换元求解析式时忽略自变量范围的变化
已知 ，求 f（x）的解析式.
【错解】令 ，则 x＝t2＋1，所以 f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有 f（x）＝2－x2.
【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“ ”是有范围限制的．利用换元
法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．
【试题解析】令 ，则 t≥0，且 x＝t2＋1，所以 f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0），
即 f（x）＝2－x2（x≥0）．
【参考答案】f（x）＝2－x2（x≥0）．
利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．
1．已知 ，则
A． B．
C． D．
【解析】（换元法）：令 ，则 ，所以 ，
所以 ．故选 A．
【答案】A
注意：用 替换后，要注意 的取值范围为 ，忽略了这一点，在求 时就会出错.本题也可用配
凑法，具体解析过程如下： ，又 ，所
以 ．故选 A．
分段函数的参数范围问题
设函数 ,则满足 的 a 的取值范围是
( )1 3f x x− −＝
1x t− =
1x −
1x t− =
( )1 2f x x x+ = + ( )f x =
( )2 1 1x x− ≥ 2 1x −
( )2 1 1x x+ ≥ 2 1x +
1t x= + ( )21 , 1x t t= − ≥ ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 1f t t t t t= − + − = − ≥
( ) ( )2 1 1f x x x= − ≥
t t 1t ≥ ( )f x
( ) ( )2
1 2 2 1 1 1 1f x x x x x x+ = + = + + − = + − 1 1x + ≥
( ) ( )2 1 1f x x x= − ≥
3 1, 1( )
2 , 1x
x xf x
x
− ( )f x 0a >
( ) 23 1 5 1
aa − × + ≥ 2a ≤
a 0 2a< ≤
2( ) 6f x x kx= − −
( )4,16 [ ]4,16
[ )16,+∞ ] [( ),4 16,−∞ +∞
2( ) 6f x x kx= − −
2
k=
2
k ≤
2
k ≥即 k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；
故选 D．
【答案】D
忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝（x－1）
x＋1
x－1；
（2）f（x）＝
1－x2
|x＋2|－2.
【错解】（1）f（x）＝（x－1）·
x＋1
x－1＝ x2－1.
∵ ，∴f（x）为偶函数．
（2） ，
∵f（－x）≠－f（x）且 f（－x）≠f（x），∴f（x）为非奇非偶函数．
【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定
义域制约条件下将 f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性．
【试题解析】（1）由
x＋1
x－1≥0 得{x|x＞1，或 x≤－1}，
∵f（x）定义域关于原点不对称，
∴f（x）为非奇非偶函数．
（2）由Error!得－1≤x≤1 且 x≠0，定义域关于原点对称，
又－1≤x≤1 且 x≠0 时，f（x）＝
1－x2
x＋2－2＝
1－x2
x ，
∵ ，
∴f（x）为奇函数．
【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．
根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性
2( )( ) ( )1f fx x x− −− = =
2 21 ( ) 1
| 2 |( 2) 2 | | 2
x xf x x x
− − −
− +− − − −＝ ＝
2 21 (( ) ) 1 ( )x xf x f xx x
− − −− = −−− ＝ ＝的条件．
函数奇偶性判断的方法
（1）定义法：
（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对称，则函数为偶函
数．此法多用在解选择填空题中．
4．下列函数是奇函数的是
A． B．
C． D．
【解析】 ，所以 A 为非奇非偶函数，
，所以 B 为偶函数，
，所以 C 为奇函数，
，所以 D 为偶函数，
故选 C.
【答案】C
判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称
的既不是奇函数也不是偶函数.再找 与 的关系，若 ，则函数 为偶函数；
若 ，则函数 为奇函数.
因忽略幂底数的范围而导致错误
cosy x x= + 3 siny x x=
( )2ln 1y x x= + − e ex xy −= +
cos1 1 cos( 1) 1,cos1 1 [cos( 1) 1]+ ≠ − − + ≠ − − −
3 3sin [( ) sin( )],x x x x x= − − ∈R
2 21 0, ,x x x x x+ − > − ≥ ∴ ∈R
( ) ( )2 2ln 1 ln ( ) 1 ( ) ln1 0x x x x+ − + − + − − = =
( )e e e e ,x x x x x− − − −+ = + ∈R
( )f x ( )f x− ( ) ( )f x f x− = ( )f x
( ) ( )f x f x− = − ( )f x化简（1－a）[（a－1）－2（－a）
1
2
]
1
2
＝________.
【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）
1
2
]
1
2
＝（1－a）（a－1）－1·（－a）
1
4
＝－（－a）
1
4
.
【错因分析】忽略了题中有（－a）
1
2
，即相当于告知－a≥0，故 a≤0，这样，[（a－1）－2]
1
2
≠（a－1）－1.
实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．
【试题解析】由（－a）
1
2
知－a≥0，故 a－1c，a>b，
又 b70＝514＝（57）2＝（78125）2
c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，
∴a＞b＞c，
故选 A．
【答案】A
1
2( )a−
2a = 5 5b = 7 7c =
a b c> > a c b> >
b a c> > c b a> >
2= 5 5= 7 7=忽略了对数式的底数和真数的取值范围
对数式 log（a－2）（5－a）＝b 中，实数 a 的取值范围是
A．（－∞，5） B．（2,5）
C．（2，＋∞） D．（2,3）∪（3,5）
【错解】由题意，得 5－a>0，∴a
1( )f x x x
= +
( 1) 2 0f − = − < (1) 2 0f = > ( )f x
1( )f x x x
= +
( )f x { | 0}x x ≠ 0x > ( ) 0f x > 0x < ( ) 0f x <
( )f x零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.
8．已知函数 ，若函数 存在零点，则实数 a 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解析】函数 的图象如图：
若函数 存在零点，则实数 a 的取值范围是（0，+∞）．
故选 D．
【答案】D
一、函数
（1）映射：设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个
元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 为从集合 A 到集合 B 的一
个映射.
（2）函数：非空数集 非空数集 的映射，其要素为定义域 、对应关系 ，函数的值域
.
求函数定义域的主要依据：
①分式的分母不为 0；
②偶次方根的被开方数不小于 0；
2 ,( )
,
x x af x
x x a
≥= − ( ) e 1 ( )xf x f x−− = − = −
( ) e 1xf x −= − +故选 D．
【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利
用转化与化归的思想解题．
3．函数 在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由 ，
得 或 ，
， 或 ．
在 的零点个数是 3.
故选 B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函
数的零点可得答案.
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2−m1= ，其
中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与
天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足 ，
令 ，
则
从而 .
( ) 2sin sin2f x x x= −
( ) 2sin sin 2 2sin 2sin cos 2sin (1 cos ) 0f x x x x x x x x= − = − = − =
sin 0x = cos 1x =
[ ]0,2πx∈ 0 πx∴ = 、 2π
( )f x∴ [ ]0,2π
2
15
2 lg E
E
1
2 1
2
5 lg2
Em m E
− =
2 11.45, 26.7m m= − = −
( )1
2 1
2
2 2lg ( 1.45 26.7) 10.1,5 5
E m mE
= − = × − + =
10.11
2
10E
E
=故选 A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对
数的运算.
5．函数 f(x)= 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对
称．
又 ，可知应为 D 选项中的图象．
故选 D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性
质法和赋值法，利用数形结合思想解题．
6．已知函数 若关于 x 的方程 恰有两个互异的实数解，
则 a 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
2
sin
cos
+
+
x x
x x [ , ]−π π
2 2
sin( ) ( ) sin( ) ( )cos( ) ( ) cos
x x x xf x f xx x x x
− + − − −− = = = −− + − + ( )f x
2
2
π1π 4 2π2( ) 1,π2 π( )2
f
+ += = >
2
π(π) 01 πf = >− +
2 , 0 1,
( ) 1 , 1.
x x
f x
xx
≤ ≤= >
1( ) ( )4f x x a a= − + ∈R
5 9,4 4
5 9,4 4
5 9, {1}4 4
5 9, {1}4 4
【解析】作出函数 的图象，
以及直线 ，如图，
关于 x 的方程 恰有两个互异的实数解，
即为 和 的图象有两个交点，
平移直线 ，考虑直线经过点 和 时，有两个交点，可得 或 ，
考虑直线 与 在 时相切， ，
由 ，解得 （ 舍去），
所以 的取值范围是 .
故选 D.
【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别
是其中一个函数的图象为直线时常用此法.
7．在同一直角坐标系中，函数 ， (a>0，且 a≠1)的图象可能是
【答案】D
2 , 0 1,
( ) 1 , 1
x x
f x
xx
≤ ≤= >
1
4y x= −
1( ) ( )4f x x a a= − + ∈R
( )y f x= 1 ( )4y x a a= − + ∈R
1
4y x= − (1,2) (1,1) 9
4a = 5
4a =
1 ( )4y x a a= − + ∈R 1y x
= 1x > 21 14ax x− =
2 1 0a∆ = − = 1a = 1−
a { }5 9, 14 9
1
xy a
= 1( 2log )ay x= +【解析】当 时，函数 的图象过定点 且单调递减，则函数 的图象过定点
且单调递增，函数 的图象过定点 且单调递减，D 选项符合；
当 时，函数 的图象过定点 且单调递增，则函数 的图象过定点 且单调递减，
函数 的图象过定点 且单调递增，各选项均不符合.
综上，选 D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是
不能通过讨论 的不同取值范围，认识函数的单调性.
8．已知单调函数 ，对任意的 都有 ，则
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【解析】设 ，则 ，且 ，
令 ，则 ，解得 ，∴ ，∴ ．
故选 C．
【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换
能力．
9．设 是定义域为 R 的偶函数，且在 单调递减，则
A． （log3 ）＞ （ ）＞ （ ）
B． （log3 ）＞ （ ）＞ （ ）
C． （ ）＞ （ ）＞ （log3 ）
D． （ ）＞ （ ）＞ （log3 ）
【答案】C
【解析】 是定义域为 的偶函数， ．
0 1a< < xy a= (0,1) 1
xy a
= (0,1)
1log 2ay x = +
1( ,0)2
1a > xy a= (0,1) 1
xy a
= (0,1)
1log 2ay x = +
1( ,02
）
a
( )f x x∈R ( ) 2 6f f x x − = ( )2f =
( ) 2t f x x= − ( ) 6f t = ( ) 2f x x t= +
x t= ( ) 2 3 6f t t t t= + = = 2t = ( ) 2 2f x x= + ( )2 2 2 2 6f = × + =
( )f x ( )0,+∞
f 1
4
f
3
22
− f
2
32
−
f 1
4
f
2
32
− f
3
22
−
f
3
22
− f
2
32
− f 1
4
f
2
32
− f
3
22
− f 1
4
( )f x R 3 3
1(log ) (log 4)4f f∴ =，
又 在(0，+∞)上单调递减，
∴ ，
即 .
故选 C．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量
比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．
10．函数 ，关于 的方程 有 4 个不相等实根，则实数 的取
值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意画出函数 的图象，如图.
令 ，原问题等价于关于 的方程 有两个根 ，每个 值对应两个 x
值，故有两种情况：
2 23 3
0 3 32 2
3 3 3log 4 log 3 1,1 2 2 2 , log 4 2 2
− −− −> = = > > ∴ > >
( )f x
2 3
3 2
3(log 4) 2 2f f f
− − < >
( )
ex
xf x = x ( ) ( ) ( )2 1 1 0f x m f x m− + + − = m
2
2
e e( ,1)e e
−
+
2
2
e e +1( , )e e
− +∞+
2
2
e e 1( ,1)e e
− +
+
2
2
e e( , )e e
− +∞+
( )f x
( )t f x= t ( )2 1 1 0t m t m− + + − = 1 2,t t t； .
当属于情况①时，将 代入 得到 ，
此时方程 的根是确定的，一个为 0，一个为 2，不符合题意；
当属于情况②时，
【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，
还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几
个不同的值，就有几个不同的零点．
11．已知 ，函数 ．若函数 恰有 3 个零点，
则
A．a0
【答案】C
【解析】当 x＜0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得 x = 푏
1 ― 푎，
则 y＝f（x）﹣ax﹣b 最多有一个零点；
当 x≥0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b = 1
3x3 ― 1
2（a+1）x2+ax﹣ax﹣b = 1
3x3 ― 1
2（a+1）x2﹣b，
，
当 a+1≤0，即 a≤﹣1 时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b 在[0，+∞）上单调递增，
则 y＝f（x）﹣ax﹣b 最多有一个零点，不合题意；
当 a+1＞0，即 a>﹣1 时，令 y′＞0 得 x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
1
2
0
1(0, )e
t
t
= ∈
①
1
2
1
e
1(0, )e
t
t
>
∈
②
0t = ( )2 1 1 0t m t m− + + − = 1m =
( )2 1 1 0t m t m− + + − =
2
2
2
1 1 1 0 e e 1, 1.e e e e1 0
m m m
m
+ − + − < − + ⇒ <
,a b∈R 3 2
, 0
( ) 1 1 ( 1) , 03 2
x x
f x x a x ax x
–1，b ≠ ( ) (1 4 )g x m x= − [0, )+∞
1
4
1a > 2 14,a a m−= = 12, 2a m= = ( )g x x= −
0 1a< < 1 24,a a m− = = 1 1,4 16a m= =
( )f x
( ) 2 11 e 1x
au x
+= − +
( )0 0u =
( )f x [ )1,+∞ ( )3 0f = ( ) ( )1g x f x= + ( )2 2 0g x− <
( )0,2
( )f x ( )1f x + ( )f x
( )1f x + ( )g x
( )g x ( )1f x +
( )2 2 0g x− <
( )f x
( ) ( ) ( )f x f x f x= − = ( ) ( )f x f x− = −
( )
2
1 2,6
3 2,
x x af x
x x x a
+ >=
+ + ≤
( ) ( )g x f x ax= − a是__________．
【答案】
【解析】函数 恰有三个不同的零点，就是函数 与 有三个交点，也就是
函数 与 的图象有两个交点， 与 的图象
有一个交点，画出函数 与 的图象如图，函数 ，看作直线斜率为 ，由图象可知，
小 于 直 线 与 抛 物 线 相 切 的 斜 率 ， 由 ， 可 得
，解得 ，综上 时，函数
与 的 图 象 有 三 个 交 点 ， 即 函 数 恰 有 三 个 不 同 的 零 点 ， 故 答 案 为
.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根
据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，
转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出
函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，
画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的
图象的交点个数问题 .
18．记 为不超过 的最大整数，如 ，则函数 的所有零点之
和为__________．
1 ,3 2 26
−
( ) ( )g x f x ax= − ( )f x y ax=
y ax= ( ) 2 3 2,f x x x x a= + + ≤ y ax= ( ) 1 2,6f x x x a= + >
( )f x y ax= y ax= a
1 ,6a a>
2 3 2
y ax
y x x
=
= + +
( ) ( )22 3 2 0, 3 8 0x a x a∆+ − + = = − − = 3 2 2a = − 1 ,3 2 26a ∈ −
( )f x
y ax= ( ) ( )g x f x ax= −
1 ,3 2 26
−
( ) ( ),y g x y h x= =
( ),y a y g x= =
[ ]x x [ ] [ ]2.7 2, 1.3 2= − = − ( ) ( ) [ ]ln 1f x x x= + −【答案】
【解析】由题意可知： .
令 .则 .
所以 在 上单调递减，有 ，
所以 在 上无零点，
只需考虑： ， ， ，
可得三个零点分别为 ，
故答案为: ．
【名师点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根)的三种常用的方
法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参
数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面
直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象
的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
的交点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.
19．设 是定义在 R 上的两个周期函数， 的周期为 4， 的周期为 2，且 是奇函数.
当 时， ， ，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关
于 x 的方程 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数 ， 的图象，如图：
1e 2e
+ −
[ ]1x x x− < ≤
( ) ln( 1) ( 1)g x x x= + − − ( ) 1 1 01g' x x
= −
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