2020年高考数学学霸纠错笔记：三角函数

不能正确理解三角函数的定义 角 α 的终边落在直线 y＝2x 上，则 sinα 的值为 A．－ 5 5 B． 5 5 C．2 5 5 D．±2 5 5 【错解】选 C. 在角的终边上取点 P(1,2)，∴r＝|OP|＝ 12＋22＝ 5，∴sinα＝ y r＝ 2 5＝ 2 5 5 ，故选 C． 【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错 解中没有对两种情况进行讨论导致错误． 【试题解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点 P(1,2)， 由 r＝|OP|＝ 12＋22＝ 5，得 sinα＝ 2 5＝ 2 5 5 . 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点 Q(－1，－2)，∴ ， ∴sinα＝ －2 5＝－ 2 5 5 . 故选 D． 【参考答案】D 1．定义 设 是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 的终边上任意 一 点 ， 到 原 点 的 距 离 ， 那 么 角 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 分 别 是 ． 注意：正切函数 的定义域是 ，正弦函数和余弦函数的定义域都是 . 2．三角函数值在各象限内的符号 2 2( 1) ( 2) 5r OQ= − + −= = α x ( ),P x y α P ( )0OP r r= > α sin , cos , tany x y r r x α α α= = = tan y x α = ππ ,2k kα α ≠ + ∈  Z R三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．在平面直角坐标系中，角 以 轴非负半轴为始边，终边在射线 上，则 的值是 A．2 B．−2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角 以 轴非负半轴为始边，终边在射线 上， 设终边上的点 ，根据三角函数的定义可得 ，故选 A． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考 查了推理与运算能力，属于基础题． 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值 已知 cosθ＝t，求 sinθ、tanθ 的值． 【错解】①当 00）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一 个整体，通过解不等式求解．但如果 ω > ∴ ω 2, 2k = =ω π( ) 2sin(2 )6f x x= + ( ) ( ) 0f a x f a x+ − − = ( )f x x a= π π2 π ,6 2a k k+ = + ∈Z π π ,2 6 ka k= + ∈Z a π 6 , ,A ϕ ω ( )f x ( ) ( ) 0f a x f a x+ − − = ( )f x x a= ABC△ , ,A B C , ,a b c 22 sin sin sin ,6 5b B c C a A ac b− = = πcos 4B + =   2 5 2 5 − 2 10 2 10 − 2 2 2 2 2 22 , 2b c a a c b− = ∴ + = 252 3ac b=结合余弦定理有： ，则 ， 利用两角和的余弦公式可得： . 本题选择 D 选项. 13．已知sin훼 + cos훽 = 1，cos훼 + sin훽 = 0，则sin(훼 + 훽) = __________． 【答案】 ― 1 2 【解析】因为sin훼 + cos훽 = 1，cos훼 + sin훽 = 0， 所以 ， 因此sin(훼 + 훽) = sin훼cos훽 + cos훼sin훽 = 1 2 × 1 2 ― cos2훼 = 1 4 ― 1 + sin2훼 = 1 4 ― 1 + 1 4 = ― 1 2. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 14．已知 ，且 ，则 __________． 【答案】 【解析】由题意有 ，得 ， 由 ， ，有 ，得 ， 则 . 2 2 2 2 2 2 2 3cos 52 5 3 a c b b bB ac b + − −= = = 2 4sin 1 cos 5B B= − = ( )π 2 2 1 2cos cos sin4 2 2 5 10B B B   + = − = × − = −       ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 11 sin cos 1, 1 cos sin 1, sin ,cos2 2 α α β β α β− + − = − + − = ∴ = = π0 2 α β< < < 1 costan sin βα β −= πsin 2 6 β α  − + =     3 2 − sin 1 cos cos sin α β α β −= ( )cos cosβ α α− = π0 2 β α< − < π0 2 α< < β α α− = 2β α= π π 3sin 2 sin6 3 2 β α    − + = − = −        【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简， 求得 ，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据三角 函数的基本关系式，化简得 ，进而可得 ，代入即可求解. 15．已知函数 的部分图象如下图所示，将 的 图象向左平移 个单位长度，得到函数 ，则 的单调递减区间为_________. 【答案】 【解析】由函数 的图象可得 ，∴ ， ∴ ， 又根据“五点法”可得 ，∴ ， ∴ ， 由函数图象的平移可得 ． ∵ ， ∴ ， 当 ，即 时，函数 单调递增，函数 单调递减， ∴函数 的单调递减区间为 ． 2β α= ( )cos cosβ α α− = 2β α= ( ) ( )sin ( , , 0 0)f x A x A Aω φ ω φ ω= + > >为常数， ， ( )f x π 3 ( )g x ( ) π, 0, 2y g x x  = ∈   π0 4     ， ( )y f x= 7π π2, 4 π12 3A T  = = − =   2π 2π ω = = ( ) ( )2sin 2f x x φ= + π2 π3 φ× + = π 3 φ = ( ) π2sin 2 3f x x = +   ( ) π π2sin 2 2sin23 3g x x x   = + + = −     π0 2x≤ ≤ 0 2 πx≤ ≤ π0 2 2x≤ ≤ π0 4x≤ ≤ 2sin 2y x= ( ) 2sin2g x x= − ( ) π, 0, 2y g x x  = ∈   π0, 4     故答案为 ． 【名师点睛】先根据图象求出函数 的解析式，然后再根据图象的平移得到函数 的解析式， 最后根据所给区间得到所求． （1）已知函数 的图象求解析式时，其中 可由图象直接得到，由图象得到函数的 周期后可得 的值， 的求法有两种，一是根据代点法求解，二是根据“五点法”求解． （2）研究函数 的性质时，常把 看作一个整体后结合正弦函数的相关性质求 解，解题时注意 的符号对结果的影响． 16． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________. 【答案】 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 ， 得 ． ， ∴ ，即 ， 【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法， 利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在 范围内，化边 为角，结合三角函数的恒等变化求角． 17． 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ． （1）求 B； （2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． 【答案】（1）B=60°；（2） . 【解析】（1）由题设及正弦定理得 ． 因为sinA 0，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． π0, 4      ( )f x ( )g x ( )siny A xω φ= + A ω φ ( )siny A xω φ= + xω φ+ ,A ω ABC△ 3π 4 sin sin sin cos 0B A A B+ = (0, ), (0, )A B∈ π ∈ π sin 0,A∴ ≠ sin cos 0B B+ = tan 1B = − 3 .4B π∴ = (0,π) ABC△ sin sin2 A Ca b A + = 3 3( , )8 2 sin sin sin sin2 A CA B A + = ≠ sin sin2 A C B + = 180A B C °+ + = sin cos2 2 A C B+ = cos 2sin cos2 2 2 B B B=因为 ，故 ，因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积 ． 由正弦定理得 ． 由于△ABC为锐角三角形，故0°