不能正确识别图象与平均变化率的关系
A，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量 与时间 t(天)的关系如
图所示，则一定有
A．两机关单位节能效果一样好
B．A 机关单位比 B 机关单位节能效果好
C．A 机关单位的用电量在 上的平均变化率比 B 机关单位的用电量在 上的平均变化率大
D．A 机关单位与 B 机关单位自节能以来用电量总是一样大
【错解】选 C.
因为在(0，t0)上， 的图象比 的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A 机关单位
比 B 机关单位大．
【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快
慢等要弄清．
【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量
在 上的平均变化率都小于 0，故一定有 A 机关单位比 B 机关单位节能效果好．故选 B.
【参考答案】B
1．平均变化率
函数 从 到 的平均变化率为 ，若 ， ，则平
均变化率可表示为 .
2．瞬时速度
( ) ( )1 2W t W t,
0[0 ]t, 0[0 ]t,
( )1W t ( )2W t
0[0 ]t,
( )y f x= 1x 2x 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
−
− 2 1x x x∆ = − 2( )y f x∆ = − 1( )f x
y
x
∆
∆一般地，如果物体的运动规律可以用函数 来描述，那么，物体在时刻 的瞬时速度 v 就是物体在
到 这段时间内，当 无限趋近于 0 时， 无限趋近的常数.
1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢
又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感
觉比较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡
峭程度吗？
【答案】见解析.
【解析】山路从 A 到 B 高度的平均变化率为 hAB＝ ，
山路从 B 到 C 高度的平均变化率为 hBC＝ ，
∴hBC>hAB，
∴山路从 B 到 C 比从 A 到 B 要陡峭的多．
求切线时混淆“某点处”和“过某点”
若经过点 P(2,8)作曲线 的切线，则切线方程为
A． B．
C． 或 D． 或
【错解】设 ，由定义得 f ′(2)=12，
∴所求切线方程为 ，即 .
【错因分析】曲线过点 P 的切线与在点 P 处的切线不同．求曲线过点 P 的切线时，应注意检验点 P 是否在
曲线上，若点 P 在曲线上，应分 P 为切点和 P 不是切点讨论．
【试题解析】①易知 P 点在曲线 上，当 P 点为切点时，由上面解法知切线方程为 .
( )s s t= t t
t t+ ∆ t∆ s
t
∆
∆
10 0 1
50 0 5
− =−
15 10 1
70 50 4
− =−
3y x=
12 16 0x y− − = 3 2 0x y− + =
12 16 0x y− + = 3 2 0x y− − = 12 16 0x y− − = 3 2 0x y− + =
( ) 3f x x=
( )8 12 2y x− = − 12 16 0x y− − =
3y x= 12 16 0x y− − =②当 P 点不是切点时，设切点为 A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为 .
∵A 在曲线上，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，解得 或 x0=2(舍去)，
∴ ，k=3，此时切线方程为 y+1=3(x+1)，即 .
故经过点 P 的曲线的切线有两条，方程为 或 .
【参考答案】D
1．导数的几何意义
函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线的斜率 .
2．曲线的切线的求法
若已知曲线过点 ，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：
（1）当点 是切点时，切线方程为 ；
（2）当点 不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f (x1))；
第二步：写出过 的切线方程为 ；
第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1；
第四步：将 x1 的值代入方程 ，可得过点 的切线方程．
2．已知函数 ，则
A． B．1
C． D．
【答案】B
【解析】
，
2
03k x=
3
0 0y x=
3
20
0
0
8 32
x xx
− =−
3 2
0 03 4 0x x− + =
( )( )2
0 01 2 0x x+ − = 0 1x = −
0 1y = − 3 2 0x y− + =
12 16 0x y− − = 3 2 0x y− + =
( )y f x= 0x x= 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))x f x k
0 0( ),P x y
0 0( ),P x y ( )0 0 0( )y y f x x x′− = −
0 0( ),P x y
( )1 1( )P x f x′ ， ( ) ( )( )1 1 1y f x f x x x− = ′ −
( ) ( )( )1 1 1y f x f x x x− = ′ − 0 0( ),P x y
0( ) (2018 ln ), ( ) 2019f x x x f ' x= + = 0x =
2e
ln 2018 e
( ) (2018 ln ),f x x x= +
( ) 2018 ln 1 2019 lnf ' x x x∴ = + + = +又因为 ，
所以 ，
解得 ，故选 B.
【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应
用，属于基础题.
在求曲线 的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线 上）
的切线方程，前者的切线方程为 ，其中切点 ，后者一般先设出切
点坐标，再求解.
不能准确把握导数公式和运算法则
求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
【错解】（1） ；
（2） .
【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a 是常量；（2）
商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以
分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.
【试题解析】（1） ；
（2） .
【参考答案】（1） ；（2） .
0( ) 2019f ' x =
02019 ln 2019x+ =
0 1x =
( )y f x= ( )f x
( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x− = ′ − ( )( )0 0,x f x
2 2( ) 2f x a ax x= + −
sin( ) ln
x xf x x
=
2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x′ ′= + − = +
2sin ( sin ) sin cos( ) ( ) sin cos1ln (ln )
x x x x x x xf x x x x xx x
x
′ +′ ′= = = = +′
2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x′ ′= + − = −
2 2
sin ( sin ) ln sin (ln ) sin ln cos ln sin( ) ( )ln (ln ) ln
x x x x x x x x x x x x x xf x x x x
′ ′⋅ − ⋅ + −′ ′= = =
( ) 2 2f x a x′ = − 2
sin ln cos ln sin( ) ln
x x x x x xf x x
+ −′ =1．导数计算的原则
先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．导数计算的方法
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
3．已知 ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意有 ，故 ，所以选 D.
【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计
算，属于中档题.
区分复合函数的构成特征
求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
【错解】（1） ；
（2） .
【 错 因 分 析 】 这 是 复 合 函 数 的 导 数 ， 若 ， 则 . 如 （ 1 ） 中 ，
， ，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求
( ) ln
2
xf x
x
= 1( )2f ' =
2 ln2− − 2 ln2− +
2 ln2− 2 ln2+
( )
( ) 1
21 12 2 2 ln2
2
x x xxf x x
−⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
′ =
1 2 ln2 2 ln22 1f
+ =
′ = +
( )22 1y x= +
2
2cosy x=
( )22 1y x′ = +
2sin 2
xy = −
( ) ( ),y f u u h x= = x u xy y u′ = ′ ⋅ ′
2 2, 1y u u x= = + ( ) ( )2 22 2 2 1 2 4 1xy u x x x x x′ = ⋅ = + ⋅ = +导，或用复合函数求导公式求导．
【试题解析】解法一：（1）∵ ，∴ .
（2）∵ ，∴ .
解法二：（1） ．
（2） .
【参考答案】（1） ；（2） .
1．求复合函数的导数的关键环节：
①中间变量的选择应是基本函数结构；
②正确分析出复合过程；
③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
④善于把一部分表达式作为一个整体；
⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.
2．求复合函数的导数的方法步骤：
①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；
②求每一层基本初等函数的导数；
③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.
4．曲线 在点 处的切线方程是__________．
【答案】
【解析】 ，所以斜率为 ，切线方程为
审题不细致误
设函数 .
( )22 4 21 2 1y x x x= + = + + 34 4y x x′ = +
2
2
1 coscos 2
xy x += = 1 sin2y x′ = −
( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 4 1y x x x x′ = + ⋅ + ′ = +
12cos cos 2cos sin sin2 2 2 2( ) ( ) (2 2)x x x x xy x′ = ⋅ ′ = ⋅ − ⋅ ′ = −
( )24 1y x x′ = + 1 sin2y x′ = −
πsin 3y x = +
30, 2
2 3 0x y− + =
πcos 3y x′ = +
π 1cos 0 3 2
+ =
3 1 , 2 3 0.2 2y x x y− = − + =
( ) 2lnaf x ax xx
= − −（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围．
【错解】（1）∵ ，∴ ，∴ .
∴ ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）∵ 在定义域上为增函数，∴ 恒成立，
∵ ，∴ 恒成立，
∴ ，∴ ，即实数 a 的取值范围是 .
【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是
将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有
限制条件的恒成立问题要和自变量在 R 上取值的恒成立问题加以区分．
【试题解析】（1）由已知得x>0，故函数 的定义域为(0，+∞)．
∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）若 在定义域上是增函数，则 对 x>0 恒成立，
∵ ，
( )2 0f ′ = ( )f x
( )f x
( ) 2
2af x a x x
′ = + − ( )2 1 04
af a′ = + − = 4
5a =
( ) ( )2
2 2
4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x
′ = + − = − +
( ) 0f x′ > 2x > 1
2x < ( ) 0f x′ < 1 22 x< <
( )f x 1 22( ) ( )−∞ + ∞， ， 1( )2 2，
( )f x ( ) 0f x′ ≥
( ) 2
2 2
2 2a ax x af x a x x x
− +′ = + − = 2 2 0ax x a− + ≥
2
0
4 4 0
a
a
>
∆ = − ≤
1a ≥ [1, )+∞
( )f x
( ) 2
2af x a x x
′ = + −
( )2 1 04
af a′ = + − =
4
5a =
( ) ( )2
2 2
4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x
′ = + − = − +
( ) 0f x′ > 2x > 1
2x < ( ) 0f x′ < 1 22 x< <
( )f x ( )10 2 )2( + ∞, , , 1( )2 2，
( )f x ( ) 0f x′ ≥
( ) 2
2 2
2 2a ax x af x a x x x
− +′ = + − =∴需 x>0 时 恒成立，即 对 x>0 恒成立．
∵ ，当且仅当 x=1 时取等号，
∴ ，即实数 a 的取值范围是 .
【参考答案】（1）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） .
用导数求函数 的单调区间的“三个方法”：
1．当不等式 (或 )可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数 ；
③解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2．当方程 可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数 ，令 ，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
③把函数 的间断点(即 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，
然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；
④确定 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
3．当不等式 (或 )及方程 均不可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数并化简，根据 的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定 的符号；
③得单调区间．
2 2 0ax x a− + ≥
2
2
1
xa x
≥ +
2
2 2 111
x
x x x
= ≤+ +
1a ≥ [1, )+∞
( )f x ( )10 2 )2( + ∞, , , 1( )2 2， [1, )+∞
( )f x
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
( )y f x=
( )y f x′ = ′
( ) 0f x′ >
( ) 0f x′ <
( ) 0f x′ =
( )y f x=
( )y f x′ = ′ ( ) 0f x′ =
( )f x ( )f x
( )f x
( )f x′
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ =
( )y f x=
( )f x′ ( )f x′5．已知函数 ，其中 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 与 满足的关系；
（2）当 时，讨论 的单调性；
（3）当 时，对任意的 ，总有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）①当 时， 在 上单调递增；②当 时， 在
和 上单调递增；在 上单调递减；当 时，函数 在 和
上单调递增；在 上单调递减；（3） .
【解析】（1）由题意，得 .
由函数 在点 处的切线与 平行，得 .
即 .
（2）当 时， ，
由 知 .
① 当 时， ， 在 恒成立，
∴函数 在 上单调递增.
②当 时，由 ，解得 或 ；
由 ，解得 .
函数 在 和 上单调递增；在 上单调递减.
③当 时， ，解得 或 ；
由 ，解得 .
函数 在 和 上单调递增；在 上单调递减.
（3）当 时， ，
( ) 3 2 2f x x ax b x= + − ,a b∈R
( )y f x= ( )( )1, 1f 3 0y − = a b
0b = ( )f x
0, 1a b= = ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )exf x x k< + k
23 2 0a b+ − = 0a = ( )f x R 0a > ( )f x
2, 3 a −∞ −
( )0,+∞ 2 ,03 a − 0a < ( )f x ( ),0−∞
2 ,3 a − +∞
20, 3 a −
[ )2,− +∞
2 2( ) 3 2f ' x x ax b= + −
( )f x ( )( )1, 1f 3 0y − = (1) 0f ' =
23 2 0a b+ − =
0b = 2( ) 3 2f ' x x ax= +
( ) 0f ' x = 24 0a∆ = ≥
0a = 0∆ = ( ) 0f ' x ≥ R
( )f x R
0a > ( ) 0f ' x > 0x > 2
3x a< −
( ) 0f ' x < 2 03 a x− < <
( )f x 2, 3 a −∞ −
( )0,+∞ 2 ,03 a −
0a < ( ) 0f ' x > 2
3x a> − 0x <
( ) 0f ' x < 20 3x a< < −
( )f x ( ),0−∞ 2 ,3 a − +∞
20, 3 a −
0, 1a b= = 3( )f x x x= −由 ，得 对任意的 恒成立.
， ，
在 恒成立.
设 ，则 ，
令 ，则 ，
由 ，解得 .
由 ，解得 ；
由 ，解得 .
导函数 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减，
， 在 上单调递减，
， .
故所求实数 的取值范围 .
本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于
难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立
（ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 或
恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
极值的概念理解不透彻
已知 在 处有极值 ，则 ________.
【错解】 或
由题得， ，由已知得 解得 或 ，
所以 等于 或 .
( ) ( )exf x x k< + ( )3 exx x x k− < + ( )0,x∈ +∞
0x > 2 1 exx k∴ − < +
2 1 exk x∴ > − − ( )0,x∈ +∞
( ) ( )2 1 e , 0xg x x x= − − > ( ) 2 exg' x x= −
( ) 2 exh x x= − ( ) 2 exh' x = −
( ) 0h' x = ln2x =
( ) 0h' x > 0 ln2x< <
( ) 0h' x < ln2x >
∴ ( )g' x ( )0,ln2 ( )ln2,+∞
( ) ( )ln2 2ln2 2 0g' x g'∴ ≤ = − < ∴ ( )g x ( )0,+∞
( ) ( )0 2g x g∴ < = − 2k∴ ≥ −
k [ )2,− +∞
( )a f x≥ ( )maxa f x≥ ( )a f x≤
( )mina f x≤ ( )y f x= ( )y g x= ( )min 0f x ≥
( )max 0f x ≤
( ) 3 2 2f x x ax bx a= + + + 1x = 10 a b+ =
7− 0
2( ) 3 2f x x ax b′ = + +
2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0
f a a b
f a b
= + + + = ∴ ′ = + + =
4
11
a
b
=
= −
3
3
a
b
= −
=
a b＋ 7− 0【错因分析】极值点的导数值为 0，但导数值为 0 的点不一定为极值点，错解忽视了“
是 f(x)的极值点”的情况．
【试题解析】由题得， ，由已知得 解得
或 ，所以 等于 或 .
当 时， 在 x=1 两侧的符号相反，符合题意.
当 时， 在 x=1 两侧的符号相同，所以 不合题意，舍去.
综上可知， ，所以 .
【参考答案】
对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑 ，又要考虑在 两侧的导数值符号不同，
否则容易产生增根．
1．函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号．
2．求函数 极值的方法：
①确定函数 的定义域．
②求导函数 ．
③求方程 的根．
④检查 在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 在这个根处取得极
大值，如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值，如果 在这个根的左右两侧符号不变，则
在这个根处没有极值．
3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 ，求方程 的根的情况，得关
于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
6．若 是函数 的极值点，则 的值为
( )1 0 1f x′ = ≠> =
2( ) 3 2f x x ax b′ = + +
2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0
f a a b
f a b
= + + + = ∴ ′ = + + =
4
11
a
b
=
= −
3
3
a
b
= −
= a b＋ 7− 0
4, 11a b= = − 2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x′ = + − = + −
3, 3a b= − = 2( ) 3( 1)f x x′ = − 3, 3a b= − =
4, 11a b= = − 7a b+ = −
7−
( )0 0f x′ ＝ 0x x=
( )f x
( )f x
( )f x′
( ) 0f x′ =
( )f x′ ( )f x
( )f x ( )f x′
( )f x
( )f x′ ( ) 0f x′ =
1x = ( )3 2 21( ) ( 1) 33f x x a x a a x= + + − + − aA．−2 B．3
C．−2 或 3 D．−3 或 2
【答案】B
【解析】 ，由题意可知
， 或 ，
当 时， ，
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减，显然
是函数 的极值点；
当 时， ，所以函数是 上的单调
递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选 B.
【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出 的值，没有通过单调
性来验证 是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.
（1） 在 处有极值时，一定有 ， 可能为极大值，也可能为极小值，应检验
在 两侧的符号后才可下结论；
（2）若 ，则 未必在 处取得极值，只有确认 时， ，才
可确定 在 处取得极值．
（3）在本题中，不要遗漏掉 这种特殊情况.
一、导数的概念及计算
1．导数的定义： .
2．导数的几何意义：函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线
的斜率 ，即 .
( ) ( ) ( ) ( )23 2 2 2( ) 2(1 3 1)1 33 f ' xf x x a x a a x ax x aa= + + − + − ⇒ + − += −+
(1) 0f ' = ( )2(1) 1 2( 1) 3 0 3f ' a a aa⇒ + −+ =− ⇒+ == 2a = −
3a = ( )2 22 3 8 9 ( 9)( 1)( ) 2( 1)f ' x x a x a a x x x x+ −= + + − = + − = + −
1, 9x x> < − ( ) 0f ' x > 9 1x− < < ( ) 0f ' x < 1x =
( )f x
2a = − ( )2 2 2 2( ) 2 3 2( 1 1 1)) ( 0a af ' x x a x x x x+ − = − ++ = −= + ≥− R
a
1x =
( )f x 0x x= ( )0 0f x′ = ( )0f x ( )f x
0x x=
( )0 0f x′ = ( )f x 0x x= 1 0 2x x x< < ( ) ( )1 2 0f x f x⋅ <
( )f x 0x x=
3a = −
0 0
( ) ( )( ) lim lim
x x
y f x+ x f xf x x x∆ → ∆ →
∆ ∆ −′ = =∆ ∆
( )y f x= 0x x= ( )0f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))x f x
k 0( )k f x′=求曲线 的切线方程的类型及方法
（1）已知切点 ，求 过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为 k，求 的切线方程：设切点 ，通过方程 解得 x0，再
由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求 的切线方程：设切点 ，利用导数求得切线斜率
，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，
再由 求出切点坐标 ，最后写出切线方程．
（5）①在点 处的切线即是以 为切点的切线， 一定在曲线上.
②过点 的切线即切线过点 ， 不一定是切点．因此在求过点 的切线方程时，应首先检验点 是
否在已知曲线上．
3．基本初等函数的导数公式
函数 导数
f (x)=C(C 为常数) =
f (x)=sin x
f (x)=cos x
f (x)=ln x
4．导数的运算法则
（1） .
( )y f x=
( )0 0,P x y ( )y f x=
( )y f x= ( )0 0,P x y ( )0k f x= ′
( )y f x= ( )0 0,P x y
( )0f x′
( )0k f x= ′ ( )0 0,x y
P P P
P P P P P
( )f x′ 0
*( )= ( )nf x x n∈N 1 *( )= ( )nf x nx n−′ ∈N
( )=cosf x x′
( )= sinf x x′ −
( ) ( 0 1)xf x a a > a= ≠且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a′ = ≠且
( ) exf x = ( ) exf x′ =
( ) log ( 0 1)af x x a a= > ≠且 1( ) = ( 0 1)
ln
f x a a
x a
′ > ≠且
1( )=f x x
′
( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x± ′ ′ ± ′＝（2） .
（3） .
5．复合函数的导数
复合函数 的导数和函数 的导数间的关系为 ，即 y 对 x
的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
二、导数的应用
1．函数的单调性与导数的关系
一般地，在某个区间(a,b)内：
①如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递增;
②如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递减;
③如果 ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数．
（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， ( )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
要条
件.例如，函数 在定义域 上是增函数，但 .
（3）函数 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( )在(a,b)内恒成立，且 在
(a,b)
的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有 ,不影响函数 在区间内
的单调性.
2．函数的极值与导数的关系
一般地，对于函数 ，
①若在点 x= a 处有 f ′(a)= 0，且在点 x= a 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x= a 为 f(x)
的极小值点； 叫做函数 f (x)的极小值.
②若在点 x=b 处有 =0，且在点 x=b 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x= b 为 f(x)的
极大值点， 叫做函数 f (x)的极大值．
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )·u x v x u x v x u x v x ′ ′ ′＝ ＋
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( )
u x u x v x u x v x v xv x v x
′ ′−′ = ≠
( )( )y f g x= ( ) ( )y f u u g x= =, x u xy y u′ = ′⋅ ′
( ) 0f x′ >
( ) 0f x′ <
( )=0f x′
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
3( )f x x= ( , )−∞ +∞ 2( ) 3 0f x x′ = ≥
( )f x ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x′
( ) 0f x′ = ( )f x
( )y f x=
( ) 0f ' x < ( ) 0f ' x >
( )f a
( )f ' b ( ) 0f ' x > ( ) 0f ' x <
( )f b③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
3．函数的最值与极值的关系
①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
②在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者
没有）；
③函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
求函数 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数 在(a,b)内的极值；
②将函数 的各极值与端点处的函数值 f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
1．已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D． ，
【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率 ， ，
将 代入 ，得 .
故选 D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属
于常考题型.
2．设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
[ , ]a b
[ , ]a b
( )y f x=
( )y f x=
( )y f x=
e lnxy a x x= +
e 1a b= = −，
1e 1a b−= =， 1ea −= 1b = −
e ln 1,xy a x′ = + +
1| e 1 2xk y a=′= = + = 1ea −∴ =
(1,1) 2y x b= + 2 1, 1b b+ = = −
3 2( ) ( 1)f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= (0,0)
2y x= − y x= −
2y x= y x=【解析】因为函数푓(푥)是奇函数，所以푎 ― 1 = 0，解得푎 = 1，所以푓(푥) = 푥3 + 푥，푓′(푥) = 3푥2 +1，
所以푓′(0) = 1,푓(0) = 0，
所以曲线푦 = 푓(푥)在点(0,0)处的切线方程为푦 ― 푓(0) = 푓′(0)푥，化简可得푦 = 푥.
故选 D.
【名师点睛】该题考查的是有关曲线푦 = 푓(푥)在某个点(푥0,푓(푥0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，
首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，
从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得푓′(푥)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式
求得结果.
3．已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D． ，
【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率 ， ，
将 代入 ，得 .
故选 D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属
于常考题型.
4．设曲线 上任一点 处的切线斜率为 ，则函数 的部
分图象可以为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数的解析式可得 ，
则 ，该函数为奇函数，选项 B、C 错误；
e lnxy a x x= +
e 1a b= = −，
1e 1a b−= =， 1ea −= 1b = −
e ln 1,xy a x′ = + +
1| e 1 2xk y a=′= = + = 1ea −∴ =
(1,1) 2y x b= + 2 1, 1b b+ = = −
( ) ( )2 1cosf x m x m= + ∈R ( ),x y ( )g x ( )2y x g x=
( ) ( )2 1sinf x m x m′ = − + ∈R
( ) ( )2 2 21 siny x g x m x x m= = − + ∈R又当 时， ，当 时， ，选项 A 错误；
本题选择 D 选项.
【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
5．函数 的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题得 ， ，
令 ，解得 ，
则当 时， 为减函数，当 时， 为增函数，
所以 处的函数值为最小值，且 .
故选 C.
【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，
确定最值点，最后代回原函数求得最值.
6．定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 x 的不等式 的解
集为
A． B．
C． D．
【答案】B
πx = 0y = π
2x = 0y <
2 l( ) nf x x x=
1
e
− 1
e
1
2e
− 1
2e
(0, )x∈ +∞ ( ) 2 ln (2ln 1)f x x x x x x′ = + = +
2ln 1 0x + =
1
2ex
−=
1
2(0,e )x
−∈ ( )f x
1
2(e , )x
−∈ +∞ ( )f x
1
2ex
−=
1
2 1(e ) 2ef
− = −
( )0,+∞ ( )f x ( )2 1x f x′ > ( ) 52 2f = ( ) 1e 3 e
x
xf < −
( )20,e ( ),ln2−∞
( )0,ln2 ( )2e ,+∞【解析】令 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴函数 在 上单调递增．
又 ，∴ ．
结合题意，不等式 可转化为 ，即 ，
∴ ，解得 ，原不等式的解集为 ．
故选 B．
【名师点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函
数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，再根据所构造的函数的
单 调 性 进 行 解 题 ， 其 中 根 据 题 意 构 造 符 合 题 意 的 函 数 是 解 题 的 关 键 ． 由 构 造 函 数
，则有 ，从而得到函数 在 上单调递
增．又 ，所以不等式 可化为 ，根据函数
的单调性可得 ，于是可得所求结果．
7．已知定义在 上的函数 ，设两曲线 与 在公
共点处的切线相同，则 值等于
A．−3 B．1
C．3 D．5
【答案】D
【解析】设函数 在公共点（a,b）（a＞0）处的切线相同，
由题得 所以 ，解之得 a=1,b=−4,m=5.
故答案为 D.
【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握
( ) ( ) 1 , 0g x f x xx
= + > ( ) ( ) ( )2
2 2
11 x f xg x f x x x
−= − = ′′ ′
( )2 1x f x′ > ( ) ( )2
2
1 0x f xg x x
−= ′ >′ ( ) ( ) 1g x f x x
= + ( )0,+∞
( ) 52 2f = ( ) ( ) 12 2 32g f= + =
( ) 1e 3 e
x
xf < − ( ) ( )1 1e 2e 2
x
xf f+ < + ( ) ( )e 2xg g<
0
( ) ( ) 1g x f x x
= + ( ) ( )2
2
1 0x f xg x x
−= ′ >′ ( ) ( ) 1g x f x x
= + ( )0,+∞
( ) ( ) 12 2 32g f= + = ( ) 1e 3 e
x
xf < − ( ) ( )1 1e 2e 2
x
xf f+ < +
( )g x 00 时， ，解得 .
当 a1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
又 x=1 时， ；x=2 时，y=2；x= 0，y= 0，∴函数 ，x∈[0,2]的值域是 ，
故 ，∴ ，故选 A.
10．函数 的图像大致为
【答案】D
【解析】函数图象过定点 ，排除 A，B；
令 ，则 ，
由 得 ，得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，得 或 ，此时函数单调递减，排除 C.
故选 D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单
调性是解决本题的关键.
3 3 0x x m− + = 3 3m x x− = − 3 3y x x= −
23 3y x′ = − 0y′ >
2y = − 3 3y x x= − [ ]2,2−
[ ]2,2m− ∈ − [ ]2,2m∈ −
4 2 2y x x= − + +
(0,2)
4 2( ) 2y f x x x= = − + + 3 2( ) 4 2 2 (2 1)f x x x x x′ = − + = − −
( ) 0f x′ > 22 (2 1) 0x x − < 2
2x < − 20 2x< <
( ) 0f x′ < 22 (2 1) 0x x − > 2
2x > 2 02 x− < 2 1a a< − ( )0,3 3, 1 3a a< ∴ < <
1a < 2 1a a> − ( )0,3 0, 0 1a a> ∴ < <
0 1 1 3a a< < < 1
2时函数单调递增，
从而得到函数的递减区间为 ，
函数的递增区间为 ，
所以当 时，函数푓(푥)取得最小值，
此时sin푥 = ― 3
2 ,sin2푥 = ― 3
2 ，
所以푓(푥)min = 2 × ( ― 3
2 ) ― 3
2 = ― 3 3
2 ，
故答案是 ― 3 3
2 .
【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的
函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区
间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
15．已知函数 若方程 恰有两个不同的实数根 ，则 的最大值是
______．
【答案】
【解析】作出函数 的图象如图所示，
( ) 2sin sin 2f x x x= + ( )f x
( )5π π2 π ,2 π3 3k k k − − ∈ Z
( )π π2 π ,2 π3 3k k k − + ∈ Z
π2 π ,3x k k= − ∈Z
22 , 0,( )
e , 0,x
x xf x
x
≤= >
2[ ( )]f x a= 1 2,x x 1 2x x+
3ln 2 2−
( )f x由 ，可得 ， 即 ，
不妨设 ，则 ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， 取得最大值，为 .
故答案为 .
【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函
数的极值与最值，属于难题.求函数 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导
数 ；（3）解方程 求出函数定义域内的所有根；（4）判断 在 的根
左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右
增），那么 在 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）
如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.
16．已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为 f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围．
( ) 2f x a= ( ) , 1f x a a= ∴ > 1a >
1 2x x< 22
12 exx a= =
( 1)a t t= > 1 2, ln2
tx x t= − =
1 2 ln 2
tx x t∴ + = −
( ) ln 2
tg t t= − 4 2( ) 4
tg t t
−′ =
∴ 1 8t< < ( ) 0g t′ > ( )g t ( )1,8
8t > ( ) 0g t′ < ( )g t ( )8,+∞
∴ 8t = ( )g t (8) ln8 2 3ln2 2g = − = −
3ln 2 2−
( )f x
( )f x′ ( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x
( )f x 0x
( )f x 0x【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在
单调递减.
又 ，故 在 存在唯一零点.
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当 时，
，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以，当 时， .
又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.
对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成
函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
17．已知函数 ．证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1） 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，
( ],0a∈ −∞
( ) ( )g x f x′= ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x′= + − =
π(0, )2x∈ ( ) 0g x′ > π ,π2x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x π(0, )2
π ,π2
π(0) 0, 0, (π) 22g g g = > = − ( )g x (0,π)
( )f x′ (0,π)
(π) π, (π) 0f a f =
( )f x′ (0,π) 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )0 ,πx x∈
( ) 0f x′ < ( )f x ( )00, x ( )0 ,πx
(0) 0, (π) 0f f= = [0,π]x∈ ( ) 0f x
0, [0,π]a x∈ ( )f x ax
( ,0]−∞
( ) ( 1)ln 1f x x x x= − − −
( )f x
( )=0f x
( )f x ∞
1 1( ) ln 1 lnxf x x xx x
−′ = + − = −
lny x= 1y x
= ( )f x′又 ， ，
故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根
.
由 得 .
又 ，
故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调
性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.
18．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当0
0 (1,2)x ∈ ( )0 0f x′ =
0x x< ( ) 0f x′ < ( )f x
0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
( )0 (1) 2f x f< = − ( )2 2e e 3 0f = − > ( ) 0f x = ( )0 ,x +∞
x α=
0 1xα > > 0
1 1 xα < <
1 1 1 1 ( )1 ln 1 0ff
α
α α α α α
= − − − = =
1
α ( ) 0f x = ( )00, x
( ) 0f x =
3 2( ) 2 2f x x ax= − +
( )f x
( )f x M m−
8[ ,2)27
2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a′ = − = −
( ) 0f x′ =
3
ax =
( ,0) ,3
ax ∈ −∞ +∞ ( ) 0f x′ > 0, 3
ax ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( ,0), ,3
a −∞ +∞ 0, 3
a
( )f x ( , )−∞ +∞若 a ,03
ax ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
, ,(0, )3
a −∞ +∞ ,03
a
0 3a< < ( )f x 0, 3
a
,13
a
( )f x
3
23 27
a af = − + (0)=2f (1)=4f a−
3
227
am = − + 4 ,0 2,
2,2 3.
a aM a
− < + ∈N
)(xf ln 1a a a− − 1=a
0, ( ) exa f x a′> = − ( ) e 0xf x a′ = − = ax ln=
)ln,( ax −∞∈ 0)( ′ xf
)(xf )ln,( a−∞ ),(ln +∞a
)(xf ax ln=
ln
min( ) (ln ) e ln 1 ln 1af x f a a a a a a= = − − = − −
0)( ≥xf x∈R x∈R 0)( min ≥xf
1ln)( −−= aaaag 0)( ≥ag
0ln1ln1)( =−=−−=′ aaag 1=a
)(ag )1,0( ),1( +∞
)(ag 1=a 0)1( =g
0)( ≥ag 1=a
1=a
e 1x x≥ + xx ≤+ )1ln( 0=x
*1 ( )x kk
= ∈N 1 1ln(1 ),k k
> + 1 1ln( )k
k k
+>
1 ln(1 ) ln ( 1,2, , )k k k nk
> + − = ⋅⋅⋅
*1 1 11 ln( 1)( )2 3 n nn
+ + +⋅⋅⋅+ > + ∈N
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