2020 年 6 月衢州二中高三模拟卷
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： ， ， ， ．
故选 C．
考点：集合的运算．
2.双曲线 的实轴长为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的标准方程可求出 ，即可求双曲线的实轴长.
【详解】由 可得： ，
，即 ，
实轴长 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，属于容易题.
3.若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A. B. 5 C. -1 D. -2
【答案】C
【解析】
2{ | 2 0}A x x x= − − ≤ { }2log 1B x x= ( )RA C B∩ =
(0,2] (0,2) [ 1,2]− ( 1,2]−
{ | 1 2}A x x= − ≤ ≤ { }2B x x= { | 2}RC B x x= ≤ ( ) { | 1 2}RA C B x x∩ = − ≤ ≤
2 22 1x y− =
2
2 2
a
2 22 1x y− =
2
2 11
2
x y− =
2 1
2a∴ = 2
2a =
∴ 2 2a =
1 0
2 3 6
1 0
x y
x y
y
− + ≥
+ ≤
+ ≥
2z x y= −
2
5
−【分析】
作出可行域及 的图象，数形结合即可求解.
【详解】作可行域如图，
由 可得 ，
作 图象，
由图象可知，当向上平移 过点 A 时， 最大，即 最小，
令 ，由 可得 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.
4.若 a，b 为正实数，则 ，“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
（1）由 ，可得 ，根据不等式的性质可得 ，即充分性成立；通过举反例说
明必要性不成立，即可得解；
【详解】解：因为 ，a，b 为正实数，所以 ，所以 ，即
2 | |y x=
2z x y= − 2 | |y x z= −
2 | |y x=
2 | |y x= z− z
0x = 1y x= + (0,1)A
min 2 0 1 1z = × − = −
1 2a bb a
+ > + a b>
1 2a bb a
+ > + 1 1a bb a
+ > + a b>
1 2a bb a
+ > + 1 1a bb a
+ > + 2 2a b a b a b+ > +，所以 ，所以 是 充分条件，
当 时，所以 ， ，所以 ，即 ，当 ， 时
满足 ，但 故必要性不成立，故 是 的充分不必要条件，
故选：A
【点睛】考查 时， 的大小关系，以及充分条件，必要条件，充要条件的概念，属于中档
题．
5.将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶
函数，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为 ，然后根据三角函数平移的
相关性质得出平移后的函数为 ，最后根据函数 为偶函数即可得出结果.
【详解】令 ，
则
，
设向右平移 个单位长度后得到的函数为 ，
则 ，
因为函数 为偶函数，
的( )( )1 0ab a b+ − > a b> 1 2a bb a
+ > + a b>
0a b> > 1 1
a b
< 1 1
a b
∴− > − 1 1a ba b
− > − 1 1a bb a
+ > + 2a = 1b =
0a b> > 1 2a bb a
+ = + 1 2a bb a
+ > + a b>
0 a b< < 1 1,a b
π π2cos cos6 3y x x = − +
( )0ϕ ϕ >
ϕ
π
3
π
4
π
6
π
12
( ) sin 2 3f x x
π = − −
( ) πsin 2 2φ 3h x xæ öç ÷= - - -ç ÷è ø
( )h x
( ) π π2cos cos6 3f x y x x = = − +
( ) π π π π2cos cos 2cos cos6 3 6 2 6f x x x x x
π = − + = − + −
π2cos sin sin 26 6 3x x x
π π = − − − = − −
ϕ ( )h x
( ) ( ) π πsin 2 φ sin 2 2φ3 3h x x xé ù æ öç ÷= - - - = - - -ê ú ç ÷ê úë û è ø
( )h x所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有
、 ，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
6.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为 2 的正方形，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. 20 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先还原几何体，再结合各侧面形状求面积，最后求和得结果.
【详解】还原几何体得，如图，
( )π π2φ π3 2 k k Z- - = + Î 5π πφ 12 2
k= - -
0ϕ > ϕ π
12
2cos sin sin 2x x x= πcos sin2 x x + = −
22
3 20 6+ 20 10+几何体的表面积为
故选：C
【点睛】本题考查三视图、几何体表面积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属基础题.
7.已知某 7 个数的期望为 6，方差为 4，现又加入一个新数据 6，此时这 8 个数的期望为记为 ，方差
记为 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数学期望以及方差的公式求解即可.
【详解】设原来 7 个数分别为
由 ，则
由
则
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.
1 1 13 (2 2) 2 [ (1 2) 2] 2 2 5 2 2 2 20+ 62 2 2
× × + × × + × + × × + × − × =
( )E X
( )D X
( ) 6E X = ( ) 4D X > ( ) 6E X = ( ) 4D X <
( ) 6E X < ( ) 4D X > ( ) 6E X < ( ) 4D X <
1 2 3 7, , , ,x x x x
71 2 67
x x x+ + + = 1 2 7 42x x x+ + + =
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 7
1 6 6 6 47 x x x − + − + + − =
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 76 6 6 28x x x− + − + + − =
1 72 6 42 6( ) 68 8
x x xXE
+ + + + += = =
( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 2 7
1 28 7( ) 6 6 6 (6 6) 48 8 2D X x x x = − + − + + − + − = = 2cos cosα β<
2cos cosγ β> 2cos cosγ β<
M PA
P ABC− t M
PA则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，所以
，
过 作 交 于点 ，所以 ， 即为 BM 与底面 ABC 所成的角，所以
，所以 ，所以
显然面 的法向量可为 ，设面 的法向量为 ，所以 令
，则 ， ，即 ，
所以 ，当 时， ；当 时，
；当 时， ，故 CD 不成立；
( )0,0,0O ( )0,3,0A ( )3 3,0,0B ( )3 3,6,0C ( )1 2 3,3,0O ( )2 3,3,P t
3,3, 2
tM
2 3,3, 2
tBM = −
( )3 3,3,0AC = 3,0, 2
tAM =
2 2
18 9 0 3cos
8412 9 27 9 04
BM AC
BM AC t t
α
⋅ − + += = =
⋅ ++ + ⋅ + +
M 1//MF PO AD M 1
1
2 2
tMF PO= = MBF∠
2 2
1
2sin
8412 9 4
tMF t
MB t t
β = = =
++ +
2
2
2 2
2 21cos 1 sin 1
84 84
t
t t
β β = − = − = + +
2cos cosα β<
ABC ( )0,0,1m = MAC ( ), ,n x y z= 3 3 3 0
3 02
x y
tx z
+ = + =
3x = 3y = − 6z t
= − 63, 3,n t
= − −
2
2
6
3cos
36 31 3 9
n m t
n m t
t
γ
⋅
= = =
⋅ +× + +
2 63
6t = 2cos cosγ β= 2 63
6t >
2cos cosγ β< 2 63
6t < 2cos cosγ β>故选：B
【点睛】本题考查利用空间向量法求空间角，属于中档题.
10.若函数 有零点，则 b 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将 函 数 的 零 点 问 题 转 化 为 函 数 与 的 图 象 的 交 点 问 题 ， 得 出 ， 构 造 函 数
，利用导数得出 的取值范围.
【详解】
函数 有零点，则方程 有解，则方程
有解
即函数 与 的图象在 上有交点
；
在 上单调递减，在 上单调递增
在 上单调递增
函数 与 的图象在 上有交点
，即
当 时， ；当 时， ，则
令 ，
( ) ( )2 lnx bf x x e b x x x x−= + − + −
( ], 1−∞ − [ ]1,0− ( ]0,1 [ )1,+∞
( )g x ( )h x 1 0be b− − ≤
1( ) , (0, )bb e b bϕ −= − ∈ +∞ b
( ) 1 (1 ln )
x bef x x b x xx
− = + − + +
( ) ( )2 lnx bf x x e b x x x x−= + − + − 1 (1 ln ) 0
x bex b x xx
− + − + + =
ln 1
x be b x xx
−
− = + −
( )
x beg x bx
−
= − ( ) ln 1h x x x= + − (0, )+∞
2
( 1)( )
x bx eg x x
−−′ =
( ) 0 1g x x′ > ⇒ > ( ) 0 0 1g x x′ < ⇒ < <
( )g x∴ (0,1) (1, )+∞
1( ) 1 0h x x
′ = + >
( )h x∴ (0, )+∞
( )g x ( )h x (0, )+∞
(1) (1)g h∴ ≤ 1 0be b− − ≤
0b < 1 0be b− − > 0b = 1 0be b e− − = > 0b >
1( ) , (0, )bb e b bϕ −= − ∈ +∞ 1( ) 0bb eϕ −′ = − 1F 2AB AF⊥
2: 3: 4AB AF =【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ，由椭圆的定义和直角三角形求出 （用 表示），然后再由勾股定理建立 的
等式，求得离心率．
【 详 解 】 ∵ ， ∴ 可 设 ， ， 由 得
，
又 ，∴ ，化简得 ，显然 ，∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，即 ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于 的等式，本题中焦点三角形是直角三角形，
因此利用椭圆定义结合勾股定理列式求解．
15.已知函数 的值域为 ，则实数 t 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
5
3
3AB x= 2 4AF x= x a ,a c
2: 3: 4AB AF = 3AB x= 2 4AF x= 2 2 4AB AF BF a+ + =
2 4 7BF a x= −
2AB AF⊥ 2 2 2(3 ) (4 ) (4 7 )x x a x+ = − ( 2 )(3 ) 0x a x a− − = 2x a<
3
ax =
2
44 3
aAF x= = 1 2
22 3
aAF a AF= − =
1 2AF F△ 2 2 2
1 2 1 2AF AF F F+ =
2 2
24 16 49 9
a a c+ = 5
3
ce a
= =
5
3
, ,a b c
( ) 2
2 1tf x x x
= + − [ )0,+∞
1( , ]4
−∞先分类求 值域 A,再根据 为 A 的子集求实数 t 的取值范围.
【详解】令 ，
当 时， ，因为 在 上单调递增，因此
值域为 为 的子集，所以 ；
当 时， ， 为 的子集，所以 ；
当 时， ，当且仅当 时取等号，因为 为
的子集，所以 ；
综上，
故答案为：
【点睛】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档
题.
16.若 且满足 ，令 ，则 M 的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 得 ，代入第二个等式整理后，作为关于 的方程有实数解，由 得 的取
值范围，此方程作为 的二次方程有实数解，同样由 得 的范围，如果消去 代入得 二
次方程，由 得 取值范围，可确定 值．最后比较大小确定最大值.
【详解】因为 ，所以 ， 代入 整理得 ，
作为 的二次方程它有实数解，
所以 ，解得 ，
此方程整理为 ，关于 的方程有实数解，则 ，解得
，
2
2 1ty x x
= + − [ )0,+∞
2
2 1ty x x
= + −
0t < 2 2
2 1 1,( 0)t ty x m m xx m
= + − = + − = > 1ty m m
= + − (0, )+∞
2
2 1ty x x
= + − [ ), 0,R +∞ R 0t <
0t = 2 2
2 1 1 1ty x xx
= + − = − ≥ − [ )0,+∞ [ 1, )− +∞ 0t =
0t > 2 2
2 21 2 1 2 1,t ty x x tx x
= + − ≥ ⋅ − = − 4| |x t= [ )0,+∞
[2 1, )t − +∞ 12 1 0 0 4t t− ≤ ∴ < ≤
1
4t ≤
1( , ]4
−∞
, ,a b c∈R 2 2 2
0
3 6 6
a b c
a b c
+ + =
+ + =
{ }, ,M max a b c=
2
0a b c+ + = ( )b a c= − + a 0c
∆ ≥ c
c 0a
∆ ≥ a ( )a b c= − + c
0b
∆ ≥ c b
0a b c+ + = ( )b a c= − + 2 2 23 6 6a b c+ + = 2 29 6 4 6 0c ac a+ + − =
c
2 236 36(4 6) 0a a a∆ = − − ≥ 2 2a− ≤ ≤
2 24 6 9 6 0a ca c+ + − = a 2 236 16(9 6) 0c c c∆ = − − ≥
2 2 2 2
3 3c− ≤ ≤若由 代入整理得 ，同理由 得
，
∵ ，
∴由 得 的最大值是 ，此时 或
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查新定义 ，理解新定义数 是解题关键，解题时通过消元法得一个
一元二次方程，利用一元二次方程有实数解，判别式 分别求出 的取值范围，然后求得最大值，只
要取这个最大值时， 有对应的取值即可．
17.已知平面向量 ， ， ， 满足 ， ， ，则 的
最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
不妨设 ，则可得 对应点在 上，根据 得 对应点在
上，根据点与圆位置关系确定 的最大值取法，最后根据柯西不等式求最值.
【详解】设 ，则因为 ，所以 对应点 在
上，
设
因此
，
( )a b c= − + 2 27 2 4 6 0c bc b+ + − = 2 24 28(4 6) 0b b b∆ = − − ≥
14 14
3 3b− ≤ ≤
14 2 22 3 3
> >
{ }, ,M max a b c= M 2 2 2 22, ,3 3a b c= = − = −
2 2 22, ,3 3a b c= − = =
2
{ }, ,M max a b c= M
0≥ , ,a b c
, ,a b c
a b c d a a b a b c= + = + + 2
d a a⋅ = 3d a+ = a b c d+ + −
2 3
( ,0),( 0)a m m= > a b c+ + 2 2 2x y m+ = 2
d a a⋅ = d
x m= a b c d+ + −
( ,0),( 0)a m m= > a a b a b c= + = + + a b c+ + C 2 2 2x y m+ =
( , ),d OD x y= = 2 2d a a mx m x m⋅ = ∴ = ∴ =
2 23 (2 ) 9d a m y+ = ∴ + =
2 2 2 2 2| | | | 9 4 9 3a b c d OC OD m m y m m m m m+ + − ≤ + = + + = + + − = + −
2 2 2 2 2 2 29 3 3 3 [1 ( 3) ][ ( 3 ) ] 2 3m m m m m m+ − = + − ≤ + + − =当且仅当 时取等号
因此 的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查向量模的坐标表示、柯西不等式求最值、向量数量积坐标表示，考查综合分析求解能力，
属较难题.
18.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）设 BC 若中点为 D，且 ，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理的角化边公式化简得到 ，结合余弦定理解出角 的大小；
（Ⅱ）设 ，在 中，由正弦定理得出 ， ，利用两角差的
正弦公式以及辅助角公式化简得出 ，结合 ，利用正弦函数的性
质得出 的取值范围．
【详解】（Ⅰ）由正弦定理的角化边公式得 ，即
（Ⅱ）设 ，则 中，由 可知
由正弦定理及 可得
2 33 3 , 2m m m− = =
a b c d+ + − 2 3
2 3
ABC ( )( ) ( )sin sin sinA B a b a c C+ − −=
3AD = 2a c+
3B
π= (2 3,4 3
2 2 2a c b ac+ − = B
BAD θ∠ = ABD△ 2sinBD θ= 22sin 3AB
π θ = −
2a c+ 4 3sin 6
πθ = +
5,6 6 6
π π πθ + ∈
2a c+
( )( ) ( )a b a b a c c+ − = − 2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 1cos , (0, )2 2 2
a c b acB Bac ac
π+ −= = = ∈
3B
π∴ =
BAD θ∠ = ABD∆
3B
π= 20, 3
πθ ∈
3AD = 22sin sinsin 33
BD AB AD
ππθ θ
= = = − 所以 ，
所以
由 可知， ，
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，涉及了正弦型函数求值域，属于中档题.
19.如图，矩形 ABCD 中， ，E 为 CD 的中点，以 BE 为折痕把四边形 ABED 折起，使 A 达到 P
的位置，且 ，M，N，F 分别为 PB，BC，EC 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 ND 与平面 MEC 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据计算可得 ,再根据线面垂直判定得 平面 ,即得结果；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量求直线 ND 与平面 MEC 所成角的正弦值．
【详解】（Ⅰ）设 ,即
；
平面 , 平面 ,
2sinBD θ= 22sin 3AB
π θ = −
22 4sin 4sin 3a c
πθ θ + = + − 6sin 2 3 cos 4 3sin 6
πθ θ θ = + = +
20, 3
πθ ∈
5,6 6 6
π π πθ + ∈
1sin ,16 2
πθ + ∈
(2 2 3,4 3a c ∴ + ∈
2BC CD=
PC BC⊥
PE BF⊥
10
5
,PE BE PE CE⊥ ⊥ PE ⊥ BCE
1| | 1 | | | | 1 | | 2,| | 2 | | 22BC CE CD BE AE AB AE BE= ∴ = = ∴ = = = ∴ ⊥
,PE BE⊥ ,| | 2,| | 1 | | 3 | | 2,| | 1PC CB PB BC PC PE CE PE CE⊥ = = ∴ = = = ∴ ⊥
,BE CE E BE CE= ⊂ 、 BCE PE∴ ⊥ BCE平面 , ,
（Ⅱ） 平面 , 所以以 为坐标原点， 所在直线为 轴，平行 直线为
轴建立如图所示空间直角坐标系:
则
因为
设平面 MEC 一个法向量为
由 得
令 得
因此直线 ND 与平面 MEC 所成角的正弦值为
【点睛】本题考查线面垂直判断与性质定理、利用空间向量求线面角，考查综合分析论证与求解能力，属
中档题.
20.已知等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 q．设 、 的前 n 项和分别为 、 ，
若 ， ．
BF ⊂ BCE PE ⊥ BF
PE ⊥ BCE ,BC CE⊥ C ,CE CB ,x y PE
z
1 1 1 2(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (0, ,0), (1,0, 2), ( , , ),2 2 2 2C B E N P M
3 1 2 3 22 ( , , ), ( , 1, )2 2 2 2 2BP ED D ND= ∴ − = −
( , , )n x y z=
0, 0n CE n CM⋅ = ⋅ = 1 1 2 1 1 2(1,0,0) 0, ( , , ) 0, 0, 02 2 2 2 2 2n n x x y z⋅ = ⋅ = ∴ = + + =
1z = 2 (0, 2,1)y n= − ∴ = −
3 2
102cos , 515| | | | 3 2
n NDn ND
n ND
⋅∴ < >= = =
⋅ ×
10
5
{ }na { }nb { }na { }nb nS nT
2
1
2
n n
n
S T
n
+= *n N∈（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ， （2）详见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 首 先 可 以 令 得 到 ， 然 后 令 求 出 ， 令 求 出
，再根据数列 是等比数列即可求出 以及 ，最后根据 即可求出 ；
（2）首先可根据（1）得出 ，然后令 证得 ，最后令 ，根据等比数列前 项和公
式即可证得 .
详解】（1）令 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ，
因为数列 是等比数列，所以 ，解得 ，
故 ， ， ，
当 时， ；
当 时， ，
因为数列 是等差数列，所以 ，
综上所述， ， ，
（2）因为 ，所以 ，
当 时， ；
【
{ }na { }nb
2 1
n
n
n
bc b
= + { }nc nK 3
2nK <
2 1na n= − 12n
nb −=
2
1
2
n n
n
S T tn
+= = 2 1n
nT t= ⋅ − 1n = 1 2 1b t= − 2n ≥
12n
nb t −= ⋅ { }nb 1t = 12n
nb −= 1t = 2 1na n= −
1
1
2n nc −< 1n = 1
3
2K < 2n ≥ n
3
2nK <
2
1
2
n n
n
S T tn
+= = 2 1n
nT t= ⋅ −
1n = 1 1 2 1T b t= = −
2n ≥ ( ) ( )1 1
1 2 1 2 1 2n n n
n n nT T b t t t− −
−− = = ⋅ − − ⋅ − = ⋅
{ }nb 1 1
1 2 2 1b t t−= ⋅ = − 1t =
12n
nb −= 2 1nS
n
= 2
nS n=
1n = 1 1 1S a= =
2n ≥ ( )22
1 1 2 1n n nS S a n n n−− = = − − = −
{ }na 2 1na n= −
12n
nb −= 2 1na n= −
2 1
n
n
n
bc b
= + 1
1 1
2n n
n
c b −< =
1n = 1 1
1 3
2 2cK = = ( ) ln , ( )x m x
x
mG x e e x G x e e
′= − = − ( )G x′ (1, )m
( )G x ( ) 1
1 1lnx mG x e e x= − 1 1
0 0
1 1ln , lnm x x m x x
= + = + ( )G x
( )1 0G x =
( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) xf x e a′ = −
0a < ( ) e 0xf x a=′ − > ( )f x ( )0 1f =
11 1 0af ea
= − ( )f x
0 ea< < ( ) 0xf x e a=′ − = lnx a=
lnx a< ( ) 0f x¢ < ( )f x lnx a> ( ) 0f x¢ > ( )f x
( ) ( ) ( )ln
min ln ln 1 lnaf x f a e a a a a= = − = −
0 ea< < ( )ln 0f a > ( )f x
( )f x 0a < ( )f x
( ) lnxF x e x= − ( ) x 1F x e x
′ = − ( ) 1xh x e x
= − ( ) 2
1 0xh x e x
= + >′
( )h x ( )0,+¥ ( )F x′ ( )0,+¥又 ， ，所以 在 上存在唯一零点 ，
且 ， ，即 .
当 时， ， 在 上为减函数，当 时， ，
在 上为增函数， 的最小值 .
因为 ，所以 ，所以 .
由 得 ，易知 在 上为增函数.
因为 ，所以 ， ，所以 在
上存在唯一零点 ，且 ， ，当 时，
， 在 上为减函数，当 时， ， 在
上为增函数，所以 的最小值为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又函数 在 上为增函数，所以 ，
因为 ，所以 ，即 在 上的最小值为 0.
【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题.
( )1 1 0F e −′ = > 1 2 02F e′ = −
( )F x ( )0 ,x +∞ ( )F x ( ) 0
0 0lnxm F x e x= = −
0
0
1xe x
=
0 0lnx x= − 0
0
1 2m xx
= + >
( ) lnx mG x e e x= − ( ) m
x eG x e x
=′ − ( )G x′ ( )0,+¥
2m > ( )1 e 0mG e= −
′ ( )G x′
( )0,+¥ 1x ( )1 1,x m∈ ( ) 1
1
1
ee 0
m
xG x x
′ = − =
( ) 0G x′ < ( )G x ( )10, x ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0G x′ > ( )G x
( )G x ( ) 1
1 1e e lnx mG x x= −
1
1
m
x ee x
= 1 1lnx m x= − 1 1lnm x x= +
0
0
0 0
1 1e ln lnxm x x x
= − = + 1 1
0 0
1 1ln lnx x x x
+ = +
lny x x= + ( )0,+¥ 1
0
1x x
=
( ) 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1ln
1
0 0 0 0
1 1 1 1ln ln lnx x x x x xmG x e e e e e ex x x x
+
= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅
( )0 0
1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1ln lnx xe x e x xx x x
= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ +
0 0ln 0x x+ = ( )1 0G x = ( )G x ( )0,+¥
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