −
1 22 3y y− = −
A B
2
21
14
x y m+ =
2
22
24
x y m+ =
2
22
2
4 (2 3)4
x y m+ − =
2
2
4
x + 2
2
3
2 4( ) my − =
2
22
24
x y m+ = 2
3
4
my
+= 2 2
2
1 ( 10 9) 44x m m= − − + ≤
5m =
xOy ( )2,0A − ( )2,0B P x PA PB
1
4PA PBk k = −
P Γ
( )3,0T ,M N Γ 1MNk = TMN△
( )2
2 1 04
x y y+ = ≠ 16
5
( ),P x y Γ
1
2 2 4
y y
x x
× = −+ −
( )2
2 1 04
x y y+ = ≠
:MN y x b= +由 ，得 ， ，
设 ，则 ， ，
，
到直线 的距离 ，
的面积 ，
设 ， ，
解 ，得 或 或 ，
因为 ，即 有且仅有一个解 ，
所以 面积的最大值为 .
【名师点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，同时考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根
与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、以及利用导数求函数最值的
运用.
27．已知点 是椭圆 上一点， 是椭圆的两焦点，且满足
，
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点 是椭圆上任意一点，如果 最大时，求证： 、 两点关于原点 不对称.
【答案】（1） ， ；（2）见解析.
【解析】（1）由椭圆定义知： ，∴ ，
∴ ，把 代入得 ，
2
2 14
x y
y x b
+ =
= +
( )2 25 2 1 04 x bx b+ + − = 25 0b∆ = − >
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2
8
5x x b+ = − ( )2
1 2
4 15x x b= −
2
1 2
4 22 55MN x x b= − = −
T MN 3
2
bd
+=
TMN∆ ( ) ( )22 22 31 25 3 52 5 5
bS MN d b b b
+= × × = − = + −
( ) ( ) ( )2 23 5f x x x= + − ( )( )( )( ) 2 3 1 2 5f ' x x x x= − + − +
( ) 0f ' x = 1x = 5
2x = − 3x = −
25 0b∆ = − > ( ) 0f ' x = 1x =
TMN△ ( ) ( )22 161 3 5 15 5
+ − =
( )1,1A ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1 2,F F
1 2 4AF AF+ =
B AB A B O
2 6 ,03
2 6 ,03
−
2 4a = 2a =
2 2
2 14
x y
b
+ = ( )1,1 2
1 1 14 b
+ =∴ ，则椭圆方程为 ，
∴ ，∴ ，
故两焦点坐标分别为 ， .
（2）用反证法：假设 A、B 两点关于原点 O 对称，则 B 点坐标为 ，
此时 ，取椭圆上一点 ，则 ，
∴ ．
从而此时 不是最大，这与 最大矛盾，所以命题成立．
【名师点睛】本题考查椭圆的定义及椭圆中三个参数的关系 ，考查利用反证法证明命题，
属于中档题．
28．已知命题 ：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 ：双曲线 的离心率
, 若 有且只有一个为真, 求 的取值范围.
【答案】
【解析】将方程 改写为 ，
只有当 ，即 时，方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，
所以命题 p 等价于 .
因为双曲线 的离心率 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以命题 q 等价于 .
若 p 真 q 假，则 ；若 p 假 q 真，则 ，
2 4
3b =
2 2
144
3
x y+ =
2 2 2 4 84 3 3c a b= − = − = 2 6
3c =
2 6 ,03
2 6 ,03
−
( )1, 1− −
2 2AB = ( )2 0M − ， 10AM =
AM AB>
AB AB
2 2 2c a b= −
p
2 2
12 1
x y
m m
− =− q
2 2
15
y x
m
− =
( )1,2e∈ ,p q m
1 153 m≤ <
2 2
12 1
x y
m m
− =−
2 2
12 1
x y
m m
+ =−
1 2 0m m− > > 10 3m< <
10 3m< <
2 2
15
y x
m
− = ( )1,2e∈
0m > 51 45
m+< < 0 15m< <
0 15m< <
m∈∅ 1 153 m≤ >
2POF△
1 2PF PF⊥ 1 2F PF△
3 1− 4b = [4 2, )+∞
1PF 2POF△ 1 2F PF△ 1 2 90F PF∠ = ° 2PF c=
1 3PF c= 1 22 ( 3 1)a PF PF c= + = + C 3 1ce a
= = −（2 ）由题意可知，满足条件的点 存在．当且仅当 ， ，
，即 ，①
，②
，③
由②③及 得 ，又由①知 ，故 ．
由②③得 ，所以 ，从而 故 .
当 ， 时，存在满足条件的点P．
所以 ， 的取值范围为 ．
【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的
简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.
31．已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B．
（1）证明：直线 AB 过定点；
（2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2） 或 .
【解析】（1）设 ，则 ．
由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 ．
整理得
设 ，同理可得 ．
故直线AB的方程为 ．
( , )P x y 1 | | 2 162 y c⋅ = 1y y
x c x c
⋅ = −+ −
2 2
2 2 1x y
a b
+ = | | 16c y =
2 2 2x y c+ =
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2 2a b c= +
4
2
2
by c
=
2
2
2
16y c
= 4b =
( )2
2 2 2
2
ax c bc
= − 2 2c b≥ 2 2 2 22 32,a b c b= + ≥ = 4 2a ≥
4b = 4 2a ≥
4b = a [4 2, )+∞
2
2
x 1
2
−
5
2
2
2 5 42x y + − =
2
2 5 22x y + − =
( )1 1
1, , ,2D t A x y −
2
1 12x y=
y' x= 1x 1
1
1
1
2y
xx t
+
=−
1 12 2 +1=0. tx y−
( )2 2,B x y 2 22 2 +1=0tx y−
2 2 1 0tx y− + =所以直线AB过定点 ．
（2）由（1）得直线AB的方程为 ．
由 ，可得 ．
于是 .
设M为线段AB的中点，则 ．
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 ．解得t=0或 ．
当 =0时， =2，所求圆的方程为 ；
当 时， ，所求圆的方程为 ．
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班
地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.
32．设椭圆 的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B.已知 （O 为
原点）.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，
圆心 C 在直线 x=4 上，且 ，求椭圆的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，
解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
1(0, )2
1
2y tx= +
2
1
2
2
y tx
xy
= +
=
2 2 1 0x tx− − =
( ) 2
1 2 1 2 1 22 , 1 2 1x x t y y t x x t+ = + = + + = +
2 1, 2M t t +
EM AB⊥ ( )2, 2EM t t= − AB (1, )t ( )2 2 0t t t+ − = 1t = ±
t | |EM 2
2 5 42x y + − =
1t = ± | | 2EM = 2
2 5 22x y + − =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3 | | 2 | |OA OB=
3
4
OC AP∥
1
2
2 2
116 12
x y+ =
3 2a b= 2 2 2a b c= + b
2
2 23
2a a c
= +
1
2
c
a
=
1
2（2）由（1）知， ，故椭圆方程为 .
由题意， ，则直线 的方程为 ，
点 P 的坐标满足 消去 并化简，得到 ，解得 .
代入到 的方程，解得 .
因为点 在 轴上方，所以 .
由圆心 在直线 上，可设 .
因为 ，且由（1）知 ，故 ，解得 .
因为圆 与 轴相切，所以圆的半径长为 2，
又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为 .
【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法
研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
2 , 3a c b c= =
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
( , 0)F c− l 3 ( )4y x c= +
2 2
2 2 1,4 3
3 ( ),4
x y
c c
y x c
+ =
= +
y 2 27 6 13 0x cx c+ − = 1 2
13, 7
cx c x= = −
l 1 2
3 9,2 14y c y c= = −
P x 3, 2P c c
C 4x = (4, )C t
OC AP∥ ( 2 , 0)A c−
3
2
4 2
ct
c c
= +
2t =
C x
C l 2
3 (4 ) 24 2
31 4
c+ −
=
+
=2c
2 2
116 12
x y+ =
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