2021高考数学 优拔尖必刷压轴题 对数单身狗、指数找朋友（选择题、填空题）（含答案）

专题 18 对数单身狗、指数找朋友 【方法点拨】 对数单身狗、指数找朋友： ①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来， 这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了 多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身 狗”. 由 （这里设 ），则 不含超越函数，求解过程简单. ②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让 指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求 出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程， 我们形象的称之为“指数找朋友”. 由 ，则 是一个多项式函 数，变形后可大大简化运算. 【典型题示例】 例 1 （2020·新课标Ⅰ·理科·21）已知函数 ，当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a 的取值范围. 【答案】 【分析】遇到 f(x)ex＋g(x)的形式变形为 ex·h(x) ，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋ h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题. 【解析】 等价于 . 设函数 ，则 31( ) 12f x x≥ + 3 21( 1)e 12 xx ax x −− + + ≤ 3 21( ) ( 1)e ( 0)2 xg x x ax x x−= − + + ≥ 3 2 21 3( ) ( 1 2 1)e2 2 xg x x ax x x ax −′ = − − + + − + − 21 [ (2 3) 4 2]e2 xx x a x a −= − − + + + ( )( )ln ( ) 0 ln 0( ) g xf x x g x x f x + > ⇔ + > ( ) 0f x > ( ) 1 ( )ln ( ) ( ) g x g xx f x x f x ′ ′   + = +       ( )( ) 0 1 0x x f xe f x e + > ⇔ + > ( ) ( ) ( )1 x x f x f x f x e e ′ ′ − + =   2( ) exf x ax x= + − 1 2 27 ,4 e − +∞ . （i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单调 递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意. （ii）若0 1时，令푓′(푥) = 0，则푥 = 푎 ， 푓(푥)在(0,푎)上单调递减，在(푎, + ∞)上单调递增， 푓(푥)푚푖푛 = 푓(푎) = 푙푛푎 ― 푎 +1 < 0，不合题意． 综上所述，实数푎的取值范围是( ― ∞,1]． 点评： 上述解法优势在于，将 lnx 的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避 免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在． 1 ( 2 1)( 2)e2 xx x a x −= − − − − 1 2a ≤ − ( )g x′ 1 1 2 2a− < < 27 e 4 − 27 e 1 4 2a − ≤ < 1 2a ≥ 31( 1)e2 xx x −+ + 27 e 10 [ , )4 2 −∈ 31( 1)e2 xx x −+ + 1 2a ≥ 27 e[ , )4 − +∞【巩固训练】 1.已知 ex≥1＋ax 对任意 x∈[0,＋∞)成立，则实数 a 的取值范围是________ ． 2. 已 知 函 数 f(x) ＝ ex － 1 － x － ax2 ， 当 x≥0 时 ,f(x)≥0 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ________． 3.已知 对任意的 ，则实数 的取值范围是 . 4. 已知关于 的方程 在 上有且只有一个实数根，则实数 的 取值范围是 . 5. 已知 的零点不少于两个，则实数 的取值范围是 . 6. 已知 有两个零点，则实数 的取值范围是 . 7.已知当푥 ≥ 1时，푥2푙푛푥 ― 푥 +1 ≥ 푚(푥 ― 1)2恒成立，则实数푚的取值范围是 ． 2 2 1xe x ax> − + 0x > a x ( )2ln 1 0x x a x− − = ( )0,+∞ a 2 21( ) 4 xf x e x ax a= − + − a 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x= − + − a【答案或提示】 1.【答案】 (－∞,1] 【解析】根据常用不等式 ex≥x＋1,且 y＝x＋1 与 y＝ex 相切于(0,1),又 y＝ax＋1 也过点(0,1),观 察图象可知,要使 ex≥1＋ax 对任意 x∈[0,＋∞)成立,则 a≤1,即实数 a 的取值范围为(－∞,1]. 2.【答案】 (－∞，1 2] 【解析一】 由 f′(x)＝ex－1－2ax,又 ex≥x＋1,所以 f′(x)＝ex－1－2ax≥x－2ax＝(1－2a)x, 所以当 1－2a≥0,即 a≤1 2时,f′(x)≥0(x≥0),而 f(0)＝0,于是当 x≥0 时,f(x)≥0,满足题意；又 x≠0 时,ex＞x＋1,所以可得 e－x＞1－x,从而当 a＞1 2时,f′(x)＝ex－1－2ax≤ex－ex·e－x＋2a(e－x－ 1)＝(1－e－x)·(ex－2a),故当 x∈(0,ln2a)时,f′(x)＜0,而 f(0)＝0,于是当 x∈(0,ln2a)时,f(x)＜0, 不合题意． 综上所述,实数 a 的取值范围为(－∞，1 2]. 【解析二】因为 ex≥x＋1,所以当 a≤0 时,ex≥ax2＋x＋1 恒成立,故只需讨论 a＞0 的情形．令 F(x) ＝e－x(1＋x＋ax2)－1,问题等价于 F(x)≤0,由 F′(x)＝e－x[－ax2＋(2a－1)x]＝0 得 x1＝0,x2＝ 2a－1 a . ② 当 0＜a≤1 2时,F(x)在[0,＋∞)上单调递减,所以 F(x)≤F(0)＝0 恒成立； ②当 a＞1 2时,因为 F(x)在[0,x2]上单调递增,所以 F(x2)≥F(0)＝0 恒成立,此时 F(x)≤0 不恒成 立．综上所述,实数 a 的取值范围是(－∞，1 2]. 3.【答案】 【提示】 设 ，则 分类讨论，将导函数的零点、定义域的端点比较，分 、 、 、 四种情况. 4.【答案】 5.【答案】 2 ,2 e− +∞   2 2 2 12 1 1 0x x x axe x ax e − +> − + ⇔ − < 2 2 1( ) 1x x axg x e − += − ( 1)( 2 1)( ) x x x ag x e − − − −′ = 2 1 0a + ≥ 0 2 1 1a< + < 2 1 1a + = 2 1 1a + > ( ] 1,0 ,2  −∞ ∪ +∞  ( ], 1−∞ −【提示】 6.【答案】 【提示】 7.【答案】( ― ∞,3 2] 【解析】原不等式等价于푙푛푥 ― 푚(푥 ― 1)2 + (푥 ― 1) 푥2 ≥ 0， 令푓(푥) = 푙푛푥 ― 푚(푥 ― 1)2 + (푥 ― 1) 푥2 ，푥 ≥ 1，则푓′(푥) = (푥 ― 1)[푥 ― (2푚 ― 2)] 푥3 ， 令푓′(푥) = 0，得푥1 = 1，푥2 = 2푚 ― 2． （1）当2푚 ― 2 ≤ 1时，即푚 ≤ 3 2时，对 푥 ≥ 1 ，푓′(푥) ≥ 0，푓(푥)在[1, + ∞)上单调递增，所 以푓(푥) ≥ 푓(1) = 0，满足题意； （2）当2푚 ― 2 > 1时，即푚 > 3 2时，对푥 ∈ (1,2푚 ― 2)， 푓′(푥) < 0，푓(푥)在(1,2푚 ― 2)上单 调递减，所以푓(2푚 ― 2) < 푓(1) = 0，不合题意； 综上所述，实数푚的取值范围是( ― ∞,3 2]． 2 2 21 20 1 04 x x x a e x ax a e  −  − + − = ⇔ − = ( )0,+∞ 2 2 ( 1) 1( 2) ( 1) 0 0( 2) x x xx e a x x e a −− + − = ⇔ − =−